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§1-2 常用信号介绍

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信号第一章2讲_2

信号第一章2讲_2

23
连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲 连续函数 与单位冲激函数的乘积等于冲 的乘积等于 激点的函数值与 相乘 激点的函数值与δ(t)相乘
f ( t )δ ( t ) = f ( 0)δ ( t )
(15 21)
若冲激点在t 若冲激点在 0处，且f(t)在t0处连续，则 在 处连续，
f (t )δ (t t0 ) = f (t0 )δ (t t0 )
20
若冲激点在t=t 则定义式为： 若冲激点在 0处，则定义式为：
∫ ∞ δ ( t t 0 ) dt = 1 δ ( t t 0 ) = 0 ( t ≠ t0 )
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的特性： 的特性
+∞
δ(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 的积分是
17
冲激函数定义： 冲激函数定义： 矩形脉冲演变为冲激函数 单位冲激函数可视为幅度 脉宽τ 单位冲激函数可视为幅度 τ 与脉宽τ的乘积 矩形面积） 个单位的矩形脉冲 （矩形面积）为1个单位的矩形脉冲。 个单位的矩形脉冲。 当τ趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。 趋于 时 脉冲的幅度趋于无穷大。
1
1
G(t)
返回
9
二、奇异信号 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信 其函数本身有不连续点 跳变点）， 有不连续点（ 号，其函数本身有不连续点（跳变点）， 其函数的导数与积分有不连续点 导数与积分有不连续点。 或其函数的导数与积分有不连续点。 它们是从实际信号中抽象出来的理想化 了的信号， 了的信号，在信号与系统分析中占有很重 要的地位。 要的地位。 常见的奇异信号：单位斜坡信号， 常见的奇异信号：单位斜坡信号，单位阶 跃信号， 单位冲激信号等 跃信号，和单位冲激信号等。

§1-2 常用信号介绍.

§1-2 常用信号介绍.

R(t t0 )
1
0 t0 1 t0
t
•与单位阶跃信号的关系：
是单位阶跃信号的积分：
所以
t
R(t) u()d
u(t) dR(t) R(t) dt
u(t)
1
0
t
R(t)
1
01
t
• 三角脉冲的表示： 波形图：
A R (t )
t0
A
x(t)
A
0
t0
t
0
t0
t

A t0
R(t
t R
)
t0
0 t 0
i
(t
)


1 R

e
t R
t0
0 t 0
uc (t) 1
t
i(t)
i(t)
(1)
c 1F uc (t)
t
i(t)
uc (t) u(t)
i(t) (t)
u(t)
c 1F
uc (t) 1
uc (t )
利用阶跃信号的单边特性，以上 电压和电流的表达式可以表示为：
《信号与系统》 郑君里，人民教育出版社
《数字信号处理教程》 程佩青，清华大学出版社
《信号、系统与信号处理》 吴湘淇，电子工业出版社
……
第一章 信号与系统的基本概念
1.1 信号及其分类 1.2 常用信号及其基本特性 1.3 信号时域运算 1.4 系统及其表示 1.5 系统的分类 本章重点和难点内容： 常用信号的描述及其特性 信号分解与合成 系统的分类
5
120
100
80
60
40
20

信号1-2

信号1-2
1 f(t) t 1 f(2t) t 0 1 2
f(t/2) 1 0 1 2
0
1
2
t 4
例：尺度变换变换后语音信号的变化
f(t) f(2t) f(t/2)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
f (t)
f (2t)
f (0.5t)
0.05
0.1
加法： 1 加法：
1.2 信号的基本运算
两个或多个信号对应时刻的值相加。 两个或多个信号对应时刻的值相加。 f1(t) f2(t) 例1： ：
1 t -1 0 1 1 1/2 0 2 3 t
解：
3/2 1
f 1 ( t ) + f2 ( t )
-1
0 1
2
3
t
f1 (t ) + f 2 (t ) = ?
f(t) 1 t 0 2
y(t) = ∫ f (τ )dτ
−∞
n
t
y[n] =
k =−∞
∑ f [k]
解：
当t≤2, 当t>2, 也可记为： 也可记为：
∫
t
−∞
f (τ )dτ = ∫ f (τ )dτ
0
t
∫
t
0
f (τ )dτ = ∫ 1× dτ =τ = t
0 0
t
t
∫
2
t
0
f (τ )dτ = ∫ 1×dτ + ∫ 0 ×dτ = 2
-t 1
f(-t-t) 0
0 -(t +t ) -t 0 1 0 f(t-t)
0
t1
t 0 t0 t0+t 1

信号与系统§1-2 常用信号介绍

信号与系统§1-2 常用信号介绍
设x(t)在t=0与t0处连续，
x(t)(t) x(0)(t)
x(t)
t
(1) (1)
0
t0
t
x(t)(t t0 ) x(t0 )(t t0 )
(x(t0 )) (x(0))


0
t0
t
x(t)(t)dt x(0) (t)dt x(0)




x(t)(t t0)dt x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
t
2
2
u(t ) u(t )
2
2
2、单位斜变信号：R(t)
R(t)
函数式：
R(t)

t 0
t 0 t 0
波形图：
1 01
t
tu(t)
平移： R(t t0 ) (t t0 )u(t t0 )
R(t t0 )
1
0 t0 1 t0
t
•与单位阶跃信号的关系：


⑵ 偶函数：
(t) (t)
(t t0 ) [(t t0 )] (t0 t)
•单位冲激信号的导数（微分）：
单位冲激信号的各阶导数（微分）表示为：
(t) d(t) dt
(t) d(t) dt
(t)

d(t) dt

•由阶跃信号表示的典型信号：
⑴ 符号函数信号： sgn(t)
sgn(t
)

1 1
t 0 t0
u(t) u(t)
2u(t) 1
sgn(t)
1
0
t
1
⑵ 矩形脉冲信号： G (t)--门函数信号

第1章 对信号的基本认识

第1章 对信号的基本认识

s(k ) f1 (k ) f 2 (k ) P(k ) f1 (k ) f 2 (k )
第1章
f 1(t)
对信号的基本认识
f 1(t)
f 2(t)
f 2(t)
f 1(t)+ f 2(t) f 1(t) f 2(t)
a. 两个连续信号的相加
b. 两个连续信号的相乘
图 1.2-3 两个连续信号的相加和相乘
第1章
对信号的基本认识
凡不具备上述奇偶特性的信号称为非奇非偶信号。
第1章
对信号的基本认识
1.2 信号的基本特性与运算
1.2.1 信号的基本特性
信号的基本特性包括时间特性、 频率特性、 能量特性和信息特性。 在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的正弦分量的 线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。 按照频率高低表示各正弦分量振幅和相位大小的图形即信号的频谱。
能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号
离散信号f(k)的能量定义为
E
k


f (k )
2
f (t ) A sin t
第1章
对信号的基本认识
• 5）实信号与复信号 • （1）实信号：物理可实现的信号称为实信号， 实信号在各时刻的取值是实数。 • 例如 f (t ) A sin t 、f (t ) A e t 等。 • （2）复信号：取值为复数而实际并不存在的信 号为复信号，复信号仅在理论分析时被使用。 t f (t ) e j 、 f (k ) e j k 等。 • 例如
两个信号相乘，在任意时刻的积信号之值，等于该时刻两
信号的信号值之积。
设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可 表示为 s (t ) f (t ) f (t )

1-2信号描述、运算及分解

1-2信号描述、运算及分解


哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems [例]：求下列函数值 ① ③
e

t
t t 1 dt
②

e t t (t )dt
e
1
3
t 2 5t 3
t 2dt
解： t 1 ① (e t ) t 1 dt e 1
0
s(t)
(t )
1
t
求导
ds(t ) 1 dt
0
0 求导 t
③性质
i) ii)
正负两个冲 (t ) 0 激的面积抵消

(t )
2
(t ) f (t )dt f (0)



1
0
t
0 t
0
2
iii) (t t0 ) f (t )dt f (t0 )
信号与系统—signals and systems
1.2 信号描述、运算及分解
• • • • 典型的连续时间信号 信号的运算 奇异信号 信号分解
直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部与虚部分量
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems

t
0
( 0)
t

哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems 4．正弦信号
①表达式：
f (t ) K sin(t )
②参数：K 振幅， 角频率， 初相位
③特性 i)周期信号，T

§1-2 常用信号介绍.

t
uc (t) (1 e R )u(t)
生物医学信号处理应用举例
左边是一段听觉响应的时间信号，没有表现出 可以识别的特征
右边是经过小波分析后得到的时间——频率关 系平面，得到明显可识别的特征
TEOAE (mPa)
n(n=1~128)
0.2
0.1 5
0. 1 0.05
0
-0.05
-
0.1
-
0.15
-0.2
0
5
1
1
20
0t (ms)
xo (t) xo (t) xo (n) xo(n)
奇谐对称信号
周期信号在时间轴上平移半个周期后与原信号 关于时间轴镜像对称。
x(t) x(t T ) / x(n) x(n N )
2
2
偶谐对称信号
周期信号在时间轴上平移半个周期后与原信号重合。
x(t) x(t T ) / x(n) x(n N )
t t0 t t0
u(t t0)
1
0 t0
t
反褶：
u(t)

0 1
t 0 t0
反褶平移：
0
u(t0 t) 1
t t0 t t0
u(t0 t)
1
0 t0
t
•单边特性：
x(t) t 0
x(t)u(t)
0
t0
u(t)
1
0
t
x(t)
0
《信号与系统》 郑君里，人民教育出版社
《数字信号处理教程》 程佩青，清华大学出版社
《信号、系统与信号处理》 吴湘淇，电子工业出版社
……

信号与系统§1-2 常用信号介绍


平移： R(t t0 ) (t t0 )u(t t0 )
R(t t0 )
0t01 Fra bibliotek t0t
•与单位阶跃信号的关系： 是单位阶跃信号的积分：
R(t )

u(t )
1
u()d
t
0
t
R(t )
1
所以
dR (t ) u (t ) R(t ) dt
0
1
t
• 三角脉冲的表示：
1 G (t ) 0 t 2 t 2
G (t )
1
2
0
2
t
u (t ) u (t ) 2 2
2、单位斜变信号：R(t )
t 函数式：R(t ) 0 t 0 t 0
R(t )
波形图：
1
tu (t )
1
0
1
t
还有一个类似的函数，sinc(t) sin t sin c(t ) t


8、高斯函数信号（钟形脉冲）：
0.78 A
x(t )
A
A e
x(t ) Ae
t )2 (
0
2

t
高斯函数信号，也称高斯脉冲，因其形似悬挂的金钟而 称为钟形脉冲。由于它的时宽频宽积较小，而备受青睐。

1
uc (t )
t
1 R
i (t )
t 0 t0
t
减小电阻R
R
i (t )
t (1 e R ) t 0 uc (t ) t 0 0
u(t )
c 1F
uc (t )
1
uc (t )

信号分析1-2信号的分类

X
是能量信号
第 15 页
二．基本的常用连续信号
1.指数信号 1.指数信号 信号的表示 函数表达式 f (t ) 2.正弦信号 2.正弦信号 波形 3.复指数信号 表达具有普遍意义) 复指数信号( 3.复指数信号(表达具有普遍意义) 4. 抽样信号 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数) 5.钟形脉冲函数(高斯函数) 钟形脉冲函数 6.斜变信号 6.斜变信号 7.单位阶跃信号 8.单位冲激信号
f (t ) K
2π
T
ω
振幅： 振幅：K 2π 1 = 周期： 周期： T = ω f
t
O
θ ω
2π
ω
频率： 频率：f 角频率： 角频率：ω = 2 π f 初相： 初相： θ
衰减正弦信号： 衰减正弦信号：
K e−αt sin(ωt ) f (t ) = 0 t ≥0 α >0 t <0
X
1 2 3 4 5 6 7 8
k
X
第 10 页
模拟信号，抽样信号，数字信号
•模拟信号：时间和幅值均为连续 模拟信号： 模拟信号 的信号。 的信号。 •抽样信号：时间离散的，幅值 抽样信号：时间离散的， 抽样信号 连续的信号。
O
f (k)
f (t )
t
•数字信号：时间和幅值均为离散 数字信号： 数字信号 O 的信号 如幅值为１ （如幅值为１，２，３，４，５） 主要讨论确定性 确定性信号 主要讨论确定性信号 先连续，后离散；先周期， 先连续，后离散；先周期，后非周期
要求： = mT1 T 要求： T1 n 即 = T2 m T = nT2 m, n均为整数
1)当 结论： 是有理数时， y T的周期函数， 结论： T1 / T2是有理数时， （t）是周期为 的周期函数， T为T1，T2的最小公倍数 2)当T1 / T2是无理数时， （t）是非周期函数 是无理数时， y

§1.2 信号的概念

物理与电子电气工程学院§1.2 信号的概念•信号的概念•信号的分类•典型确定性信号介绍一．信号的概念2页•信号是随着时间变化的某种物理量。

•信号可以表示为一个时间的函数。

二．信号的分类3页•信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。

•按实际用途划分：电视信号雷达信号控制信号通信信号广播信号……•按所具有的时间特性划分4页1．确定信号和随机信号。

性具有未可预知的不确定对于指定的某一时刻t ，可确定一相应的函数值f (t)。

若干不连续点除外。

•确定信号•随机信号•伪随机信号貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。

第5页2．连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。

用t表示连续时间变量。

离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。

用n表示离散时间变量。

n O12f(n)f(t)t O第6页模拟信号，抽样信号，数字信号•数字信号：时间和幅值均为离散的信号。

主要讨论确定性信号。

先连续，后离散；先周期，后非周期。

•模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。

•抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。

量化O t()t f ()n f nO ()n f nO抽样第7页判断信号性质判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？()t fO t()t fO t12435678123()值，，只有321()t fO t12435678连续信号离散信号离散信号数字信号8页3．周期信号和非周期信号⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧非周期信号周期信号⎩⎨⎧号）除简谐信号外的周期信复杂周期信号（）简谐信号正弦周期信号（ ), ( ) ( ⎩⎨⎧衰减函数脉冲瞬态频率之比值为无理数准周期瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。

t t πsin sin +例如9页4．能量信号和功率信号能量信号：信号总能量为非零有限值。

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……
4、指数信号：
表示式： x(t )
Ae
t
0
x(t )
A
0
0
t
波形图：
0
以自然常数为底的指数信号，是非常重要的基本信号。 它表示了许多自然界的客观规律，如电容中的充放电、放 射性物质的衰变等。 • 单边指数信号：
A
x(t ) 0
t
0
t
表示式：
x(t ) Ae u(t )
7、抽样函数信号：
sin t x(t ) Sa (t ) t
2
Sa(t )
1


2
t
以上抽样函数信号是正弦函数与反比函数的乘积表示 的，因此它是一偶对称的信。当t=0时，用此点的极限定 义，即值为1；当t=kπ(k取正负整数），由于分子为0， 函数的值等于0。
Sa(t )dt 2 Sa(t )dt 2 2 0
是单位阶跃信号的导函数或称微分：
u(t )
(t ) du (t ) dt
1
0
t
所以
u(t )

(t )
()d
t
(1)
0
t
•单位冲激信号与单位阶跃信号关系举例：
R
i (t )
1V
t0 c 1F
uc (t )
i (t )
uc (t ) uc () [uc (0 ) uc ()]e
1
0
t0
t
反褶：
0 t 0 u (t ) 1 t 0
0 t t0 u (t0 t ) 1 t t0
u(t0 t )
1
u ( t )
1
0
t
反褶平移：
x(t )
0
t
0
t0
t
1u(t )0 Nhomakorabea•单边特性：
t
x(t ) t 0 x(t )u(t ) 0 t 0
因为同一个信号可以用正弦或余弦函数表示，仅有相 位的差别，今后在不发生混淆的时候，就不区别称呼。
• 欧拉公式：
1 jt cos t (e e jt ) 2
1 jt sin t (e e jt ) 2j
e jt cost j sin t
e jt cost j sin t
1 G (t ) 0 t 2 t 2
G (t )
1
2
0
2
t
u (t ) u (t ) 2 2
2、单位斜变信号：R(t )
t 函数式：R(t ) 0 t 0 t 0
R(t )
波形图：
1
tu (t )
1
0
1
t

x(t )dt 2 Ae
0
t )2 (
dt 2 A A 2
二、离散时间信号： 1、单位样值序列： (n)
(n)
1 n 0 函数式： (n) 0 n 0
位移：
波形图：
1
0
n
1 n n0 (n n0 ) 0 n n0
(n n0 )
1
0
n0
n
x ( n)
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
2
1
0
1 2 3
4
5
n
x(n)(n) x(0)(n)
1
0
3
n
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
x(0)
x(3)
0
3
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
0
0
t0
当α→0时，单边指数信号变成了阶跃信号。
单边指数信号的微分和积分，依然是单边的按指数规 律变化的信号。
x(t )
A
0
dx (t ) A t A(t ) e u (t ) dt
t
x(t )
( A)
t
A
A t Ae d Ae d (1 e )u (t ) 0
n 0 0 n 0


n
n
x(n)(n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0
2、单位阶跃序列： u (n)
1 n 0 函数式： u(n) 0 n 0
u ( n)
波形图：
1
0
1
2 3 4
n
u(n 2)
位移：
1
1 n n0 u (n n0 ) 0 n n0
0
1
2 3 4
n
u(n 2)
1
2 1 0
1
2 3 4
n
x ( n)
• 单位阶跃序列的单边特性：
x(n) n 0 x(n)u(n) n0 0
平移： R(t t0 ) (t t0 )u(t t0 )
R(t t0 )
0
t0
1 t0
t
•与单位阶跃信号的关系： 是单位阶跃信号的积分：
R(t )

u(t )
1
u()d
t
0
t
R(t )
1
所以
dR (t ) u (t ) R(t ) dt
0
1
t
• 三角脉冲的表示：
uc (t ) (1 e )u(t )
t

t R
i (t )
(1)
du c (t ) i (t ) c dt
t
1 e u (t ) (1 e )(t ) R

t R
t R
1 R e u (t ) R
t
以上电流脉冲曲线与时间轴所包含的面积：
1
uc (t )
t
i (t )
还有一个类似的函数，sinc(t) sin t sin c(t ) t


8、高斯函数信号（钟形脉冲）：
0.78 A
x(t )
A
A e
x(t ) Ae
t )2 (
0
2

t
高斯函数信号，也称高斯脉冲，因其形似悬挂的金钟而 称为钟形脉冲。由于它的时宽频宽积较小，而备受青睐。

§ 1.2 常用信号介绍
本课程主要涉及的是一维连续时间和离散时间确定性 信号。 一、连续时间信号：
1、单位阶跃信号：u(t )
1 t 0 函数式：u (t ) 0 t 0
平移：
u(t )
波形图：
1
0
t
1 t t0 u (t t0 ) 0 t t0
u(t t0 )
x(t )u(t )
0
t
•典型应用：
1V t0
u(t )
•由阶跃信号表示的典型信号： ⑴ 符号函数信号：sgn(t )
sgn(t )
1
1 t 0 sgn(t ) 1 t 0
u(t ) u(t ) 2u (t ) 1
0
1
t
⑵ 矩形脉冲信号：G (t )--门函数信号

t 0 t 0
0
(t )
波形图：
(1)
0
t

(t )dt (t )dt 1
0
平移：

0 t t0 (t t0 ) t t0
(t t0 )
(1)
0

(t t
0
)dt (t )dt 1
t0
t0
t0
t
•与单位阶跃信号的关系：
(1)
1 R i (t )dt e dt 1 R 0


t
t
不管电阻值的大小，始终为1。
今后，我们常常用冲激信号表示当脉冲宽度趋于0， 脉冲波形与时间轴包含的面积为常量的信号。将这个面 积的值称为冲激信号的强度。例如：
x(t )
1 1
x(t )
x(t )
1


t
φ称为它们的初相位，Ω是它们的角频率。
x(t ) A sin(t ) A cos(t ) x(t )
A
T T
t
θ与φ称为它们的相位，它们的关系为： 2 上图中： 0 所以函数式为：
x(t ) A sin( t ) A cos t 2
波形图：
x(t )
A A
A R (t ) t0
0

t0
A R(t t0 ) t0
t
0
t0
t
0
A
t0
t
0
t0
t
Au(t t0 )
A
0
t0
t
函数式：x(t ) A [ R(t ) R(t t )] Au(t t ) 0 0
t0 A A tu(t ) (t t0 )u (t t0 ) Au(t t0 ) t0 t0
正余弦信号是我们熟悉的常用基本信号，它有很好的 特性，与指数信号类似，它们的导数和积分依然是正余弦 信号，在正弦交流电路分析中我们知道，角频率为Ω的正 弦信号作用于电路，其输出还是角频率为Ω的正弦信号。
x(t ) A sin(t )
A X
线性 电路
y(t ) B sin(t )
? 试用单位斜变信号表示以下三角波形：
x(t )
A
0
A R (t )