全国第八届青年数学教师优质课教学设计:函数的单调性2 Word版含答案
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《§1.3.1函数的单调性(第一课时)》教学设计课型:新授课一、教学内容解析及学情分析首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段:第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数,对函数的增减性有一个初步的感性认识,知图象的变化趋势;第二阶段是在高一学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性,并知其变化快慢.高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高二的学习奠定基础.其次,从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从观察图象,用自然语言描述函数图象特征,以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材,同时是一节具有奠基意义的数学方法课.二、教学目标按照教学大纲的要求,根据教材和学情,确定如下教学目标:1.知识与技能目标:①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;②掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法;③掌握利用函数单调性的定义证明函数在某个区间上的单调性.④隐性目标:让学生体验数学知识的发生发展过程,在体验函数单调性概念的建构过程中掌握数学的认知策略.2.过程与方法目标:①通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法;②通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;③在体验函数单调性概念符号化的建构过程中,让学生体会数学知识的发生发展过程:由形象到抽象,从具体到一般,掌握数学概念的本质,培养学生观察、归纳、抽象的概括能力和语言表达能力;④通过课堂练习单及时巩固学习成果,完成学习目标.3.情感、态度与价值观目标:①充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思,促进学生形成研究氛围和合作意识.②重视知识的形成过程教学,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与收获的乐趣.三、教学重、难点对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先,用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言,参与函数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点.其次,由于学生第一次接触到代数证明,如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点.根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求,本节课的教学重难点是:教学重点:增(减)函数概念的形成;教学难点:①形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达;②用定义证明函数的单调性.四、教法、学法教法:本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用,增强动感和直观性,充分发挥其快捷、生动、形象的特点,有助于学生对问题的理解和认识,提高教学效果和教学质量;学法:合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法.五、教具准备实物展示台、多媒体.六、教学过程:(一)问题情境:在2016年8月10号的里约奥运会上,由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获得10米台跳水冠军,展示跳水动图,问题1:跳水运动员的运动轨迹是什么?问题2:从左向右看,图象的变化趋势是什么?函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.设计意图:把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入,增强学生的民族自豪感,另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节课,让学生感受数学来自生活.(二)建构定义:1.概念探究阶段第一次认识:(图形语言)观察函数2x y =的图象,思考1:从左向右看函数在区间()∞+,0上的图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?)思考2:怎样描述图象的上升呢?第二次认识:(文字语言)教师几何画板展示,点A 在()∞+,0上向上运动时,A 点坐标的变化.让学生观察到,函数2x y =在区间()∞+,0上,随着自变量x 的增大,函数值y 也增大.这是我们从形的角度观察到的,那么怎样用符号和式子描述函数值y 随着自变量x 的增大而增大呢?第三次认识:(符号语言)首先:将两个“增大”符号化,比较才能出大小,在区间()∞+,0上的1x ,2x ,即当12x x <时,)()(21x f x f <.在区间D 上的1x ,2x ,即当12x x <时,)()(21x f x f <.此时一定能保证在区间D 上的图象是上升的吗?图象可能会出现哪些情况?需要添加什么条件使得在区间D 上的图象是上升的?所以,进一步完善表达:对于区间()∞+,0上的任意的两个自变量的值21,x x ,当12x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数2)(x x f =在区间()∞+,0上是增函数. 设计意图:通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描述,即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程,学生能够更好的感受数学知识的生成过程.通过一系列的问题逐步引导学生发现1x ,2x 的任意性,让学生体会数学的严谨性.2. 本着从特殊到一般的原则,对于一般函数,我们来定义增函数:设函数)(x f 的定义域为I,I D ⊆,任意D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数. 3.对比增函数的定义,由学生归纳出减函数的定义.设函数)(x f 的定义域为I,I D ⊆,任意D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.即减函数图象在区间D 内呈下降趋势,当x 的值增大时,函数值y 减小.设计意图:得出减函数定义,培养学生的类比能力.4.对定义的理解:(1)21,x x 的任意性;教师几何画板展示,帮助学生从运动变化的观点理解21,x x 的任意性.(2)对21x x <的理解:此时)(1x f 与)(2x f 不等,说明变量不同,函数值不同,所以我们不在一点出讨论函数的单调性,当端点在定义域的范围内,区间可开可闭,当端点不在定义域的范围内,区间是开区间.(3)分析定义中自变量与因变量的变化关系,当21x x ≠时,()()()()02121>--x f x f x x 说明了什么?设计意图:定义是数学的核心,通过教师带领学生理解定义,可以提高学生的认识和理解.5.函数的单调性定义如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或者减函数,那么就说函数)(x f y =在区间D 上具有单调性,函数的单调性也叫函数的增减性;增函数与减函数也分别叫做单调递增函数,单调递减函数;区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.所以,函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.探究:函数xy 1=在定义域上的单调性是怎样的? 设计意图:再次让学生体会和理解函数单调性的定义,多个单调增(减)区间用“,”“和”连接,不用“∪”.类型一:根据函数图象写出函数的单调区间例 1.下图是定义在[-5,5]上的函数)(x f y =的图象,根据图象说出函数)(x f y =的单调区间,以及在每一单调区间上,)(x f y =是增函数还是减函数。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科:_____________任教年级:_____________任教老师:_____________xx市实验学校《函数的单调性》教案【教学目标】【知识目标】:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函数图像理解和研究函数的性质,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质,并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用,【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.由于判断或证明函数的单调性,常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体,通过双主体的教学模式方法:启发式教学法——以设问和疑问层层引导,激发学生,启发学生积极思考,逐步从常识走向科学,将感性认识提升到理性认识,培养和发展学生的抽象思维能力。探究教学法——引导学生去疑;鼓励学生去探; 激励学生去思,培养学生的创造性思维和批判精神。合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。【教学手段】计算机、投影仪.【教学过程】一、创设情境,引入课题(利用电脑展示)1. 如图为某市一天内的气温变化图:(1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内的变化情况.(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大,气温逐渐升高或下降”这一特征?引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.问题:观察图形,能得到什么信息?预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;(2)在某时刻的温度;(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,是很有帮助的.问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案:股票价格、水位变化、心电图等等春兰股份线性图.水位变化图归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.二、归纳探索,形成概念对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1.借助图象,直观感知问题1:分别作出函数212,2,,y x y x y x yx=+=-+==的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?(学生自己动手画,然后电脑显示下图)预案:生:函数2y x =+在整个定义域内 y 随x 的增大而增大;函数2y x =-+在整个定义域内 y 随x 的增大而减小.师:函数2y x =的图像变化规律生:在y 轴的的左侧y 随x 的增大而减小.在y 轴的的右侧y 随x 的增大而增大。师:我们学过区间的表示方法,如何用区间的概念来表述图像的变化规律生:在(0,)+∞上 y 随x 的增大而增大,在(,0)-∞上y 随x 的增大而减小.师:这样表述就比较严密了,很好。由上面的讨论可知,函数的单调性与自变量的范围有关,一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数,但在定义城的某个子集上可以是单调函数。(3)函数1y x=的图像变化规律如何。 生:(1)定义域中的减函数。(2)在(0,)+∞上 y 随x 的增大而减小,在(,0)-∞上y 随x 的增大而减小.师:对于两种答案,哪一种是正确的,为什么?学生分组讨论。从定义域,图像的角度考虑,也可以举反例引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案:如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 也越来越大,我们说函数()f x 在该区间上为增函数;如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 越来越小,我们说函数()f x 在该区间上为减函数.教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识. 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.2.探究规律,理性认识问题1:下图是函数2(0)y x x x=+>的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?(电脑显示,学生分组讨论)学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题2:如何从解析式的角度说明2()f x x =在[0,)+∞为增函数?预案: 生: 在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12<22,所以2()f x x =在[0,)+∞为增函数.生:仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x 2在区间[0,+∞)上为单调递增函数,应该举出无数个。由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别,所以许多学生对学生2的说法表示赞同。生:函数,1[(2-∈=x x y )∞+)无数个如(2)中的实数,显然f(x)也随x 的增大而增大,是不是也可以说函数2x y =在区间),1[+∞-上是增函数?可这与图象矛盾啊?师:“无数个”能不能代表“所有”呢?比如:2、3、4、5……有无数个自然数都比23大,那我们能不能说所有的自然数都比23大呢?所以具体值取得再多,也不能代表所有的,思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。生:任取12,[0,)x x ∈+∞且12x x <,因为22121212()()0x x x x x x -=-+<,即2212x x <,所以2()f x x =在为增函数.旧教材的定义在这里就可以归纳出来,但是人教B 版新教材使用了自变量的增量和函数值的增量来表述,并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备,所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。(5)仿(4)12,[0,)x x ∈+∞且12x x <,由图象可知,即给自变量一个增量012>-=∆x x x ,21x x x =+∆,函数值的增量)2()(2)(2)()()()()(12121212121211112x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x f x f y ∆+∆=∆+•∆=-∆+•∆+=-∆+=-∆+=-=∆ 所以2()f x x =在[0,)+∞为增函数。对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律,判断函数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.3.抽象思维,形成概念问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.(1)板书定义设函数)(x f y =的定义域为A,区间M ⊆A,如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=∆x x x 时,都有0)()(12>-=∆x f x f y ,那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数,如图(1)当改变量012>-=∆x x x 时,都有0)()(12<-=∆x f x f y ,那么就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数,如图(2)(2)巩固概念(以下问题老师提问后,学生适当讨论后回答)师:根据函数的单调性的定义思考:由f(x)是增(减)函数且f(x 1)<f(x 2)能否推出x 1<x 2(x 1>x 2),生:能。因为定义中区间M 中的任意两个值21,x x 若12x x <,012>-=∆x x x 都有0)()(12<-=∆x f x f y 。师:我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ∆∆,的符号规律,你有什么发现没有? 生:增函数都为正,减函数一正一负。师:如果将增函数中的“当012>-=∆x x x 时,都有0)()(12>-=∆x f x f y ”改为当012<-=∆x x x 时,都有0)()(12<-=∆x f x f y 结论是否一样呢?生:一样师:减函数的定义是否也可以进行这样修改?生:可以。师:根据刚才的分析,你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系?生:自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调递增函数,如果是异号则是单调递减函数。师:那你们能否将定义修改地更为简洁呢?生:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若0)()(2121>--x x x f x f 即0>∆∆x y ,则函数y=f(x)是增函数,若0)()(2121<--x x x f x f 即0<∆∆x y ,则函数y=f(x)为减函数。 师:很好,事实上xy x x x f x f ∆∆=--2121)()(的符号决定了函数f(x)的单调性,我们不仅要能从图象上直观判断函数的单调性,更应该要从单调性的本质上来理解这个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性,说明大家对单调性概念的理解还是比较非常深刻的。【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析,带领学生深入定义的表达形式,探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式,实现了从具体到抽象的转化。事实上,这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化判断题: ①已知1()f x x=因为(1)(2)f f -<,所以函数()f x 是增函数. ②若函数()f x 满足(2)(3)f f <则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数.③若函数()f x 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数.④因为函数1()f x x =在区间(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数,所以1()f x x=在(,0)(0,)-∞⋃+∞上是减函数.⑤观察问题情境1中气温变化图像,根据图像说出函数的单调区间及其单调性。通过判断题,强调三点:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A B ⋃上是增(或减)函数.如图所示思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?说明:要说明一个命题是正确的,必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可。〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.三、掌握证法,适当延展例 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)是减函数. 1.分析解决问题 针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.证明:任取),0(,21+∞∈x x 且12x x <,012>-=∆x x x 设元121211)()(x x x f x f y -=-=∆ 求差2121x x x x -=变形 21x x x ∆-= 0,002121>•>∆∴<<x x x x x Θ 断号0<∆y ∴函数函数xx f 1)(=在(0,+∞)是减函数. 定论 思考:如何证明x x f 1)(=在(-)0,∞上的单调性。 2.归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形(因式分解、配方、不等式等)断号、定论.练习:证明函数()f x =()0,+∞上是增函数.问题:要证明函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数,除了用定义来证,可以让学生尝试用这种等价形式---对任意的1212,,,(,)x x R x x a b ∈∈,且12x x ≠有0>∆∆x y ,证明函数()f x =在()0,+∞上是增函数.〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.四、归纳小结,提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.1.小结(1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2) 证明方法和步骤:求函数的定义域,设元、作差、变形、断号、定论.(3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等.2.作业书面作业:课本第50页练习B 3,课本第56页 习题2.1 A 第6题.课后探究:(1) 函数值的改变量与自变量的改变量之比2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率。研究一个函数在某个区间上是增函数还是减函数时,能否根据函数的平均变化率,即比值y x ∆∆的符号来判断函数y=f(x)在某个区间上是增函数还是减函数?比值y x∆∆的大小与函数值增大的快慢有什么关系? (2) 研究函数1()(0)f x x x x =+>的单调性,并结合描点法画出函数的草图. 教学反思1、新课标明确指出:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不仅把函数看成是变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求,从结合实际问题出发,,让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知,观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。所以在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上,让学生通过观察函数图像的变化规律,然后归纳猜测,勇于实践探究式的教学方法,取得了较好的教学成果。2、函数的单调性是函数的一个重要性质在理解函数单调性的定义时,值得注意下列三点:(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. 在讨论函数的单调性时,特别要注意,若f(x)在区间D 1,D 2上分别是增函数,但f(x)不一定在区间D 1∪D 2上是增函数,例如:函数f(x)=11+-x x 在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,+∞)上也是增函数,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不是增函数,f(1)<f(-3)便是一例.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x 1,x 2具有任意性,不能用特殊性替代.(3)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数且f(x 1)<f(x 2)⇒x 1<x 2(x 1>x 2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.2.判断函数的单调性或单调区间时,可以结合函数的图象升降进行判定,对于一般函数需用增、减函数定义加以证明,用定义的证明函数的单调性学生还存在问题较多。3.一次函数、二次函数、反比例函数及y=x+xa (a>0)型的函数的单调性和单调区间要记熟,把它们作为性质,可应用到一般函数单调性的判断上.4.由于时间的限制,这节课对二次函数单调性的讨论及应用进行的并不充分,下节课对于函数的单调性的定义的可逆性,已知二次函数在某个区间的增减性,求参数的取值等问题还需进一步探讨。精品教学教案设计| Excellent teaching plan 育人犹如春风化雨,授业不惜蜡炬成灰。
教学设计普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1(人教A版)函数的单调性与导数(第一课时)张丽园安阳市实验中学2016年10月15日《函数的单调性与导数》教学设计安阳市实验中学(第39中学)张丽园课题:函数的单调性与导数教材:人教A版《数学》选修1-1课时:1课时教材分析:函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.《数学课程标准》中与本节课相关的要求是:结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用.学生学情分析:课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.教学目标:结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系:能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.难点:探索并了解函数的单调性与导数的关系.借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系;理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发展的一般规律. 教学策略分析:根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面:一是能探索函数的单调性与导数的关系;二是掌握判断函数单调性的方法;三是能由导数信息绘制函数大致图象.本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课堂,并从中体会学习的成功和快乐.本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运用信息技术确认加深理解.充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想.(一)创设情境,引发冲突.师:在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.师:我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从2时到5时的气温与时间 可近似的用函数拟合,问:这段气温 随时间 的变化趋势如何?回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质?生:函数的单调性.师:如何判断这个函数的单调性呢?生:画图象,用定义.师:有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧 生:动手操作.师:选择画图的同学们,可以画出图象么?生:不可以.师:哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.生:在区间2到5上,任意选取 且,我们需要判断的符号, 师:可以判断么?生:不可以.师:好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调性问题呢?设计意图:通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情.(二)回归定义,寻求方法.师:追本溯源,我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.生:在函数)(x f 的定义域内的某区 内,满足对于任意的 且,都有,是增函数.师:很好,也就是我们要需要判断 的符号,我们把这个形式变形,判断1212)()(x x x f x f --的符号,结果为:生:大于0.师:即函数值的改变量与自变量改变量的比值:21t t <),(b a ),(,21b a x x ∈21x x <)()(21x f x f <)()(21x f x f -21t t ,)()(21t C t C -t t C C 1ln 4)(--=t t t C生:大于0师:函数)(x f 在区间内是减函数,满足对于任意的且,都有,也就是 生:小于0.即函数值的改变量与自变量改变量的比值:生:小于0.师:我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习中,我们知道这叫做----生:函数的平均变化率.师:我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变化率,即---- 生:导数.师:非常棒!我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.板书:3.3.1函数的单调性与导数.设计意图:注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,这个过程由浅入深,层层深入,合乎学生的逻辑思维.(三)观察发现,探索规律.师:要研究函数的单调性与导数的关系,我们来观察,函数单调递增时,平均变化率大于0,函数单调递减时,平均变化率小于0,那么,导数的符号是否与函数的单调性有关呢?师:我们从最熟悉的函数开始研究,我们都学过哪些基本初等函数呢? 生:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数.师:对于这些函数,我们都是通过函数的形,也就画出图像的方式来研究,同样的,导数的形,也就是导数的几何意义是什么呢?生:函数的图像在该点处切线的斜率.师:根据导数的几何意义,我们一起来看研究的方法.师:给出函数的图像,指出其单调区间,用牙签靠近图像,使其作为该点处的切线,移动牙签,观察斜率即导数的正负情况.师:拿出坐标纸,作出你研究的函数图像,利用牙签,得出结论,并填写下面的表格.师:可以进行讨论,到前面展示你的结果.师:我们一起来看同学们的展示,可以得到什么结论呢?生:导数为负数时函数单调递减,导数为正数时单调递增.师:熟悉的初等函数,得到这样的结论,数学来源于生活,我们再来看生活中的例子: 给出高台跳水运动员的高随时间变化的函数,来研究运动员运动状态的变化情1212)()(x x x f x f --)()(21x f x f >21x x <),(b a ),(,21b a x x ∈h t况.生:可以画出这个二次函数的图像,得到高度的变化情况,从),0(a 时刻,高度上升,),(b a 时刻高度下降.师:也就是高度函数先单调递增,而后单调递减,运动状态除了高度,还有速度,我们进一步研究.师:给出导函数即速度函数的图像,有什么结论?生:导函数即速度图像在x 轴的上方时高度函数单调递增,导函数图像在x 轴下方时函数单调递减.设计意图:从基本初等函数入手,让学生动手操作,通过观察、归纳,提炼,激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识,从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证,降低了学生的思维难度,又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用,把抽象的概念与物理背景结合,能迅速的突破难点,高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论.(四)结论总结,揭示本质.师:我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系.一般地,函数)(x f y =在某个区间),(b a 内1) 如果恒有 )(x f '>0,那么)(x f y = 在这个区间),(b a 内单调递增;2) 如果恒有 )(x f '<0,那么 )(x f y =在这个区间),(b a 内单调递减.导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系,这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析.若恒有)(x f '=0呢?思考一下板书:结论内容师:有结果了么?生:常函数.设计意图:由观察、猜想到归纳、总结,让学生体会知识的发现的过程,使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程,使自主探究成为学生的一种学习习惯.(五)自主分析,多维验证.师:这里我们分析了我们熟悉的函数,其他的函数呢?我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数)(x f .师:运用我们探究出的结论,求出函数)(x f 的单调区间,如何运用导数知识来解决呢?生:先给出定义域,求出导函数,导函数大于0的部分为增区间,小于0的部分为减区间.师:非常好!我们把完整的过程展示出来,发现利用导数这个工具,可以便捷的解决这个单调性问题.借助于作图工具,我们来看.师:做出函数的图像,在图像上任意选取一点,移动该点,我们可以观察到什么?生:函数单调递减然后单调递增.师:这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么?利用导数的几何意义,做出该点处的切线,显示其斜率即导数值,让点运动起来.师:有什么发现?生:导数值为正数时函数单调递增,函数值为负数时函数单调递减.师:我们可以做出导数点,动态生成导函数图像,再次印证了我们的结论作出该点出的切线,观察斜率即导数值得变化.作出导数点,观察导函数的形成过程.对比函数和导函数的图像,得出函数的单调性和导数正负的关系.设计意图:让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力,感受数学来源于生活又服务于生活.教师使用GGB 来动态演示,引导学生从“形”的角度验证,实现多维验证,降低学生思维的难度,体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性.(六)数学应用,体会价值.例:求函数233)(x x x f -= 的单调区间,并画出函数的大致图像.师:一起解决,并进行板书.展示学生的绘图.生:共同回答.练习:求函数x x x x f ()()())(23++= 的单调区间.师:用GGB 展示结果.设计意图:开放函数系数,激发学生自我挑战的学习欲望,为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台,感受到书法的通用性和优越性,充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用,同时高效重温二次不等式的解法,避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习,起到一题多用的效果.(七)方法小结,课堂提升.师:通过本节课的学习,思考下面的问题生:学习了函数的单调性与导数的关系,能够用利用导数求函数的单调区间,研究中体现了数形结合的思想.师:我们从一个无法解决的实际问题出发,回归定义寻求方法,从熟悉的函数到实际生活,得出结论,并能运用到陌生的函数中,探究过程中体现了数形结合的思想.设计意图:作为本节课的总结,从知识、方法、思想三个角度进行总结,对整节课探究过程进行回顾,体会数学研究问题的方式和其中的数学思想.尝试学生回顾本节的学习,培养“学习-总结-反思”的良好习惯.(八)回归生活,感悟数学.师:最后我们放松一下,一起来坐过山车生:过山车时视线向上时高度上升,视线向下时高度下降.师:这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系.师:人生犹如过山车,站在人生的每个瞬间的点上,我们都能向上看,人生轨迹就会是持续上升趋势;相反,如果我们被负面情绪萦绕,我们就会走下坡路.只要饱含正能量,脚踏实地走好每一步,相信同学们的前途会一片光明! 设计意图:体会数学可以回归生活.再次加深对本节课的感性认识,体会数学的人文精神.(九)分层作业,因材施教.必做题:教材98页, 习题3.3A 组 1、2 题.选做题:结合所学知识,举几个函数实例,比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.设计意图:学生巩固所学知识,为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间.。
1.2.1函数的概念教学设计一、教材分析:本节内容为《1.2.1函数的概念》,是人教A版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一,在初中,学生已经学习过函数的概念,它是从运动变化的观点出发,把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,最初的函数概念几乎等同于解析式.后来,人们逐渐意识到定义域与值域的重要性,而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系,往往先要弄清各个变量的物理意义,这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点,那么有些函数就很难进行深入研究.例如:1当X是有理数时,f (x)=」Q,当X是无理数时.对这个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,也说不出X的物理意义是什么•但用集合、对应的观点来解释,就十分自然.函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一、而函数概念是函数思想的基础,它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具.函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切,函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念,让学生感受建立函数模型的过程和方法.二、学情分析:在学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系,同时,虽然函数比较抽象,但是函数现象大量存在于学生的周围,教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析,从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念,对学生的抽象、归纳能力要求比较高,能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.三、教学目标:(一)知识与技能理解函数的定义,能用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的三要素.(二)过程与方法通过三个实例共性的分析到函数概念的形成,再对三个实例进行拓展,让学生对函数概念进行辨析,体现从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,渗透了归纳推理,实现了感性认识到理性认识的升华.(三)情感、态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念,培养学生的抽象概括能力,体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数,感受数学的抽象性和简洁美.四、教学重点与难点:(一)教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,并能用集合与对应的语言来刻画函数•(二)教学难点函数概念的理解及符号“ y二f(x) ”的含义.五、教学策略:首先,通过魔术表演,体现函数在实际生活中的运用,激发学生进一步学习函数的积极性;其次,在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例,从解析法、图象法、列表法等不同的方式,结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识,为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础;再次,分析讲解函数概念中的关键点时,对于对应关系f函数关系中多对一的情况、值域是集合B的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验,让抽象问题具体化;最后,通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景,用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向六、教学基本流程:七、教学情景设计:教学流程教学内容设计意图师生活动教学流程教学内容设计意图师生活动。
函数的概念教学设计辽宁省大连市第一中学张伟教学内容分析函数的概念是数学中最重要的概念之一,其本质是从一个非空数集到另一个非空数集的特殊对应,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型。
本节课在高中数学中有着承上启下的作用,从初中运动观下的函数定义出发,过渡到使用集合语言描述了更为确切的函数定义,本节课渗透的函数思想将被应用到数学的各个分支领域。
本课的教学重点是:理解函数的概念,教学难点是:函数概念及对符号的理解。
教学目标设置知识与能力:理解函数的集合观定义,并会使用符号表示;理解函数符号;会求一些简单函数的定义域,理解对应法则;使学生提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学能力。
过程与方法:创设情境,使学生经历从具体函数实例和运动观定义去解析函数的基础上,理解函数的集合观定义,进而理解法则,培养学生类比与联想的学习能力。
情感、态度和价值观:学生亲身经历了由特殊到一般的研究过程,培养了学生质疑、探究的科学精神,也培养学生唯物主义观点。
学生学情分析教学对象:市重点高中学生。
学生对函数概念并不陌生,初中的函数概念教会学生认识变量间的依存关系,并且掌握了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质,已经基本具备建模的能力。
学生思维普遍活跃,善于表达,善于发现问题,乐于和教师交流分享他们的解题心得。
但高一学生的抽象概括能力较弱,由实例到抽象的数学语言,需要教师的引领。
教学策略分析在短短的分钟要让学生经历函数定义发展史上年的探究历程,学生不可能独立完成,这需要教师用材料铺好一条路,要了解学情并对学生的疑问做好预设,难度大的地方搭好梯子,本节课以“学生为主体,教师引导”教学原则来设计,着重解决了学生的几个疑问。
、怎么从初中概念出发得到高中函数概念?学生的抽象概括能力还很薄弱,这使得用集合语言刻画函数概念很有难度,如果直接归纳定义学生会失去刚刚燃起的探究欲望,所以我选择从生活中的三个实例入手,用问题串引领学生完成实例的分析,在分析过程中,重点让学生体会每个例子的“变化过程”就是对应法则,初中定义的”某一区间”用集合语言描述就是定义域,自然过渡到集合语言描述函数概念。
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)教学目标:知识目标:让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函数图像理解和研究函数的性质,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
能力目标:通过探究函数单调性定义,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过证明函数单调性,提高学生的推理论证能力。
德育目标:通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。
教学重点:函数单调性的概念、判断及证明。
教学难点:归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
教材分析:函数的单调性是函数的重要性质之一,它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起。
本节课在教材中的作用如下:1)函数的单调性在初中数学中有广泛的应用。
它与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。
本节课通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性,既有从图像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的体系。
同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题,有利于学生数学能力的提高。
3)函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
函数的单调性在中学数学中扮演着十分重要的角色,因为它反映了函数的变化趋势和特点。
在解决问题时,利用函数单调性的观点是十分重要的,这为培养创新意识和实践能力提供了重要的途径和方式。
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-21.3.1单调性【教学内容解析】1.导数这个概念是高等数学的基本概念,又是中学阶段数学学习的一个主干知识,它是进一步学习数学和其他自然科学的基础,更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2.单调性作为函数的主要性质之一,主要用来刻画图象的变化趋势,在必修1的学习中定义了单调性,并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.3.这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后,试图通过导数来研究函数的单调性,为研究单调性提供了更一般的方法,是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。
起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4.教学重点:导数与函数单调性的关系的探索和发现;利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】1.借助几何直观,通过实例归纳函数的单调性与导数的关系;2.理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数单调区间;3.通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和感悟数学自身发展的一般规律.【学生学情分析】1. 已有的知识储备:(1)本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生,他们在经历了高一一学年的数学学习后,已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法,具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
(2)学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质,而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义,已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题:将导数与函数单调性联系起来,学生的抽象概括能力还不够;解决方法:需引导学生通过不断探究,数学联想,逐步得出导数研究函数单调性的结论。
2. 教学难点:发现和揭示导数与函数单调性的关系;并利用导数研究函数的单调性.突破策略:课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论,再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
示范教案整体设计教学分析在研究函数的性质时,单调性是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出.而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法,最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.3.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性.教学难点:增函数、减函数形式化定义的形成.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象)学生:先思考或讨论,回答:记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为横轴,以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2019年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:提示、点拨,并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如下图所示的函数y=x,y=x2,y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?③如何理解图象是上升的?④对于函数y=x2,列出x,y的对应值表(如下表).完成下表并体会图象在y轴右侧上升.x…-4-3-201234…f(x)……=x2⑤在数学上规定:函数y=x2在区间0,+∞上是增函数.谁能给出增函数的定义?⑥增函数的几何意义是什么?⑦类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?⑧函数y=f x在区间D上具有单调性,说明了函数y=f x在区间D上的图象有什么变化趋势?讨论结果:①函数y =x 的图象,从左向右看是上升的;函数y =x 2的图象在y 轴左侧是下降的,在y 轴右侧是上升的;函数y =-x 2的图象在y 轴左侧是上升的,在y 轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P 的坐标(x ,y)的意义:横坐标x 是自变量的取值,纵坐标y 是自变量为x 时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上,任取x 1、x 2,且x 1<x 2,那么就有y 1<y 2,也就是有f(x 1)<f(x 2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤在函数y =f(x)的图象上任取两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),记Δx =x 2-x 1,Δy =f(x 2)-f(x 1)=y 2-y 1.Δx 表示自变量x 的改变量,Δy 表示因变量y 的改变量,其中“Δ”为希腊字母,读作“delta”.一般地,设函数y =f(x)的定义域为A ,区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1,x 2,改变量Δx =x 2-x 1>0,则当Δy =f(x 2)-f(x 1)>0时,就称函数y =f(x)在区间M 上是增函数.如下图(1)所示.⑥从左向右看,图象是上升的.⑦在函数y =f(x)的图象上任取两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),记Δx =x 2-x 1,Δy =f(x 2)-f(x 1)=y 2-y 1.Δx 表示自变量x 的改变量,Δy 表示因变量y 的改变量,其中“Δ”为希腊字母,读作“delta”.一般地,设函数y =f(x)的定义域为A ,区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1,x 2,改变量Δx =x 2-x 1>0,则当Δy =f(x 2)-f(x 1)<0时,就称函数y =f(x)在区间M 上是减函数,如下图(2)所示.几何意义:从左向右看,图象是下降的.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性.(区间M 称为单调区间)⑧函数y =f(x)在区间D 上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.应用示例思路1例1说出函数f(x)=1x的单调区间,并指明在该区间上的单调性. 活动:学生思考函数单调性的几何意义,由图象得单调区间.解:(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数f(x)=1x都是单调递减的.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.活动:教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数.的单调区间是[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.例2证明函数f(x)=2x +1,在(-∞,+∞)上是增函数.证明:设x 1,x 2是任意两个不相等的实数,且x 1<x 2,则Δx =x 2-x 1>0,Δy =f(x 2)-f(x 1)=2x 2+1-(2x 1+1)=2(x 2-x 1)=2Δx >0,所以函数f(x)=2x +1在(-∞,+∞)上是增函数.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取.两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2;第二步,比.较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再.归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去.)”、二“比.”、三“再(赛.)”,因此简称为“去比赛...”.变式训练 证明函数f(x)=1x+2在区间(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数. 证明:设x 1,x 2是(-∞,0)内的任意两个不相等的负实数,且x 1<x 2,则Δx =x 2-x 1>0,Δy =f(x 2)-f(x 1)=1x 2+2-1x 1-2=x 1-x 2x 1x 2. 因为x 1-x 2=-Δx <0,x 1x 2>0,所以Δy <0.因此f(x)=1x+2在区间(-∞,0)上是减函数. 同理,对区间(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数x 1,x 2,且x 1<x 2,同样有Δy =f(x 2)-f(x 1)<0.所以f(x)=1x+2在区间(0,+∞)上也是减函数.思路2例1 (1)画出函数f(x)=-x 2+2x +3的图象;(2)证明函数f(x)=-x 2+2x +3在区间(-∞,1]上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m 的取值范围.解:(1)函数f(x)=-x 2+2x +3的图象如下图所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1],且x 1<x 2,则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 21+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 21)+2(x 1-x 2) =(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1],且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x +3在区间(-∞,1]上是增函数.(3)函数f(x)=-x 2+2x +3的对称轴是直线x =1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m 的取值范围是(-∞,1].点评:本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧的单调性相反;二次函数在区间D 上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D 内.判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明.第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势;第二步,结合图象来发现函数的单调区间;第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切,是高考命题的热点题型.例2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如下图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.分析:(1)画出二次函数y=x2-2x的图象,借助于图象解决;(2)类似于(1);(3)根据轴对称的含义补全函数的图象,也是借助于图象写出单调区间;(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论,利用轴对称的定义证明.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如下图.函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评:本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住,可以提高解题速度.图象类似于人的照片,看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点,同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练知能训练1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解:①正比例函数:y =kx(k≠0)当k >0时,函数y =kx 在定义域R 上是增函数;当k <0时,函数y =kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数:y =k x(k≠0) 当k >0时,函数y =k x的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递增区间;当k <0时,函数y =k x的单调递增区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数:y =kx +b(k≠0)当k >0时,函数y =kx +b 在定义域R 上是增函数;当k <0时,函数y =kx +b 在定义域R 上是减函数.④二次函数:y =ax 2+bx +c(a≠0)当a >0时,函数y =ax 2+bx +c 的单调递减区间是(-∞,-b 2a ],单调递增区间是[-b 2a,+∞);当a <0时,函数y =ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-b 2a,+∞),单调递增区间是(-∞,-b 2a]. 点评:以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度.2.已知函数y =kx +2在R 上是增函数,求实数k 的取值范围.答案:k ∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax +m 在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,求实数a 的值.答案:a =2.4.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(a +1)<f(-4a +1)成立,则a 的取值范围是__________.解析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,-4a +1>0. 解得-1<a <14. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴a +1>-4a +1.∴a >0.∴0<a <14,即a 的取值范围是(0,14). 答案:(0,14) 点评:本题实质是解不等式,但是这是一个不具体的不等式,是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时,常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”,转化为整式不等式.拓展提升问题:1.画出函数y =1x的图象,结合图象探讨下列说法是否正确? (1)函数y =1x 是减函数;(2)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y =1x ,取x 1=-1<x 2=2,则f(x 1)=-1<f(x 2)=12,满足当x 1<x 2时f(x 1)<f(x 2),说函数y =1x在定义域上是增函数对吗?为什么? 3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解?解答:1.(1)是错误的,从左向右看,函数y =1x的图象不是下降的. (2)是错误的,函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上函数y =1x的图象,从左向右看不是下降的,因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法,实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值,不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的,应用单调性定义解决问题时,要注意保持其任意性.点评:函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质,是函数的“局部性质”;函数y =f(x)在区间(a ,b)和(b ,c)上均是增(减)函数,那么在区间(a ,b)∪(b ,c)上的单调性不能确定.课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.作业课本本节练习B 1、2.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性的定义教学中,往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中,通过层层设问,调动学生的思维,突出培养了学生的思维能力,体现了教师是用教材教,而不是教教材.本节课采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.备课资料判断下列说法是否正确:①已知f(x)=2x,因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是增函数. ②若函数f(x)满足f(2)<f(3),则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数.③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.④因为函数f (x)=2x 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,所以f(x)=2x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.活动:教师强调以下三点后,让学生判断.①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).③函数在定义域内的两个区间A 、B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数.答案:这四个判断都是错误的.思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?。
《131单调性与最大(小)值第1课时》教学设计课型:新授课一、教学内容解析《函数的单调性》是《高中数学人教A版》(必修1)第一章1.3.1节的内容,本节课的主要内容是从形与数两方面理解函数单调性的概念,依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性.函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质,也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质. 函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法•这就是:加强数形的结合,由直观到抽象,由特殊到一般•即借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化的数字特征,从而加以解析研究,用准确的数学语言刻画•函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用,提供了方法依据.函数的单调性有着承前启后的作用.一方面,函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展,同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幕函数及其他函数单调性的理论基础,在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用;此外,从方法论的角度分析,本节教学过程当中,还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想.利用定义证明函数单调性的过程中,算法的思想提前渗透,在强调对单调性概念中的任意”理解的同时,为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫.本节课的教学重点:形成增(减)函数的形式化定义.二、教学目标设置根据新课标的要求和教学内容的结构特征,依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求,并结合本校学生的实际水平,确定本节课教学目标如下:1.从形与数两方面理解函数单调性的概念,会根据函数图象判断函数的单调性,指出函数的单调区间;2.能够根据函数单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性;3.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;在经历观察发现、抽象概括,自主建构单调性概念的过程中,让学生体会从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.目标解析:1 •在探究函数单调性定义时,领悟到数形结合思想、归纳类比思想、转化与化归思想,并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象,探究、归纳、概括出函数单调性的概念.2.能够以具体的例子说明函数在某区间上是增函数还是减函数;能够举例,并通过绘制图象说明函数在定义域的某区间上具有单调性,而在整个定义域上未必具有单调性,说明函数的单调性是函数的局部性质. 对于一个简单函数能够用单调性的定义证明它在指定区间上是增函数还是减函数.三、学生学情分析从学生的知识上看,学生已经学过一次函数、二次函数及反比例函数、函数的概念及表示,能画出一些简单函数的图象,从图象的直观变化,学生能粗略的领会函数增减性的概念,从而引入函数单调性的定义也就水到渠成.从学生现有的学习能力来看,通过初中对函数的认识和实验,学生已具备一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例,但并没有上升为概念”的水平,如何定性”定量”的描述函数性质是学生关注的问题,也是学习的重难点问题.函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质,学生渴望进一步学习,这种积极心态是学生学好本节课的情感基础•但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义,学生接受起来还比较困难•在教学中要多引导,让学生真正的理解函数单调性的定义.教学难点:在形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述;基于第一次接触代数证明,如何用定义严格证明函数的单调性,也是本节课教学的一个难点.四、教学策略分析为实现本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上我主要采取了以下的策略:1创设情境.通过观察上楼梯的动态图片及分析上楼梯时人的位置随台阶的变化情况,自然联系函数的单调性,同时激发学生的学习兴趣,轻松引入课题.2•提炼概念.①以学生熟悉的函数f(x)=x2为例,让学生从图象上获得上升”下降”的整体认识,初步认识函数单调性;②通过几何画板的动态演示和数据分析,让学生直观了解图象的升降与x、f(x)对应值之间的关系,能用自然语言“f x随着x的增大而增大”来描述函数f x i;= x2的图象在0,=是上升的”,进一步认识函数单调性;③经历观察、分析、归纳的认知过程,能将图象在0「:上升”这一特征用该区间上任意的x,:必,都有f(xj ::: f(X2)”的符号语言进行刻画,从而产生增函数的概念•最后通过类比,得出减函数的概念.3•辨析概念.一方面是函数单调性概念内涵的挖掘,结合函数单调性定义中的关键词任意”以及单调性是函数的局部性质等内容设置辨析,加深对概念的理解;另一方面是概念的外延拓展,从单调区间没有可加性、单调性概念的正逆互推这两个方面和学生互动交流,提升对单调性概念的整体认知.4•应用概念.一方面通过观察图象判断函数的单调性,指出函数的单调区间;另一方面,让学生掌握根据定义证明函数在给定区间上的单调性的方法和规范步骤.五、教学过程(一)创设情境,弓I入新知函数是研究事物运动变化规律的数学模型,而生活中许多运动变化现象都具有规律性•让学生观察“上楼梯”的动态图片,提出问题:在上楼梯时,人的位置是如何随台阶的变化而变化的?预设:随着台阶数的增加,人的位置会逐渐升高.“上楼梯”的这种变化规律,体现的就是人的位置与台阶级数这两个量之间的变化规律,从函数的角度看,即一个量随另一个量变化而变化的规律.【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣.(二)提炼概念,形成新知教师:这种规律,反映了函数的一个重要性质,这就是我们今天要研究的内容:函数的单调性•本节课我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.问题1:观察函数f(x) =x • 1与f(x) =「2x 2的图象,解决如下问题:(1)从左往右看,图象有什么样的升” 降”规律?(2)图像的这种升” 降”规律反映了随着自变量的变化,函数值是如何变化的?①第一个图象从左至右是上升的,在整个定义域内f(x)随着x的增大而增大; ②第二个图象从左至右是下降的,在整个定义域内f(x)随着x的增大而减小•然后让学生明确,对于自变量变化时,函数值具有这两种变化规律的函数,我们分别称为增函数和减函数.教师:二次函数f(x)=x2在整个定义域内是增函数还是减函数?通过师生互动,引导学生认识增、减函数和区间的关系,强调单调性是针对定义域的某个区间而言的,是函数的一种局部性质.【设计意图】从图象直观感知函数的单调性,并从图形的刻画过渡到数量关系,即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述,完成对单调性的第一次认识.教师:通过观察图象的升、降趋势,我们用自然语言描述了增、减函数,但数学中的概念表述要求严谨规范,所以还需用准确的符号语言来刻画增、减函数的定义.问题2:以二次函数f(x)=x2为例,如何用准确的符号语言描述“f(x)在0, •::上是增函数,即在0, •::上f (x)随x的增大而增大”?第一步:将x增大”符号化,类比x增大”得到f'(x)的增大”教师:x增大”,就是x由小变大,这说明增大”意味着大小比较,而比较至少要在两个数之间进行.不妨设其中一数为X i,另一数为X2,将&看作较小数、X2看作较大数,自然得到X增大”用符号语言描述就是:Xi:X2 .第二步:将随”字符号化;预设:学生不难得出,当X i :::X2时,有f X i ::: f X2 .第三步:再将隐含语言区间”符号化;教师:X i、X2在哪里取?该区间与定义域有何关系?强调单调性是函数的局部性质,逐步引导学生得出单调性定义.说明:学生对“任意性”的认识可能会有欠缺,但可通过后续的概念辨析等学习活动加深对单调性概念的理解,逐步深化认知.【设计意图】通过一系列提问和引导,让学生突破思维的瓶颈,初步学会用符号语言在区间0「:上任取两个数X i,X2,当X^::X2时,都有f(xj :::f(x2) ” 来描述在(0,址)上f(x )随着X的增大而增大”把对单调性的认识由感性上升到理性认知高度,完成对概念的第二次认识.师生共同探究,得出增函数的严格定义(板书定义):一般地,设函数f x的定义域为I :如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当Xi:x2时,都有f(xj ::: g,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.用图象刻画增函数.【设计意图】体现了对函数研究的一般方法:由特殊到一般的思想方法.问题3:类比增函数的定义,对于一般的函数y = f x,我们又该如何给减函数下定义?学生通过类比、观察、交流后,得出减函数定义,并用图象刻画减函数.师生活动:小组交流讨论,代表发言.【设计意图】得出减函数定义,培养学生的类比推理能力.(三)辨析概念,深化新知辨析题:判断下列说法是否正确,若不正确,请举例说明理由.⑴定义在R上的函数f(x)满足f(- 1)< f(2),则函数f(x)在R上是增函数.(交流讨论,借助幻灯片以图象形式给出反例)⑵f(x)=x2-3在-::上是增函数.(%1 1⑶反比例函数f(x)^1在-::,0,0,= 上是减函数,则f(x)^1在x x(-甲0 2(0,咼上也是减函数.(% (小组合作探究,学生展示反例)⑷函数y = f x在[0/ ::)上为增函数,任取x i、X2 •,如果f X i ::: f X2 ,那么X i ::: X2 . (V)(几何画板作动态演示)师生交流,代表发言,通过辨析题让学生认识到以下五点:(1)在定义域R上有两个或无数个自变量满足当X i :::X2时,有f Xi ::: f X2 都不能反映函数值f(X)随自变量X的增大而增大”的本质.必须强调X i、X2是任意”的,才符合增函数的特征;(2)有些函数只在定义域的某些区间上具有单调性,而在整个定义域上不一定单调,强调单调性是函数的局部性质;(3)以反比例函数为突破口,强调单调区间没有可加性;通过本题也可让学生思考:如何说明一个函数在给定区间上不是单调函数?(4)函数单调性的概念可以正逆互推,了解这点有利于后续解决运用单调性求解不等式的相关问题.【设计意图】通过对概念的辨析,一方面挖掘函数单调性概念的内涵,另一方面拓展其外延,加深对单调性的理解,完成对概念的第三次认识.(四)应用概念,掌握新知例1下图是定义在区间1-5,51上的函数y二f x,根据函数图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?【设计意图】学生能通过观察图象说出函数的单调区间,完善和加深对函数单调性概念的理解.例2试用单调性的定义证明f(x)=x2在[0,;)上是增函数.师生活动:教师分析,学生思考,教师按定义严格板书示范,指出本例证明的关键是对作差结果进行合理变形和符号判断,让学生提炼用定义法证明函数单调性的基本步骤:①任取;②判断;③根据定义下结论,并强调为必2的三个特征:同范围、任意性、有大小.2练习:证明函数f(x)=- 1在-::,0上是减函数.x师生活动:学生上台展示,教师讲评.【设计意图】让学生掌握用定义证明函数单调性的方法和书写的规范步骤.(五)课堂小结通过本节课的学习,我们来体会一下都有哪些收获?师生活动:学生谈本节课的感受,教师梳理、总结本节课主要的学习内容,并揭示蕴涵的数学思想方法.【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法.思考:如果对任意的x-\,x2E i a, b,当x^2 x2时,有捲「x2〔f (为)「f (x2)丨• 0,那么函数y=f(x)在a,b上是增函数吗?(六)布置作业1 .基础达标:①教材中练习的第2、3题;②求证:函数f x =x2在区间」:,0上是减函数;、x2 +1, x > 02.能力提升:研究函数f(x) =」2的单调性;-x —X, x£03.思考探究:在一碗水中加入一定量的糖,糖加的越多糖水越甜(糖水不饱和状态下).你能用本堂课所学知识解释这一生活现象吗?【设计意图】有梯度的设计作业,满足不同层次学生的不同要求•同时,探究题有意识的将数学与生活结合,让学生学以致用,既巩固了基本知识,又提升了分析问题和解决问题的能力.(六)板书设计(七)教学反思本节课通过给出具体的函数实例和函数单调性的图形语言,调动学生参与的意识,又运用多媒体演示、提问、分析定义等方法,加深对抽象的数学概念的理解,渗透了数形结合的数学思想方法. 后面通过概念辨析,使学生的认识得到深化,思维得到发展.。
函数的单调性教学设计
蒲城县尧山中学数学组:何晓莉
2016.9.28
函数的单调性教学设计
一.教学内容解析:
1.教材内容及地位
本节课是北师大版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时,主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质,为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质,包括导函数内容等;在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此,它是高中数学核心知识之一,是函数教学的战略要地.
2.教学重点函数单调性的概念,判断和证明简单函数的单调性.3.教学难点函数单调性概念的生成,证明单调性的代数推理论证.二.教学目标设置
1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越,体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.
3.通过探究函数单调性,让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程,体验数学的理性精神和力量.
4.引导学生参与课堂学习,进一步养成思辨和严谨的思维习惯,锻炼探究、概括和交流的学习能力.
三.学生学情分析
1.教学有利因素学生在初中阶段,通过学习一次函数、二次函数和反比例函数,已经对函数的单调性有了“形”的直观认识,了解用“y随x的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好,数学思维活跃,具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.
2.教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象,从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段,逻辑思维水平不高,抽象概括能力不强.另外,他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.
四、教学策略分析
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难:一是如何把“y随x的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言,尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象;二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言,作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标,突出重点,突破难点,我们主要采取以下形式组织学习材料:
1.指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势,借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上,通过师生对话自然生成.
2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势,结
合初中已学函数的图象,让学生直观感受函数单调性,明确相关概念.
3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突,让学生意识到继续学习的必要性;然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结,并回顾已有知识经验,实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.
4.在“学以致用”阶段.首先通过2个问题帮助学生从正、反两方面辨析,逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法,一起提炼基本步骤,强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.
五、教学过程
(一)创设情境,引入课题
问题1:科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天气温随时间的变化曲线.请你根据曲线图说说气温的变化情况?
设计说明:设置悬念,从实际生活出发使学生懂得数学来源于生活,激发学生的求知欲望
问题:2:观察下列函数图象,请你说说这些函数有什么变化趋势?
设计说明:明确目标、引起思考。
给出函数单调性的图形语言,调动学生的参与意识,通过直观图形得出结论,渗透数形结合的数学思想。
(二)引导探索,生成概念
问题3:如何用数学语言准确刻画函数在区间D 上递增呢?
设计说明:给出函数单调性的数学语言。
通过教师指图说明,分析定义,提问等办法,使学生把定义与直观图象结合起来,加深对概念的理解,渗透数形结合分析问题的数学思想方法。
问题4:如果函数y=x2在区间[-3,3]内存在-1<2,恰有 f(-1)< f (2),那么函数y=f(x)在该区间上一定是单调递增的吗?
问题5:函数x x f 1)(=是减函数吗?
设计说明:通过学生的积极思维探索,从抽象到具体,并通过反例反衬,使学生对概念有了本质的认识,同时也锻炼了学生的逻辑思维能力
(三)学以致用,理解感悟
例1:证明函数 x x x f 1)(+=在(0,1)上单调递减。
设计说明:主要考查定义法。
让学生归纳证明单调性的一般步骤,使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法,强化证题的规范性,从而提高学生的推理论证能力。
通过解题,帮助学生初步构建解题模式。
练习:函数21
)(x x f =在()+∞,0上是增函数。
设计说明:请学生板演,然后由其他学生完善步骤.
(四)回顾反思,深化认识
课堂小结:通过本节课的学习,你的主要收获有哪些?
关键词:概念,证明方法,数学思想等。
设计说明:通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明确的认识,能抓住重点进行课后复习。
(五)布置作业 习题2-3 A 组:2,4,5;
(六)板书设计
函数的单调性
递增:(板书定义) 例题(提炼步骤,明确变形方向) 递减:(学生类比) 练习(学生板演)
(七)教后反思
数无形时少直觉,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔离分家万事休。
——华罗庚以后教学中,要注意“数”和“形”的和谐统一。