中考复习策略梳理 巧构“辅助圆” 辅助圆解题技巧

2024年中考数学答题技巧与模板构建—与圆有关的计算模型01阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键．模型02阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键.模型03与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.模型01阴影部分面积计算考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.｜｜｜例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm -【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+-⋅21164π410442=⨯+⨯-⨯⨯244π20=+-4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为．【答案】5π-/5π-+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，又 OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，ACB ECO ∠=∠，∴ACB ECO ∠ ∽，∴AC AB EC EO=，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =-=-，∴636r r=-，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====，90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒-︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S --=⨯⨯--=- 正方形，故答案为：5π-．模型02阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.｜｜｜例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为，阴影部分①②的总面积为．【答案】2π+23π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC === ，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin 602PF PB =⋅︒==，∴阴影部分①的周长 AP BPl l AB =++3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=--⨯⎣⎦ 扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=-⨯⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为．【答案】aπ【详解】解： 四边形ABCD是正方形，边长为a，AB CB AD CD a∴====，90B D∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a aππ⋅=⨯=．故答案为：aπ．模型03与最值相关的计算考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题.｜｜｜例1．（2023·江苏）如图，点C为14圆O上一个动点，连接AC，BC，若1OA=，则阴影部分面积的最小值为（）A ．31444π--B ．142π-C ．242π-D ．184π-【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，221112222OD AB +∴===，212DC OC OD ''∴=-=-，221111212222AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⨯⨯-= ⎝⎭ 四边形 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==，∴阴影部分面积的最小值242π=，故选：C ．例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，42P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．32833π-【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP 2222+2，∵OA '=OB '=42∴PA'=PB ()()2222422226OB OP --=，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP 26223，∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=(212013236023ππ-- ，故答案为：D ．例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP+=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==，∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒.故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（）A ．12B ．π3C ．35π4-D ．15036π4949-【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =-=-．∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽，∴CE OE CA AB =，∴443x x -=，解得127x =，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =--+ 阴影正方形扇形扇形22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯-- ⎪⎝⎭150364949π=-．故选D．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（）．A ．13πB ．43πC ．23πD 3-【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD ＝OA ＝2，AB ＝6，∴OB ＝4，∴OB ＝2OD ，∴∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OF ＝OA ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AOF ＝60°，∴S 阴＝S 扇形OFA ＝26022=3603p p .故选：C ．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB BC =，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A ．338πB ．32πC ．3πD ．239π【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB=∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△则阴影部分面积与圆的面积之比为232ππ=，故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P，弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A ．2π﹣4B ．4π﹣8C ．83π-D ．163π-【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P ），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB =2120·41-23602π⨯=163π，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（）A ．13πB ．43πC ．23πD ．233π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S = ，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒，∴260223603OFAS S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积（结果保留π）【答案】4π8-【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，，∴14482ABC S =⨯⨯=△，24542360CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯-=-空白，∴()816448ABC S S S ππ=-=--=- 阴影空白，故答案为：48π-．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠A =90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE =∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒-︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵OB OF=∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒-︒-︒=︒∴ BF 的长=90180π⨯=，4BF =，∴阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD是圆的切线；(2)已知4sin5OCD∠=，5AB=AC长度及阴影部分面积．【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC =∠BDE∴∠A =∠EDB∵∠AOB =90°∴∠A +∠ABO =90°∴∠ODB +∠BDE =90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC =90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD =OB =4x ，则OC =5x ，∴3CD x ===∴AC =3x∴OA =OC +AC =8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x +=解得1x =，（-1舍去）∴AC =3，OC =5，OB =OD =4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD CE∠==∴设OE =4y ，则CE =5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y +=解得53y =，（53-舍去）∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，=∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE =2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE )+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π故选D.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AB中点，在AD上取一点G，以点G为圆心，GD的长为半径作圆，该圆与BC边相切于点F，连接DE，EF，则图中阴影部分面积为（）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD ＝GF ＝CD ＝CF ＝4∴BF ＝BC ﹣FC ＝2∵S 阴影＝（S 四边形ABFD ﹣S △AED ﹣S △BEF ）+（S 扇形GDF ﹣S △GDF ）∴S 阴影＝（(26)4116222222+⨯-⨯⨯-⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B ．3．如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以B 为圆心、BC 长为半径画 AB ，E 为四边形内部一点，且BE ⊥CE ，∠BCE ＝30°，连接AE ，求阴影部分面积()A ．4π-B ．6πC ．42π--D ．43π--【答案】C 【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC =90°，∵∠BCE =30°，∴∠EBC =60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM =EM MC∴MC ，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM =EMBM∴BM ，∵BM +MC =BC =4，=4，∴EM =∴BM =133EM ==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC =90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE =BM =1，∵AB =BC =4，∠ABC =90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABC S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=--=--△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A ．（3）cm 2B ．（3cm 2C ．（3-2π）cm 2D ．（3cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴22AB BD -224223-=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF =12326023360π⨯⨯32π)cm 2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（）A ．πB ．5π+C ．524π-D ．724π-【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴225AB OA OB =+=由旋转，得EOF BOA ≌ ，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积-扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+-5124π=-故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中， 2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与 BC所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（）A ．23πB ．213π-C ．3πD ．132π-【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==，∵290603BOC ︒︒=⨯=∠，∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+-=+⨯⨯-⨯⨯=-△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与 BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π-．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S -为（）A ．13124π-B ．9124π-C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S -+=-矩形扇形扇形，∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯-=⨯--=-，故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是 AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．44π-B ．4πC ．24π-D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，∵24OA OD ==，∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB =90°，∴tan 3OE OA OAE =⋅∠=，∴43OAE OAB S S S π=-=-阴影扇形，故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积=．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA = ，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S = ，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA == ，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA = ，AOF ∴ 是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为．【答案】223π+【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，3BC =∴33236tan 30BC AC ==︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE +S △DEF ∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG =∠EOG =30°，∠DGO =90°，∴3cos30232OG OD =⋅︒=⨯23GF OG OF =+=，∴S 阴影=S 扇形ODE -S △DEO +S △DEF =2602112232(23)2360223ππ⨯⨯-⨯+⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为．【答案】242π-【详解】取弧AB 的中点C ′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D221112222OD AB +∴===212DC OC OD ''∴=-=-1122112(1)2222AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==∴阴影部分面积的最小值为242π=-故答案为：42π-．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值=．【答案】163π-【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P ），∴OP =2．∵OA '=OB '=4，∴PA '=PB ∴tan ∠A 'OP =tan ∠B 'OP∴∠AOP =∠BOP =60°，∴∠A 'OB '=120°，∴S 阴=S 扇形OA 'B '-S 'OB '=2120π4360⋅⋅﹣122⋅=13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于．33133【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ，由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小，∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒，又 OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则3tan 3ADC ∠=．3314．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为．【答案】13ππ136-【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME =MD =MC =R ，∠MDO =∠MEO =90°，结合MO =MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD =∠MOE =12∠AOB =120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME =90°-∠MOE =30°，∴OE =3ME =3R ，OM =2OE =3R ，又∵OA =OC =OB =1，∴OM +MC =1，即3R +R =1，解得R =3-，∴OE =2，则BE =OB -OE 1-，∵∠MOE =60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME =30°，∴∠CME =180°-∠OME =180°-30°=150°，150150152236036036EC ME R ππππ=⨯⨯=⨯⨯=- ，则阴影部分的周长为：BE + BC + EC 1+13π156π-1316π-，1316π-．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为．【答案】534π+【详解】解：∵32CD AB ==， AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==， BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为 533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+．故答案为534π+．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求 AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)233π-【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒ ，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒-︒=︒，CA CD = ，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴ AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA = ，ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 603CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积26021223336023ACD ACD S S ππ⋅⋅=-=-⨯⨯=-扇形 17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ,以AB 为直径作圆O ，分别交AC ,BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)2233π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴AE ⊥BC ，∵AB =AC ，∴BE =CE ；（2）∵AB =AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40°∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE =90°-∠BAE =70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE =180°-∠ABE =110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ-⨯⨯ 阴影部分扇形．18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π-【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒ OC AC ∴⊥，OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=，OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴AC∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线，∴AD=AC∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯-163π=-．。

中考圆的压轴题解题技巧《中考圆的压轴题解题技巧：我的“独门秘籍”》嘿，各位小伙伴们！今天咱就来唠唠中考圆的压轴题解题技巧。

要知道，这可是不少同学心中的“大老虎”啊，但别怕，今天我就跟大家分享我的那些“独门秘籍”，让你轻松打虎！首先呢，咱得有个好心态。

看见圆的压轴题别慌别懵别乱了阵脚，就把它当成你的朋友，虽然有点难搞，但咱有办法对付不是。

心态稳住了，接下来就上干货喽！第一招，“火眼金睛”找关键。

那圆里面弯弯绕绕的线条可多了去了，咱得瞪大眼睛把那些重要的条件、半径啦、圆心角啦、弦啦等等都给揪出来。

别放过任何一个小细节，有时候一个小小的条件就是解题的关键钥匙。

第二招，“搭积木”建模型。

圆的知识点就像一块块小积木，咱得把它们巧妙地搭建成我们需要的模型。

比如看到直径就想到直角三角形，看到弧就想到等量关系等等。

这就好比我们盖房子，得有稳固的结构才行。

然后呢，要善于使用各种辅助线。

这辅助线就像是咱的秘密武器，画好了那效果可是杠杠的。

比如说遇到弦咱就画个垂直平分线，遇到切线就赶紧把切点连起来。

还有哦，要多做题，但不是瞎做，得学会总结归纳。

把做错的题整理出来，分析分析自己为啥错了，下次遇到类似的可就不能再犯了。

说到这我想起我曾经做圆的压轴题时的搞笑事儿。

有一次我信心满满地去做一道题，结果半天找不到头绪，急得我抓耳挠腮的，最后才发现是自己把一个角度给看错了，懊恼得我呀！不过吃一堑长一智，从那以后我做题就更仔细了。

总之，面对中考圆的压轴题，我们既要勇敢又要有策略。

记住咱们的技巧，多练习多总结，相信大家都能把这只“大老虎”给拿下！加油吧，小伙伴们！让我们在考场上自信满满地与圆的压轴题过过招，赢得漂亮！。

中考复习之——道是无圆却有圆（构造辅助圆）许多几何问题虽然与圆无关，但是若能根据问题的条件、图形特点添补圆或找出潜在的圆，就能充分运用圆的丰富性质为解题服务，使问题获得简解或巧解，下列情形不妨作出辅助圆。

一、定点定长隐藏圆：1.有公共端点的等线段；2.与“等腰三角形”相关问题的讨论；3.解与“旋转”相关的问题。

二、定弦定角隐藏圆：1.与“直角、垂直”相关问题的探讨；2.其他特殊角（30°，45°，60°，120°等）问题的探讨。

三、判定四点共圆的方法：①平面内到某一定点等距离的几个点在同一个圆上。

②同斜边的直角三角形各个顶点共圆。

③同底同侧张角相等的三角形各个顶点共圆。

④一组对角互补的四边形的各个顶点共圆。

⑤一个外角等于内对角的四边形各个顶点共圆。

⑥对角线AC 、BD 相交于点P ，若PA ·PC=PB ·PD ，则四边形各个顶点共圆。

★常用方法归类：一、找定点，寻定长→现“圆形”1.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻两边上同时滑动，点Q 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向滑动到点A 为止；同时点F 从点B 出发，沿B →C →D →A →B 方向滑动到点B 为止，在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形面积为 。

2.在矩形ABCD 中，已知AB=2cm ，BC=3cm ，现有一根长为2cm 的小棒EF 紧贴着矩形的边，按逆时针方向滑动一周，则小棒EF 的中点P 在运动过程中所围成的图形面积为 。

3.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E、F 分别为AD 、DC 边上的点，且EF=2，G 为EF 中点，P 为BC边上的一个动点，则PA+PG 的最小值为 。

4.（自贡）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将ΔEBF 沿EF 所在直线折叠得到ΔEB ’F ，连接B ’D ，则B ’D 的最小值为 。

精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。

２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。

40 福建中学数学 2018年第6期图中无圆，心中构圆——谈中考压轴题巧构辅助圆的策略李昌刚 福建省福州市罗源第三中学（350600）圆的内容是初中数学的重要组成部分，学好这章知识将有助于学生高中继续学习椭圆、圆等有关知识．但在实际课堂教学中，很多教师不重视这一章的教学内容，没有去挖掘圆的旋转不变性与对称性的特征，使学生在解答中考压轴题时，不懂得根据题意巧妙构造出辅助圆将一般问题转化成特殊问题加以解决． 其实，在数学教学过程中常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决．而我们需要的圆并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，化未知为已知，将不熟悉的图形转化为熟悉图形，这实际上体现数学上转化与化归的思想方法．笔者结合近几年初三中考数学压轴题的教学实践，谈几点构造辅助圆的策略，以期抛砖引玉． 1 根据圆的定义，构造圆根据定义、定理（或公理），构造基本图形解决问题是添加辅助线最为基本的方法，圆有运动性定义和集合性定义两种．我们可根据实际问题从两种定义的不同特点入手进行构造． 1.1 根据运动性定义构造圆 圆的运动性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．因此若一道问题中出现旋转变化这一条件时，我们就可以考虑构造以旋转中心为圆心的圆，将问题转化成与圆有关问题进行研究． 例1 如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A C ，分别在DG 和DE 上，连接AE BG ，．若BC DE m ==，将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转角度(0360)αα<<过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．分析 将正方形DEFG 在绕点D 旋转的过程中，E 点运动的图形是以点D 为圆心，DE 为半径的圆，将正方形绕点D 逆时针旋转270 ，即当AE 过圆心D 时，AE 最大，利用勾股定理求出AF 即可解决问题． 解 正方形DEFG 在绕点D 旋转的过程中，E 点运动的图形是以点D 为圆心，DE 为半径的圆，则正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转270 ，即A D ，，E 在一条直线上时，AE 最大时，如图2， BC DE m == ， 2mAD ∴=，EF m =，在t AEF ∆R 中，222AF AE EF =+ 22213()4AD DE EF m =++=，AF ∴=，即在正方形DEFG 旋转过程中，当AE 为最大值时，AF =． 本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆中最长问题等知识．解题关键是根据条件“旋转360︒”确定点E 的运动轨迹，学会求圆内一点到圆的最长距离，是中考常见题型． 1.2 依据圆的集合定义，构造圆 圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径，由此对于题目中出现一些点与定点的距离都等于定长时，我们就可考虑构造一个以定点为圆心定长为半径的圆，将所要研究的问题转化成圆的问题． 例2（2017年福州市期末质检）如图3，C 为线段AB 上一点，分别以AC BC ，为边在AB 的同侧作等边HAC ∆与等边DCB ∆，连接DH ．现将图中DCB∆绕点C 顺时针旋转一定角度(090)αα<< ，如图4，点C 关于直线DH 的对称点为E ，求证：CE 平分AEB ∠．分析 本题由对称性得到HC HE =，进而得出A C E ，，三点到H 距离都相等，从而构造以H 为圆心，GFBA D C 图1A B DC GF E 图22018年第6期 福建中学数学 41HA 为半径的圆（如图5），根据圆的性质得到AEC ∠=1302AHC ∠= ，同理可得1302BEC BDC ∠=∠= （两次构造圆也是本题的一大难点），最后得出EC 平分AEB ∠．证明 如图5，由对称性可知HC HE =， 又HAC ∆是等边三角形， AH HC ∴=，HC HA HE ∴==， A C E ∴，，都在以H 为圆心，HA 为半径的圆上， 1302AEC AHC ∴∠=∠=，同理1302BEC BDC ∠=∠= ，AEC BEC ∴∠=∠， EC ∴平分AEB ∠．此题的关键是作辅助圆，将分散的条件集中，然后灵活应用圆周角定理及等边三角形等知识来解答．两次构造圆是本题的一大难点．2 依据圆的有关性质，构造圆圆的性质主要集中在圆心（或周）角、弧、弦（或直径）等对象之间的相互关系上，因此在解决有关角、线之间的问题时，我们可考虑添加辅助圆，把问题转化为圆的问题，借助圆的性质来解决．2.1 依据圆周角动而不变性质，构造圆定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等．这些角具有其大小不变，顶点位置改变的性质，根据这一特性，我们可以用来构造相等角．例3 如图6，平面直角坐标系xOy 中，抛物线 243y x x =-+与x 轴交于点A B ，，与y 轴的正半轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠=∠，求点P 的坐标．分析 此题要进行适当的转化，构造ABC ∆的外接圆，根据圆周角定理可知：抛物线对称轴与E 的交点就是题目要求的点P ，那么只需求出圆心E 的坐标和圆的半径即可得到点P 的坐标．由对称轴及点A B ，的坐标可确定点F 的坐标及AF 的长，由此可确定该中垂线的解析式，而弦BC 的垂直平分线过点E ，进一步可确定点E 的坐标；最后由勾股定理得AE 长，最后求出点P 的坐标．解 作ABC ∆的外接圆E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为F ，设E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方部分的交点为1P ，1P 关于x 轴的对称点为2P ，点12P P ，均为所求点．由图6知圆心点E 必在AB 边的垂直平分线，即抛物线的对称轴2x =上．1AP B ∠ ，ACB ∠都是AB 所对的圆周角，1AP B ACB ∴∠=∠，且射线FE 上的其它点P 都不满足APB ACB ∠=∠．令0x =，得3y =，C 的坐标为(03)，．令0y =，得2x - 430x +=，A ∴的坐标为(10)，，B 的坐标为(30)，，3OB OC ∴==，2AB =，45OBC ∴∠=，得圆心E 也在BC 边垂直平分线y x =上，E 的坐标为(22)E ，．由勾股定理得EA =1EP EA ∴==∴1P 的坐标为1(22P ，．由对称性得2P 的坐标为2(22P -，．∴符合题意的P 的坐标为1(22P ，，2(22P --，． 本题主要利用了圆周角定理及抛物线的图象与性质及勾股定理进行解题，由角相等构造辅助圆是解答此题的关键．2.2 依据直径与直角之间的关系，构造圆定理 径所对圆周角为直角；90 的圆周角所对的弦为直径．如果题目中条件有90 的直角，可以考虑构造圆，用圆的有关性质解决问题．例4 已知二次函数22(22)23y x m x m m =+-+--（m 是常数）的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边）二次函数的图象经过原点．（1）求m 的值； （2）若0m <，点C 是一次函数(0)y x b b =+>图象上的一点，且90ACB ∠= ，求b 的取值范围；分析 （1）将原点坐标代入解析式求得m 的值；（2）此题根据直径所对的圆周角为直角，构造以AB 为直径的圆，通过直线与圆的交点确定b 的取值范围．当直线与圆在第一象限相切时，此时b 的值A CB HE D图5A C BH D 图4图3ACDH42 福建中学数学 2018年第6期 最大．解 （1）依题意把(00)，代入22(22)y x m x m =+-+ 23m --，得2230m m --=，解得1231m m ==-，． （2） 0m <，∴1m =-，把1m =-代入解析式得24y x x =-，易得4AB =，以AB 为直径作圆P ，根据直径所对的圆周角是直角，可知当一次函数的图象与圆相交时，可得90ACB ∠= ，当直线与圆在第一象限相切时，此时b 的值最大．如图7，一次函数图象与圆P 相切于点C ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点E ，连接PC ，易得90PCF ∠= ．把0x =，0y =分别代入y x b =+， 得y b =，x b =，AE AF b ∴==．在t FAE ∆R中，由勾股定理得EF =． AE AF = ，45OFE ∴∠= ． 在t FCP ∆R 中，1CP CF ==，PF ∴=OF FP OP ∴=+=0b ∴<≤．本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理的推论，锐角三角形函数等知识，解题的关键是由直角联想到构造辅助圆．2.3 依据四点共圆情况构造圆在平面几何问题中有着四点共圆的条件大约有４种情况：第一种，若四个点到同一点的距离相等，则这四点共圆；第二种，两个直角三角形共斜边，则这两个直角三角形的各顶点在同一个圆上（如图8）；第三种：若两个三角形有一条公共边，且它们所对的角在这条边的同侧且相等，则这两个三角形共圆（如图9）；第四种，若四边形的对角互补或者它的任意一个外角都等于它的内对角，则这四点共圆（如图10）．如果能够发现以上4种情况构造圆，则可帮助我们把直线型问题转化为圆的问题，利用圆的有关性质，得到些新思路与解法．例5 （2017年福建中考·24）如图11，矩形ABCD中，6AB =，8AD =，P E ，分别是线段AC BC ，上的点，且四边形PEFD 为矩形．若AP =，求CF 的长．分析 如图12矩形ABCD 与矩形PEFD 共顶点D ，易得12∠=∠，t EPD ∆R ，t EFD ∆R 与t EDC ∆R 共斜边，以ED 为直径构造圆，则点E C F D P ，，，，五点共圆，因DF PE =可得 DFPE =，根据等弧所对的圆周角相等得到35∠=∠，由于//AD BC ，所以4∠5=∠，34∠=∠，由两角法得APD ∆∽DCF ∆，问题得到解决．解 四边形ABCD 与PEFD 都是矩形， 90ADC PDF ∴∠=∠= ，12∴∠=∠， 连接ED 与PF 交于点H ，连接HC ， 四边形PEFD 都是矩形，PH EH HF DH ∴===，90BCD ∴∠= ， PH EH HF DH HC ∴====， 则点E C F D P ，，，，五点共圆，DF PE = ， DFPE ∴=，35∴∠=∠， APD ∴∆∽DCF ∆，AD APCD CF∴=， 6CD AB == ，8AD =，AP =， 86∴=CF ∴=．本题的关键是构造辅助圆，将分散的条件集中，把角进行合理转换，然后结合矩形及相似三角形的判定与性质进行分析解答．总之，在平时的教学中，我们要做到“图中无圆，心中有圆”．认真分析题意找出题目中所隐含着圆的旋转不变性与对称性的特征，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！从而达到高效解题的目的．参考文献 [1]罗增儒．中学数学解题的理论与实践[M]．南宁：广西教育出版社，2008 [2]王国兵．巧作辅助圆解题[J]．初中数学教与学，2013（15）：13-15 [3]孙卫荣．例谈中考试题中的辅助圆[J]．初中数学教与学，2016（1）：32-34图7图12P B图10图9图8图11P B。

初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。

3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。

二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。

2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。

3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。

4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。

5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。

三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。

2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。

3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。

4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。

5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。

通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。