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19.1.2 平行四边形的判定——三角形的中位线教学设计丹江口市土台中学刘桂林一、教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．（2）强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线；中线：顶点与对边中点的连线．1 / 5（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系；条件（题设）：连接两边中点得到中位线；结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）；作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．（4）可通过题组练习，让学生掌握其性质．三、例题的意图分析例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判2 / 53 / 5定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．4 / 5【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由） 例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5 / 5。
《三角形的中位线》教学设计一、教材分析《三角形的中位线》是义务教育教科书五四制鲁教版八年级上册第五章《平行四边形》的第三节。
三角形的中位线是“空间与图形”领域研究的主要对象之一。
三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，它不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，堪称数形结合的典范。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了转化的思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
三角形的中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用。
二、教学目标知识与技能：理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，会运用定理进行推理证明和计算，解决有关问题。
过程与方法：经历观察、猜想和归纳，探索三角形中位线的概念和性质，体验解决实际问题方法的多样性，培养大胆猜想、合理论证的科学精神。
情感态度价值观：提高用数学语言表达问题的能力，体会与他人合作解决问题的重要性和转化的数学思想方法。
三、教学重点、难点教学重点：三角形中位线的性质和应用教学难点：三角形中位线定理的推理证明四、教学方法●学情分析认知分析：学生已掌握了如何构造中心对称图形以及中心对称的性质，这将成为本课学生研究和探索三角形中位线性质的基础知识。
能力分析：在前面已经学习了全等三角形、平行四边形等相关内容，具备一定的操作、归纳、推理和论证能力，但在数学意识与应用能力方面尚需要进一步培养。
情感分析：八年级的学生，参与意识强，思维活跃，对于真实问题情境及现实生活中的数学问题具有一定的兴趣，能够积极参与动手操作与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强；少数学生主动性不够强，尚需通过营造一定学习氛围，来加以带动。
●教法分析依据本节教学内容及学生知识建构的特点，尚需依赖于直观形象的学习方法，选用了合作探究式教学法，通过设计问题序列，引导学生动脑、动手、动口、主动探究，参与整个教学过程，体现学生的自主性和合作精神主动愉快地进行创造性学习。
教学设计一、课标要求理解平行四边形的概念，了解平行四边形的不稳定性，探索并证明平行四边形的性质。
二、学习目标1、理解平行四边形的概念，了解平行四边形的不稳定性，探索并证明平行四边形的性质定理。
2、经历探索、猜想、交流、证明的过程，进一步发展合情推理和演绎推理的能力，提高合作意识.3、体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.三、评价设计1、通过活动二和活动三检测目标1的达成。
2、通过活动二和活动四检测目标2、3的达成。
四、课前学习活动设计：1、回想小学学习过的平行四边形的定义及相关结论。
2、让每小组准备两个形状大小完全相同的平行四边形。
五、教学环节设计【第一环节】情境导入1、活动内容大屏幕展示教科书中的一张图片，创设情境，让学生大胆猜想。
图片中的两个同学正在探究一个问题：对于任意一个四边形，依次连接它各边的中点，能够得到一个怎样的图形？这个结论是不是对所有的四边形都成立呢？运用几何画板的功能，让学生拖动四边形的任意一边或顶点，四边形的形状发生改变，但依次连接四边形各边中点得到的四边形永远是平行四边形。
继续探究，教师拖动四边形一个顶点，图形继续变化，连接各中点得到的依旧是平行四边形。
这一情境的展示，极大地激发了学生的好奇心和探究四边形的欲望，从而引出本章的课题《证明（三）》，重点研究四边形，本节课就运用连接四边形各边中点得到的四边形来研究《平行四边形的性质》。
2、设计目的借助教科书中的图片，设置了一个具体的情境，借助于几何画板的操作，让学生经历猜想、验证的过程，激发学生好奇心，提高学生的学习兴趣，为很好的掌握本章内容做好铺垫。
3、问题应对学生在回答“对于任意四边形这个结论还成立吗？”这个问题时，可能会不太确定，教师让学生通过对几何画板的操作，从而从感官上认识到对于任意四边形，依次连接各边中点，得到的都是平行四边形。
【第二环节】知识回顾1、活动内容大屏幕展示生活中与平行四边形有关的美丽的图案，教师以提问的方式让学生回想平行四边形的定义，学习对角线的定义。
中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线与梯形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解一.三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC 的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用.例1.如图2所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ，可考虑证明APQ AQP∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP∠=∠∠=∠，于是APQ AQP∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线所以FM∥AC，FN∥BD，11,22 FM CE FN BD ==所以1,2APQ AQP∠=∠∠=∠又因为BD=CE，所以FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP∠=∠，所以AP=AQ评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.二.梯形的中位线1.定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图4，在梯形ABCD中，点E、F分别是腰AB、DC的中点，则线段EF 是梯形ABCD的中位线.图42.定理：梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半.用符号语言表述为：如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是腰AB、DC的中点，则EF∥AD∥BC，且1()2EF AD BC=+.3.注意：学习梯形的中位线定理需注意以下几点：（1）一个三角形的中位线有3条，而应该梯形的中位线只有1条；（2）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明一线段是另一条线段的2倍或12；（3）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上来证明得，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交.（4）由梯形的面积计算公式和梯形中位线定理易推出：梯形的面积=中位线⨯高.4.应用：例2.如图5所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DH BC⊥.求证：1()2BH BC AD=+（图5）（图6）分析：观察结论式的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明BH等于该梯形的中位线即可.为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明.证明：取AB、CD的中点E、F，谅解EF，FH（如图6），则EF∥BH，1()2EF BC AD=+在Rt DHC中，12HF CD CF==（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）.所以1C∠=∠，又因为B C∠=∠（等腰梯形同一底上的两角相等）所以1B∠=∠，所以HF∥BE所以，四边形EBHF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以EF=BH，所以1()2BH BC AD=+.评注：两个中位线定理的结论都揭示了中位线与第三条线段的位置关系（平行）和数量关系（一半），在具体运用时，我们应注意择其用之.。
2019版八年级数学上册第五章《平行四边形》三角形的中位线定理（1）教案鲁教版五四制课题三角形的中位线定理课型新审核签字序号学习目标与重难点1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点、难点重点：掌握和运用三角形中位线的性质．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．恰当具体可测媒体运用多媒体课件整合点准确恰当教学思路学案导学具体明晰导语设计复习提问：什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？平行四边形有哪些判定？精炼灵活紧扣学习目标板书设计知识结构纲要化ABCD“幸福课堂”模式教学过程研讨修改一、课堂小测，激发兴趣1、能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（ C ）A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行2、如图(2)，DE ∥BC ，AE =EC ，延长DE 到F ，使EF =DE ，连结AF 、FC 、CD ，则图中四边形ADCF 是_平行四边形__.3、已知，如图，四边形ABCD 、AEFD 都是平行四边形，求证：四边形BCFE 也是平行四边形 证明：∵ 四边形ABCD 、AEFD 都是平行四边形∴ AD ∥BC 且 AD=BC AD ∥EF 且 AD=EF∴ EF ∥BC 且 EF=BC ∴四边形BCFE 是平行四边形 二、反思小测，激活思维对于小中第3小题，如图(2)，DE ∥BC ，AE =EC ，延长DE 到F ，使EF =DE ，连结AF 、FC 、CD ，则图中四边形ADCF 是 平行四边形．．．．．.．请同学们继续观察图形填空．．．．．．．．．．．．： 1、四边形DBCF 是 平行四边形 ， 2、AE=_EC_,3、DF=_BC_ ,4、DE=_EF_=21DF =21_BC_温馨提示．．．．线段DE 是由连接△ABC 边AB 、AC 的中点而得到的，这是一条重要的线段，我们给它一个名称好吗？三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思考】：1、一个三角形的中位线共有_3_条2、三角形的中位线与第三边有怎样的关系？请看下面例题：三、知识迁移，激发思维题1（教材P88例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 证明：(详见课本第88-89页)思维导引：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD =FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．反思重建。
