数学苏教版必修1函数的单调性(教案)

实例近六届世界杯进球数的表格与年份。

进球数. 1990. 115P 1994. 137〃 199& 171. 2002『 161P 2006. 147。

2010. 145^实例某国某地某天的气温变化曲实例函数的图(1)/(x)=x+l (2)/"(工)=工 第二章函数(4)函数的单调性一、学习目标: 1、理解增函数和减函数的定义 2、会利用定义证明函数的单调性 3、了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象写出的单调区间 二、学习过程:1、【实例探究】问题1：实例1中随着年份的变化，进球数有什么变化；实例2中随着时间的变化，温度有什么变化；实例3中随着自变量x 的变化，因变量》有什么变化? 问题2：怎样用数学语言描述“随自变量X 的增大，因变量y 不断增大”和“随自变量X 的增大，因变量y 不断减小” 2、【构建新知】(1)单调性的通俗定义:单调遂增函数单调遂覆函数y图象1 1F图象特征从左到右，图象上升从左到右,图象下降正y随x的瑁大而增大y随x的增大而减小(2)单调性的经典定义:三、例题分析：例1、下图是定义在[-5,5]±的函数y = /(%)的图象，根据图象说出函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = /(x)是增函数还是减函数。

四、巩固练习：1、函数/(%) =| %| (% e R)的增区间为函数/(x) =\X\(XE[-2,3])的增区间为2、函数/(%) = %2 + 2x-3(xe R)的减区间为3、求证：函数/(%) = --在区间(-3,0)上是单调增函数XX + ]4、用定义证明f(x) =——在(l,+oo)上是减函数x-15、用定义证明/(%)=A/^(%>0)在定义域上是增函数五、小结：用定义法证明函数单调性的步骤:1、取值:设任意玉、切属于给定区间，且X] < X?；2、作差运算：/■(>])—f(X)= ....注意：①运算的常用公式:平方差公式、立方和立方差公式%1运算的常用技巧:提取公因式、四项两两结合、通分、分母有理化等%1运算要彻底，3、定号:确定/(%[)-/(%2)的正负号；4、下结论：由定义得出函数的单调性。

函 数 的 单 调 性【教学目的】1． 使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2． 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力； 【基本知识】1、 定义：对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，如果有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间；如果有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间； 〖说明〗1。

单调区间是定义域的子集；2。

若函数f(x)在区间D 上是增函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 若函数f(x)在区间D 上是减函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 3。

单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法：①定义； ②导数； ③复合函数单调性：同增则增，异增则减； ④图象 3、 常用结论：①两个增（减）函数的和为___；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是__； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；【课前预习】1． 下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是 ( )A 、84)(2+-=x x x f B 、g(x)=ax+3 (a≥0) C 、2()1h x x =-+ D 、12()log ()s x x =- 2． 函数33y x x=+的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 3． 函数f(x)＝｜log a x ｜（0＜a ＜1）的单调增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 4． 函数)23(log )(221-+-=x x x f 的减区间是__________________5． 函数f(x)＝x 3+ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿ 【例题讲解】例1：若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【变式1】3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）为增函数，求实数a 的取值范围；【变式2】已知数列{a n }中22(1)2n a n a n =+-+，且n a 随着n 的增大而增大，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿例2、判断并证明函数1()1xf x x-=+的单调性【变式1】判断函数)1,0(11log )(≠>+-=a a x xx f a的单调性 【变式2】已知函数1()log (1)1axf x a x-=>+，是否存在实数x ，使关于x 的不等式 2()(1)f x f x <-成立例3、设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

函数的单调性教学设计一、教材分析本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。

函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。

函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力二、教学目标1、知识与技能目标（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2、过程与方法目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。

三、教学重点函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法四、教学难点函数单调性的判断与证明。

五、教学策略在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

六、教学准备利用多媒体教学七、教学过程：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

5.学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。

体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．（2）判断并证明函数的单调性．探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．请你运用所学的数学知识解释这一现象．设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增；（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的；（3）反比例函数的单调递减区间是．设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．例题：判断并证明函数的单调性．。

函数的单调性（一）教学目标：使学生明白得增函数、减函数的概念，把握判定某些函数增减性的方式，培育学生利用数学概念进行判定推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启发学生养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好思维适应.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判定和证明.教学进程：Ⅰ.温习回忆［师］前面咱们学习了函数的概念、表示方式和区间的概念，讨论了函数的概念域、值域的求法.今天咱们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.教学新课［师］在初中咱们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，依照取值、列表、描点、作图等步骤别离画出y＝x2和y＝x3的图象如图.咱们先着重来观看一下y＝x2的图象，图象在y轴右边的部份是上升的，也确实是说在y轴右边越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］如何用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生通过预习可能答得很准确，但什么缘故或许还囫囵吞枣；或许答得不必然完整，或许如何用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住机会予以启发)［师］好，××同窗的回答专门好，设x1、x2∈[0，＋∞)，表现了在y轴右边，依照函数关系式取得了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），那么表现了越往右图象上的点越高，即表现了图象是上升的，这时咱们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大伙儿来看图象在y轴左侧的部份情形是如何的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部份同窗如此说，还有部份同窗不吭气，感到和预习时的情形不一样，但又不清楚究竟该如何，有无所适从之感).［师］生甲同窗所述是完全有道理的!只是请同窗们注意：他观看的视线是从右向左看的，为了与在y轴右边部份观看的视线方向一致.咱们对y轴的左侧部份也从左向右看，图象的情形是如何的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也确实是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］咱们研究任何问题都要遵循必然的程序，都要在必然的条件下，不然将一塌糊涂，弄不出任何名堂.(或在研究y轴右边部份、研究y轴左侧部份图象的转变趋势时，就直载了本地指出随着x的增加，图象的转变趋势是如何的，如此给学生指定观看方向，会减少不该有的麻烦)那么同窗们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?如何用数学语言表示呢?［生］在y轴右边，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）［师］好，这时咱们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.一样地，设函数f（x）的概念域为Ⅰ：若是关于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在那个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)若是关于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在那个区间上是减函数.若是函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方式步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判定上述差的符号d .下结论(假设差＜0，那么为增函数；假设差＞0，那么为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(讲义P 34例1，与学生一块看，一路分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是不是具有单调性，从图象上进行观看是一种经常使用而又粗略的方式，严格地说，它需要依照单调函数的概念进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数 注意：通过观看图象、对函数是不是具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的方法.证明这种猜想的正确性，是发觉和解决问题的一种经常使用数学方式.Ⅳ.课堂练习讲义P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课咱们学习了函数单调性的知识，同窗们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在明白得概念的基础上，要把握证明函数单调性的方式步骤，正确进行判定和证明. Ⅵ.课后作业讲义P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生明白得增函数、减函数的概念，把握判定某些函数增减性的方式，培育学生利用数学概念进行判定推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启发学生养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好思维适应.教学重点：函数单调性的判定和证明.教学难点：函数单调性的判定和证明.教学进程：［例1］已知函数f （x ）在其概念域M 内为减函数，且f （x ）＞0，那么g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。

“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。

课题单调性(一) 编号学习目标(1)理解函数单调性的概念;并能根据函数图象指出单调性、写出单调区间.(2)能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.教学重重点：会求单调区间，会证明单调性；难点：单调性的证明。

点、难点教学方法引导探究，讲练结合学习要点及自主学习导引学习心得1、引入：画出函数y=2x,尸一x, y=x2-l的图象。

2、知识要点(1)增函数与单调增区间定义：是单调增函数；单调增区间⑵减函数与单调减区间定义：是单调减函数；单调减区间3、单调性证明步骤：(1) (2) (3) (4)4、主动出击：课本p37练习1-7典例探究思想方法总结例1、课本P35例1、2例2、利用函数单调性定义，证明：函数/(x) = -x3+l在(-8,+8上是减函数。

例3、指出下列函数的单调区间及单调性：•y 3(1) /(.¥)=■；(2) y=l X2 +2x + 3lx-1例4、求证：函数y = x + —在区间［1, + oo )上是增函数。

例5.讨论函数f(x) = x2一2处+ 3在(-2,2)内的单调性.(选讲)例6、判断函数y = x +—(a0)的单调区间。

课堂练习自我纠错1、函数V = /一6冈的递增区间是。

2、二次函数f(x) = x2 +2ax + b在区间(-°°, 4)上是减函数，你能确定的是( ).A. a>2B. b>2C. a<-4D. Z?<-43、已知函数/'(x)在［0±oo) 是减函数，试比较f ^-|^f (a2— a + 1)的大小。

4、若函数f(x) = x2+bx + c ,对任意实数t都有/(2+r) = /(2-r),比较的大小。

本节内容个人掌握情况反思：。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(17)必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间．重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用．课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。

2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ．课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单调增 区间xy3π32π32π-O()y g x =y1y = f ( x )2、填表：函 数xky =（0≠k ） kx y =（0≠k ）0>k0<k0>k0<k单调区间 （－∞，+∞） 单调性增函数3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减．学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y =2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 3之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ．6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．。

《函数的单调性》教学设计一:教材依据江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节二:设计思路课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。

首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。

在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数xy 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。

教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.三:教学目标１．知识与技能：理解函数单调性的概念；２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.四：教学重点函数单调性的概念与判断五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性六：教学过程（一）.问题情境：１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.３．很多函数也具有类似性质.如：（x>0）y=３x+２y=1x老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）（二）.学生活动:问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？y=x２y=x３学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？（板书：图形、符号）（三）．建构数学：问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第6课时 函数的单调性（1）教学目标：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性．教学重点、难点：函数单调性的概念与判断．教学过程一．问题情境1．情境：2.1.1节开头的第3个问题中的气温变化图，()f t θ=．2．问题：说出气温在哪些时段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征．二．学生活动问题1：观察下列函数的图象，并指出图象变化的趋势．观察得到：随着x 值的增大，图（1）中函数图象呈逐渐上升的趋势；图（3）中函数图象呈逐渐下降的趋势；图（2）、（4）中函数图象在有的区间内呈逐渐上升的趋势，在有的区间内呈逐渐下降的趋势．问题2： 在某一区间内，“图象呈逐渐上升趋势”、“图象呈逐渐下降的趋势”分别说明函数值y 随着自变量x 的增大如何变化？讨论得到：在某一区间内：图象呈逐渐上升趋势⇔当x 增大时，函数值y 也增大；图象呈逐渐下降趋势⇔当x 增大时，函数值y 反而减小．函数的这种性质称为函数的单调性．三．建构数学问题3：如何用数学语言来准确地表达函数的单调性呢？21- 1)+∞ /t h /o C θ[](),0,24f t t θ=∈通过讨论，结合图（5）给出()f x 在区间I 上是单调增函数的定义．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．练习：指出图（1）（2）（4）中函数的单调增区间．问题4：如何定义单调减函数呢？（学生结合图（6），仿照增函数定义叙述）．注意：“任意”、“都有”等关键词．说明：单调性、单调区间．练习：指出图（2）（3）（4）中函数的单调减区间．四．数学运用1．例题例1．（教材P ．34例1．）画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+； （2）1y x =； （3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩． 问：函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 引导学生从图象观察或取特殊值代入验证否定结论．说明：1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。