8道椭圆大题

直线战椭圆位子闭系之阳早格格创做1.已知椭圆22:143x y M +=，面1F ，C 分别是椭圆M的左核心、左顶面，过面1F 的直线l （没有与x 轴沉合）接M 于,A B 二面.（Ⅰ）供M 的离心率及短轴少；（Ⅱ）是可存留直线l ，使得面B 正在以线段AC 为直径的圆上，若存留，供出直线l 的圆程；若没有存留，证明缘由.C 的核心正在本面，核心正在x 轴上，短轴少为2，离心率为2．（Ⅰ）供椭圆C 的圆程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 少轴上的一个动面，过P 做斜率为12的直线l 接椭圆C 于A ，B 二面，供证：22||||PB PA +为定值．3.已知椭圆C ：2211612x y +=的左核心为F ，左顶面为A ，离心率为e ，面(,0)(4)P m m >谦脚条件||||FA e AP =.（Ⅰ）供m 的值；（Ⅱ）设过面F 的直线l 与椭圆C 相接于M ，N 二面，记PMF ∆战PNF ∆的里积分别为1S ，2S ，供证：12||||S PM S PN =.2222:1(0)x y C a b a b+=>>过面，离心率为．过椭圆左顶面A 的二条斜率乘积为14-的直线分别接椭圆C 于,M N 二面．（Ⅰ）供椭圆C 的尺度圆程；（Ⅱ）直线MN 是可过定面D ？若过定面D ，供出面D 的坐标；若没有过，请证明缘由．5.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过面(01)B ，. （Ⅰ）供椭圆的尺度圆程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 接椭圆于P 、Q 二面，若面B 末究正在以PQ 为直径的圆内，供真数k 的与值范畴. 6.（2012北京，19）.已知直线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈（I ） 若直线C 是核心正在x 轴上的椭圆，供m 的与值范畴； （II ）设4m =，直线C 与y 轴的接面为,A B （面A 位于面B 的上圆），直线4y kx =+与直线C 接于分歧的二面,M N,直线1y =与直线BM 接于面G .供证：,,A G N 三面同线.xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C上的面到(0,2)Q 的距离的最大值为3； （1）供椭圆C 的圆程； （2）正在椭圆C上，是可存留面(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相接于分歧的二面,A B ，且AOB ∆的里积最大？若存留，供出面M 的坐标及相对于应的AOB ∆的里积；若没有存留，请证明缘由.8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左核心为F(1，0),且面12⎛- ⎝⎭，正在椭圆C 上.（1）供椭圆C 的尺度圆程.（2）已知动s 直线lx 轴上是可存留定面Q ， 使得716QA QB •=-恒创造？若存留，供出Q 的坐标；若没有存留，请证明缘由.9.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、左核心分别为12F F 、，上顶面为A ，正在x 轴背半轴上有一面B ，谦脚112BF F F =，且2AF AB ⊥． （Ⅰ）供椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若过2F B A 、、三面的圆与直线033:=--y x l 相切，供椭圆C 的圆程；（Ⅲ）正在（Ⅱ）的条件下，过左核心2F 做斜率为k 的直线l 与椭圆C 接于M N 、二面，线段MN 的中垂线与x 轴相接于面)0,(m P ，供真数m 的与值范畴.10.如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶面为A ，M 是椭圆C 上同于面A 的任性一面，面P 与面A 闭于面M 对于称．，供m的值；（Ⅰ）若面P的坐标为9(,55（Ⅱ）若椭圆C上存留面M，使得OP OM，供m的与值范畴．。

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道1.已知动点M(x,y)到直线l:x= 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.yA2.设椭圆C :x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为F,上顶F OPQ x点为A,过点A作垂直于AF直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且PQAP=85⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l:x+3y-5=0相切,求椭圆C的方程.3.已知椭圆E:x2a2+ y2b222 =1(a>b>0)过点A(3,1),左,右焦点分别为F,1,F2,离心率为3经过F1的直线l与圆心在x轴上且经过点A的圆C恰好相切于点B(0,2).(1)求椭圆E及圆C的方程;(2) 在直线l上是否存在一点P,使△PAB为以PB为底边的等腰三角形?若存在,求点P的坐标,否则说明理由.4. 已知F1, F2 是椭圆x21, F2 是椭圆x22+y2 = 1的左,右焦点,过F2 作倾斜角为π2 作倾斜角为π4的直线与椭圆相交于A,B两点.(1)求△F1AB的周长; (2)求△FAB的面积.1椭圆基础大题训练25道5.已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点,且过(2, 0)(1)求椭圆的标准方程.(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程;6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,且经过点(0,3)(1)求此椭圆的方程(2)若已知直线l: 4x- 5y+ 40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多少?7.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点P在这个椭圆上,且PF 1 -PF 2 =1,求∠F1PF2的余弦值.8.已知动点P与直线x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）点M1,1 在所求轨迹内，且过点M的直线与曲线C交于A,B，当M是线段AB中点时，求直线AB的方程.9.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+ y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.。

2024届高二（上）期中考试椭圆专题训练第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 72.椭圆22110064x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A B C D ．6433.在椭圆2214520x y +=上有一点P ，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，12F PF △为直角三角形，则这样的点P有（ ） A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个4.已知椭圆G ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F (32,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(2,2-)，则G 的方程为（ ）A ．1143222=+y x B ．1203822=+y x C ．1304822=+y xD ．1183622=+y x5.已知椭圆2243x y +=1内有一点P （1，-1），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP |+2|MF |取得最小值，则点M 坐标为 （ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭，1⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且PF 1//Q F 2. 若|PF 1|＋|QF 2|≥b ，则C的离心率的取值范围是（ ）A.(0，12] B.[12，1) C.(01)7.已知圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆N ：（x +1）2+y 2＝1，直线l 1，l 2分别过圆心M ，N ，且l 1与圆M 相交于A ，B 两点，l 2与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆3422y x +＝1上任意一点，则PD PC PB PA ⋅+⋅的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．6D ．88.已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点M 在直线l ：x ＝－a ，上运动，若∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆C的离心率是（ ）A.13B.12二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9.已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为 （ ） A ．22110084x y +=B ．221259x y += C ．22110084y x +=D ．221259y x +=10.已知点()11,0F -，()21,0F ，设动点P 到直线2x =的距离为d ，若2PF d =（ ）A ．点P 的轨迹是以12F F 为直径的圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于2C ．点P 的轨迹方程为2212x y +=D ．12PF F △的周长为定值11.已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则（ ）A ．椭圆的短轴长为B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C D ．AB 的最小值为312.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有 （ ）A. 椭圆C 的离心率为2B. 椭圆C 的离心率不确定C. 11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D. 12cos A PA ∠的最小值为13-第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 . 14.椭圆221169x y +=内，过点()2,1M 且被该点平分的弦所在的直线方程为 ．15.曲线22194x y +=上点到直线280x y -+=距离的最小值为 ．16.已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=（R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为 ．四、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-22题每小题12分,共70分）17.已知椭圆221259x y +=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若1218PF PF =．求证：12PF PF ⊥．18.已知椭圆2222:1(0y x E a b a b+=>>的焦距为点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆E 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN ∆面积的取值范围．19.已知椭圆C ：22a x +22b y ＝1（a ＞b ＞0）的焦距为22，且过点P （2，33）．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，C 上一点M 满足OA ＝34OM +OB ，求|OM |．20.设O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为45，离心率为552，直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）与C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P （0，1），4-=⋅PB PA ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．21.已知点Q （2，1）在椭圆C ：2222by a x +＝1（a ＞b ＞0）上，且点Q 到C 的两焦点的距离之和为42．（1）求C 的方程； （2）设圆O ：x 2+y 2＝58上任意一点P 处的切线l 交C 于点M ，N ，求|OM |•|ON |的最小值．22.已知椭圆C ：2222by a x ＝1（a ＞b ＞0）的焦距为23，点M （3,21）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0（其中O 为坐标原点）．①求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标； ②求△OPQ 面积的最大值．试卷答案1.B解：根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为10522=⨯=a ，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B. 2.C解：易得226c a b =-=．设11PF r =，22PF r =，则1220r r +=．在12PF F △中，由余弦定理得()222121222cos60c r r rr =+-︒， 即()222121212121214434003r r rr r r rr rr =+-=+-=-，则122563r r =， 所以1212112563643sin 6022323PF F S r r =︒=⨯⨯=△． 设点P 到x 轴的距离为d ，则1212162PF F S F F d d =⨯⨯=，故64363d =，解得3239d =．故选：C ．3.D解：①当1PF x ⊥轴时，有两个点P 满足条件；同理，当2PF x ⊥轴时，有两个点P 满足条件；②2025b ==，225c a b =-=，c b ∴>．∴以原点O 为圆心、5为半径的圆与椭圆相交于四个点，这四个点都满足条件．综上可知：能使△12F PF 为直角三角形的点P 共有8个．故选：D ． 4.D解：设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则，两式作差得：，整理可得．设线段AB 的中点为，即，另一方面，k OM ＝﹣1，所以，，所以，，解得，故椭圆G 的方程为．故选：D ．5.A解：因为椭圆方程为2243x y +=1，所以椭圆得离心率12e =，设点M 到椭圆右准线的距离为d ，根据椭圆第二定义有：12MF e d ==，所以2d MF =，所以2MP MF MP d +=+表示椭圆上一点M 到椭圆内定点P 和到椭圆右准线的距离之和，当MP 垂直于右准线时，2MP MF +取得最小值.此时M 的纵坐标为-1，代入椭圆方程2243x y +=1，求得M 的横坐标为263.所以点M 坐标为263⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,-1，故B ，C ，D 错误.故选：A.6.C7.C 解：由圆的方程可得：M （﹣1，0），N （1，0），由椭圆的方程可得：椭圆的左右焦点恰好为M ，N ，可得|PM |+|PN |＝2a ＝4，|PN |∈[a ﹣c ，a +c ]， 所以|PN |∈[1，3]，＝﹣，＝﹣，|MA |＝|ND |＝1， •+•＝（+）•（+）+（+）•（+）＝2﹣2+2﹣2＝（2a ﹣|PN |）2+|PN |2﹣2＝2|PN |2﹣8|PN |2+14＝2（|PN |﹣2）2+6，设y ＝2（|PN |﹣2）2+6，|PN |∈[1，3]，函数先减后增，所以|PN |＝2时y min ＝6，故选：C ． 8.C9.BD解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2104a c =⎧⎨=⎩，解得54a c =⎧⎨=⎩，又225169b =-=，所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221259x y +=；当椭圆的焦㤐在y 轴上时，椭圆的标准方程为221259y x +=，故选：BD10.BC 解：设(),Px y ，则()2221PF x y =-+，2d x =-，所以由解：设(,)P x y ，则2222(1)x y b a=-，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222A P A Py y y b k k x a x a x a a⋅=⋅==-+--，因为1212PAPA k k ⋅=-，所以2212b a -=-，所以2212b a =，所以离心率2e ===，所以A 正确，B 错误；因为点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，所以12A Q PA k k =，因为1212PAPA k k ⋅=-，所以1112PA QA k k ⋅=-，不受P ，Q 位置影响，所以C 错误；设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--， 所以12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--，当且仅当tan tan αβ=时取等号，即当αβ=时，即当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，1212A PA A PO ∠=∠，111sin AO A PO A P∠===，所以2121121cos cos 212sin 1233A PA A PO A PO ∠=∠=-∠=-⨯=-，所以D 正确，故选：AD. 13.()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭解：由题意得1021m m m ⎧->⎪⎨->-⎪⎩，解10m ->可得1m 或1m <-；解21m m ->-可得302m <<或0m <；综上可得m 的取值范围是()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：()3,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 14.98260x y +-= 解：设直线与椭圆的两个交点为()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 在椭圆上，所以2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22221212161699x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以22122212916y y x x -=--，所以12121212916y y y y x x x x -+⋅=--+，所以1292216ABk ⨯⋅=-⨯，所以98AB k =-，所以AB 的方程为：()9128y x -=--，即98260x y +-=， 故答案为：98260x y +-=.20x y m -+=与22194x y +=相切，联立整理可得2225164360y my m -+-=，217+ 解：由AP PB λ=知,,A B P 三点共线，当直线AB 的斜率不存在时，(0,(0,A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=.当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+，联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=， 1212122284,()41212k x x y y k x x k k+=-+=++=++，设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++，消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令002cos 1sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k k θπ≠π-∈Z ，则点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离为()22cos 3sin 917cos 91313d θθθϕ+-+-==所以91713d+≤；因为由梯形的中位线性质可得,A B 到直线23120x y +-=的距离之和为点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离的2倍. 所以112312x y +-+22231221318217x y d +-=≤+.综上可得112312x y +-+222312x y +-的最大值为18217+.17.证明：由椭圆的定义可知：12210PF PF a +==，()22212121221003664PF PF PF PF PF PF +=+-=-=，2221244464F F c ==⨯=．因此2221212PF PF F F +=，从而12PF PF ⊥．18.解：（1）由题意可得222222231314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎨⎩∴椭圆E 的方程为2214y x +=． （2）()11,M x y ，()22,N x y ，由22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224230k x kx ++-=，∴12224k x x k +=-+，12234x x k =-+① 则MON 的面积为()2212122123424k S x x x x k +=+-=+，令23k t +=，则3t ≥，22211t S t t t ==++， 函数1y t t =+在[3,)t ∈+∞上单调递增，∴1433t t +≥，∴23012t t<≤+，∴MON ∆面积的取值范周是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 19.解：（1）设焦距为2c ，则，设椭圆左右交点分别为F 1，F 2，则，∴，即，则b＝1，∴椭圆方程为；（2）由＝+得，，①当直线l：y＝0时，，舍去；②设直线l：，直线OM：x＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理可得，由韦达定理可得，∴＝，联立，解得，得到，依题意可得，，解得，∴．20.解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以△＞0，，所以，＝，因为，所以（x1，y1﹣1）·（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），所以直线l过定点（0，2）．21.解：（1）由题意可得+＝1，且2a＝4，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为x＝，代入椭圆x2+4y2＝8，可得M（，），N （，﹣），则•＝0，且|OM|•|ON|＝；当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y＝kx+m，由切线与圆x2+y2＝相切，可得＝，化为5m2＝8+8k2，由y＝kx+m与椭圆方程联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•+km（﹣）+m2，代入m2＝，可得•＝0，即OM⊥ON，由OP⊥MN，所以|OM|•|ON|＝|OP|•|MN|＝|MN|，而|MN|＝•＝•＝•＝•＝＝•≥，当k＝0时，上式取得等号．所以|OM|•|ON|的最小值为•＝．22解：（1）由题意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣，x1x2＝，设直线OP，PQ，OQ的斜率为k1，k，k2，因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，所以k1+k+k2＝0，即++k＝++k＝3k+＝3k+m•＝＝0，所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，所以直线l恒过定点（0，）；②由①可得：|PQ|＝•＝，原点到直线的距离d＝＝，所以S△POQ＝|PQ|•d＝＝＝，因为+，当且仅当＝时，即4k2﹣2＝3，即k2＝时取等号，所以S△POQ≤1，即△OPQ面积的最大值为1．。

高中数学难题100道（1-10题）第1题（函数与求导题）【湘南中学2019届高三试题】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若a>1,存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围。

第2题（椭圆题）1. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l经过F 且与椭圆交于A ，B 两点． (1)给定椭圆的离心率为√22．①若椭圆的右准线方程为x =2，求椭圆方程； ②若A 点为椭圆的下顶点，求AFBF ；(2)若椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，求椭圆离心率e 的取值范围．()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠()f x []12,1,1x x ∈-12()()1f x f x e -≥-e a第3题（函数与求导题）已知函数2211()()ln (1)124f x x x x x a x =---++，a R ∈.（1）试讨论函数()f x 极值点个数；（2）当2ln 22a -<<-时，函数()f x 在[1+∞，）上最小值记为()g a ，求()g a 的取值范围.第4题（函数与求导题）已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若21()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.第5题（函数与求导题）已知函数2()()ln f x a x x x b =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为330x y --= （1）求,a b 的值；（2）如果对任何0x >，都有()['()3]f x kx f x ≤⋅-，求所有k 的值；第6题（函数与求导题）(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．第8题（函数与求导题）已知函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)．(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=−3x平行，求实数a的值；(2)若存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)，q(x)=x3−mx+e(其中e为自然，试确定函数h(x)的零点对数底数，m为参数).记函数h(x)=p(x)+q(x)+|p(x)−q(x)|2个数．已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ．第10题（函数与求导题） 已知函数2()e =-xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．高中数学难题100道（参考答案）第1题（函数与求导题）解：（Ⅰ）． 1分因为当时，，在上是增函数， 因为当时，，在上也是增函数，所以当或，总有在上是增函数， 3分 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的单调增区间为，单调减区间为． 6分 （Ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可．又因为，，的变化情况如下表所示：所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值． 8分因为， 令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得； 12分()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=-=-++1a >ln 0a >()1ln xa a -R 01a <<ln 0a <()1ln xa a -R 1a >01a <<()f x 'R (0)0f '=()0f x '>(0,)∞+()'0f x <(),0-∞()f x (0,)∞+(),0-∞12,[1,1]x x ∈-12()()e 1f x f x --≥[1,1]x ∈-12max min ()()()()f x f x f x f x --≤max min ()()e 1f x f x --≥x ()f x '()f x ()f x [1,0]-[0,1][1,1]x ∈-()f x ()()min 01f x f ==()f x ()max f x ()1f -()1f 11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++1()2ln (0)g a a a a a=-->22121()1(1)0g a a a a '=-=->+1()2ln g a a a a=--()0,a ∈+∞(1)0g =1a >()0g a >(1)(1)f f >-1a >(1)(0)e 1f f --≥ln e 1a a --≥ln y a a =-(1,)a ∈+∞e a ≥第2题（椭圆题）解：(1)①由题意可得{ ca =√22a 2c=2a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1，∴椭圆方程为x 22+y 2=1．②F(c,0)，A(0,−b)，∴直线AB 的方程为y =bc x −b ， ∵e =c a=√22，∴b =c ，a =√2b ，∴即直线AB 方程为y =x −b ，联立方程组{x 2a 2+y 2b 2=1y =x −b ，消元得x 2−2bx =0， ∴x =0或x =2b ，∴B 点横坐标为2b ，∴AFBF =c2b−c =1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0).，依题意直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为：x =my +c ， 由{b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2x=my+c，得(b 2m 2+a 2)y 2+2mcb 2y −b 4=0． y 1+y 2=−2mcb 2b 2m 2+a 2，x 1+x 2=my 1+c +my 2+c =2a 2cb 2m 2+a 2要使△ABP 的重心是坐标原点O ，则有{x 1+x 2+x 03=0y 1+y2+y 03=0∴{x 0=−2a 2cb 2m 2+a 2y 0=2mcb 2b 2m 2+a 2P(x 0,y 0)在b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2上，得b 2⋅4a 4c 2(b 2m 2+a 2)2+a 2⋅4m 2c 2b 4(b 2m 2+a 2)2=a 2b 2，⇒b 4m 4+(2b 2a 2−4c 2b 2)m 2+a 4−4a 2c 2=0， ⇒(b 2m 2+a 2)(b 2m 2+a 2−4c 2)=0， ∵⇒b 2m 2+a 2>0，∴椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，则方程b 2m 2+a 2−4c 2=0必成立． ∴a 2−4c 2≤0，⇒c 2a 2≥14⇒e =c a ≥12，椭圆离心率e 的取值范围为[12,1)．第3题（函数与求导题） 解：（1）∵()1)ln 2f x x x a '=---（，记()(1)ln 2h x x x =--，则1()ln 1h x x x '=+-，211()0(0)h x x x x''=+>>时∴()h x '在0+∞（，）上递增且(1)0h '=. ∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>. ∴()h x 在0,1（）上递减，在1+∞（，）上递增， 又0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，min ()(1)2h x h ==-， ∴当2a ≤-时，()0f x '≥，()f x 在定义域上递增，∴无极值点， 当2a >-时，()y f x '=有两变号零点，∴有两极值点.（2）由（1）知，()f x '在[)1+∞，上递增， 又∵(1)20f a '=--<，(2)ln 220f a '=-->.∴存在唯一实数(1,2)t ∈使()0f t '=，(1)ln 2a t t ∴=--，()f x ∴在]1t （，上递减，在[),t +∞上递增， 22min 11()()()ln (1)124f x g a t t t t a t ∴==---++2211ln 124t t t t =--++ 又明显(1)ln 2a t t =--在[)1+∞，上递增， ∴对任意一个()2,ln 22a ∈--,都存在唯一()1,2t ∈与之对应，反之亦然.设()u t =2211ln 124t t t t --++，()1,2t ∈u (t)t(lnt 1)10'=-++<()u t ∴在1,2（）上递减，(2)()(1)u u t u ∴<<， 即722ln 2()4u t -<<()g a ∴的取值范围为722ln 24-（，）.第4题（函数与求导题）解：（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，又1'()axf x x-=， 当0a ≤时，'()0f x >恒成立，10,'()0,()x f x f x a<<>单调递增； 当0a >时，10,'()0,()x f x f x a <<>单调递增；1,'()0,()x f x f x a><单调递减； （2）由题21()ln (1)2g x x ax a x =-++-，1'()1g x x a x =+--①当1a ≤时，'()10g x a ≥-≥，此时()g x 单调递增，最多存在一个零点，不符合题意②当1a >时，2(1)1'()x a x g x x-++=，令2()(1)1h x x a x =-++，此时(3)(1)0a a ∆=+->，令()0h x =两根分别为1212,()x x x x <，由121210,1x x a x x +=+>=，可以知道1201x x <<<10,()0,'()0,()x x h x g x g x <<>>单调递增；当12,()0,'()0,()x x x h x g x g x <<<<单调递减； 2,()0,'()0,()x x h x g x g x >>>单调递增；其中(1)0g =，1212()0,()0,()0a g x g x g e--><<， (2(1))0g a +>，因此有121(,1)a x e--∃∈使得1()0g x =，21x ∃=使得2()0g x =；3(1,2(1))x a ∃∈+使得3()0g x =综上：(1,)a ∈+∞ 注1：当01x <<时，211(1)22x -<，因此有11()ln ln 22g x x ax a x a <-++<++，令1ln 02x a ++=，解得12a x e --= 注2：当1x >时，22111()ln (1)222g x x ax a x x x a x =-++-+>-+，令21(1)02x a x -+=，解得2(1)x a =+第5题（函数与求导题）解：（1）1'()(21)f x a x x=-+，由题知'(1)3,(1)0f f ==，解得2,0a b == （2）令21()()['()3]2()ln [45]g x f x kx f x x x x kx x x=-⋅-=-+--+，1'()2(21)(85)g x x k x x=-+--，其中(1)0g =，又因()0g x ≤，则必有'(1)0g =，解得1k =当1k =时，(1)(41)'()x x g x x-+=，01,'()0,()x g x g x <<>单调递增；1,'()0,()x g x g x ><单调递减，()(1)0g x g ≤=，符合题意综上：1k =第6题（函数与求导题）【解析】(1)函数()f x的导函数1()f x x'=， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)a k m e-+=，2||1()1a n k+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥， ()))0a f n kn a n k n k n --<---<≤ 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得ln x a k x-=．设ln ()x a h x x-=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2g x x =-． 由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤，故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．第7题（函数与求导题）解：（1）若f （0）≤1，即：a 2+|a|﹣a （a ﹣1）≤1．可得|a|+a ﹣1≤0，当a≥0时，a ，可得a ∈[0，]．当a ＜0时，|a|+a ﹣1≤0，恒成立．综上a ．∴a 的取值范围：； （2）函数 f （x ）==，当x ＜a 时，函数f （x ）的对称轴为：x==a+＞a ， y=f （x ）在（﹣∞，a ）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=∴，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．第8题（函数与求导题）−a(2x+1)，解：(1)函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)的导数为f′(x)=2+1x可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为3−3a，由切线与直线y=−3x平行，可得3−3a=−3，解得a=2；(2)存在x ∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，即为a ≤2x+lnx x 2+x 的最大值， 令m(x)=2x+lnx x 2+x ，(x >0)，m′(x)=(2x+1)(1−x−lnx)(x 2+x)2，由1−x −lnx =0，即x +lnx =1，由于x +lnx −1的导数为1+1x >0，即x +ln −1在x >0递增，且x =1时，x +lnx −1=0，则x =1为m(x)的极值点，当x >1时，m(x)递减，当0<x <1时，m(x)递增，则x =1时，m(x)取得极大值，且为最大值1，则a ≤1；(3)当a =0时，设函数p(x)=2x +1−f(x)=1−lnx ，q(x)=x 3−mx +e ，则当1−lnx ≥x 3−mx +e ，h(x)=1−lnx ；当1−lnx <x 3−mx +e ，h(x)=x 3−mx +e ．①当x ∈(0,e)时，p(x)>0，依题意，h(x)≥p(x)>0，h(x)无零点；②当x =e 时，p(e)=0，q(e)=e 3−me +e ，若q(e)=e 3−me +e ≤0，即m ≥e 2+1，则e 是h(x)的一个零点；若q(e)=e 3−me +e >0，即m <e 2+1，则e 不是h(x)的零点；③当x ∈(e,+∞)时，p(x)<0，所以此时只需考虑函数q(x)在(e,+∞)上零点的情况．因为 3e^{2}-m'/>，所以 当m ≤3e 2时，0'/>，q(x)在(e,+∞)上单调递增． 又q(e)=e 3−me +e ，所以(i)当m ≤e 2+1时，q(e)≥0，q(x)在(e,+∞)上无零点；(ii)3e 2≥m >e 2+1时，q(e)<0，又q(2e)=8e 3−2me +e ≥6e 3−e >0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；当m >3e 2时，令，得x =±√m 3． 由，得e <x <√m 3； 由 0'/>，得x >√m 3． 所以q(x)在(e,√m 3)上单调递减，在(√m 3,+∞)上单调递增． 因为q(e)=e 3−me +e <e 3−3e 3+e <0，q(m)=m 3−m 2+e >m 2−m 2+e =e >0，所以此时q(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；综上，m <e 2+1时，h(x)没有零点；m =e 2+1时，h(x)有一个零点；m >e 2+1时，h(x)有两个零点．第9题（函数与求导题）【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =．当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<； 当(,22a a x+∈时，()0f x '>．所以()fx 在(0,2a，(,)2++∞a 单调递减，在(22a a -+单调递增． (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．第10题（函数与求导题）【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤x x ． 设函数2()(1)1-=+-x g x x e ，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ． 当1≠x 时，()0<g'x ，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0=g ，故当0≥x 时，()0≤g x ，即()1≥f x ．(2)设函数2()1e -=-xh x ax ． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)∈x 时，()0<h'x ；当(2,)∈+∞x 时，()0>h'x ．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e=-a h 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2e 4<a ，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0=h ，即2e 4=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0<h ，即2e 4>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由(1)知，当0>x 时，2e >x x ， 所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4=a ．。

1. 若，是两定点，，动点满足，则点的轨迹是（ ）。

2. 的两个顶点为，，周长为，则点轨迹为（ ）。

3. 设定点，，满足条件，则动点的轨迹是（ ）。

4. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）。

5. 设是椭圆上的点，若、是椭圆的两个焦点，则等于（ ）。

6. 椭圆上一点到其焦点的距离为，则该点到椭圆另一焦点的距离为（ ）。

7. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ）。

8. 设，是椭圆的两焦点，为椭圆上一点，则三角形的周长为（ ）。

9. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 ，则椭圆的方程为（ ）。

10. 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，点是线段的中点，则（为坐标原点）等于_____。

11. 已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为，为的中点，则的值等于（ ）。

A. 椭圆B. 直线C. 圆D. 线段A.B.C.D.A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段或不存在D. 不存在A.B. C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D. 不确定A.B.C.D.A.B.C.D.的面积为_____12. 设、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____ 。

13. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则（ ）。

14. 平面内有一长度为的线段和一动点若满足，则的取值范围是（ ）。

15. 椭圆的两个焦点分别是，，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）。

16. 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是（ ）。

17. 已知是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是_____。

18. 已知为椭圆上的一个点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）。

19. 设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（ ）。

卫星椭圆轨道问题探究-机械能与速度一．经典例题1. 如图所示是行星m绕恒星M运动的情况示意图，根据开普勒行星运动定律可知下面说法正确的是（）A．速度最大的点是B点B．速度最小的点是C点C．m从A到B做减速运动D．m从B到A做减速运动2. 假设神舟8号飞船在绕地球椭圆轨道无动力运行，地球的中心位于椭圆的一个焦点上，其中A为椭圆轨道的近地点，B为椭圆轨道的远地点．则飞船从A点开始沿椭圆轨道运行到B的过程中，下列论述正确的是（）A．飞船受地球引力减小，运行速度也减小B．飞船加速度减小，运行速度增大C．飞船动能增大，飞船重力势能也增大D．飞船的动能减小，飞船机械能减小总结（1）卫星在椭圆轨道上的机械能：由于椭圆为轴对称图形，近地点、远地点的曲率半径相同，且在近地点、远地点只有向心加速度没有切向加速度，故在这两点依然满足万有引力充当向心力如图所示：在近地点A：在远地点B：其中r为近地点和远地点的曲率半径故卫星在轨道上运动的总机械能E等于其动能和势能之和。

根据万有引力定律，设无穷远处引力势能为零，通过数学计算可知中心天体和卫星之间的引力势能为因此卫星在A、B两点的机械能可以表示为根据机械能守恒解得，将结果代入两个机械能的表达式解得卫星总机械能表达式为（2）卫星在椭圆轨道上的速度线速度的一般表达式为高考中往往不涉及线速度大小的具体计算，侧重于考察近地点速度大于远地点速度和近地点远地点线速度之比这两个知识点。

除此之外同学们还要注意了解卫星在椭圆轨道上运行时速度大小会发生怎样的变化。

二．相关练习题1.如图所示，某人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，从A到B和从C到D的运动过程中，卫星与地球的连线扫过的面积相等，下列说法正确的是（）A．从A到B的运动时间等于从C到D的运动时间B．从A运动到B的过程中卫星的动能保持不变C．从C运动到D的过程中引力势能不断减小D．从B运动到C的过程中地球对卫星的引力一直不做功2. 我国发射“天宫一号”时，先将实验舱发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200km，远地点N距地面362km．进入该轨道正常运行时，其周期为T1，通过M、N点时的速率分别是v1、v2．加速度分别为a1、a2，当某次通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃实验舱上的发动机，使在短时间内加速后进入离地面362km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，周期为T2，这时实验舱的速率为v3，加速度为a3，比较在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率大小和加速度大小，及在两个轨道上运行的周期，下列结论正确的是（）A．v1＞v3B．v2＞v1C．a3＞a2D．T1＞T23. 随着科技的发展，未来我国的探测月球的探测器在考查完成后将返回地球，其过程如图所示，有关探测器的运行下列说法正确的是（）A．探测器在轨道Ⅱ上的机械能大于轨道I上的机械能B．探测器在轨道I上绕月球运行的周期与探测器在同样的轨道上绕地球运行的周期相等C．探测器在轨道Ⅲ上经过M点的加速度小于探测器在轨道I上过M点的加速度D．探测器在轨道Ⅱ上过M点的速度大于过N点的速度4. 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．图（b）表示地球围绕太阳做椭圆运动，在近日点地球和太阳的中心距离为r a，在远日点地球和太阳的中心距离为r b，则地球在近日点和远日点的速度大小的比值是（）A．B．C．D．5. 2014年北斗第一颗全球组网试验卫星发射，如图所示．若该卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点B处点火加速，由轨道1变成轨道2，下列说法正确的是（）A．卫星在轨道2运行时的速度小于7.9 km/sB．卫星在轨道2运行时不受重力作用C．卫星在轨道1上通过B点的速度比在轨道2上通过B点的速度大D．卫星在轨道1上的B点和在轨道2上的B点加速度大小相等6.（2010江苏高考真题）【题号：3200001843】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度7. 如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是（）A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量一．相关练习题答案1. 答案：AC2. 答案:A解析：A、实验舱在圆形轨道上具有的机械能大于其在椭圆轨道上具有的机械能，而实验舱经过N点时的势能相等，所以实验舱在圆形轨道上经过N点时的动能大于实验舱在椭圆轨道上经过N点时的动能，即v1＞v3，故A正确；B、根据开普勒第二定律（面积定律）可知，v1＞v2，故B错误；C、根据万有引力提供向心力，则有=ma，a=，所以a 3=，故C错误；D、根据开普勒第三定律（周期定律）可知，轨道半径大的周期大，所以T1＜T2，故D错误；故选：A．3.答案：AD解析：A、探测器从轨道I转移到轨道Ⅱ需要加速，故探测器在轨道Ⅱ上的机械能大于轨道I上的机械能，故A正确；B、根据卫星的环绕速度公式v=，由于地球的质量大，故在地球上转动快，公转周期小，故B错误；C、探测器在轨道Ⅲ上经过M点与探测器在轨道I上过M点万有引力相同，根据牛顿第二定律，加速度相同，故C错误；D、在轨道Ⅱ上运行时只有万有引力做功，故机械能守恒，由于在N点的势能大，故动能小，故探测器在轨道Ⅱ上过M点的速度大于过N点的速度，故D正确；故选：AD4. 答案: B5. 答案:ACD解析：A、根据万有引力充当向心力知v=，轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径等于地球的半径，则卫星在轨道2上运行的速度小于7.9km/s．故A正确．B、卫星在轨道2上受重力作用，只不过完全失重．故B错误．C、根据万有引力充当向心力知v=，卫星在轨道1上通过B点的速度比在轨道2上通过B点的速度大．故C正确．D、卫星在轨道1上经过B点和轨道2上经过B点所受的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律知加速度大小相等．故D正确．故选：ACD6.答案略。