【全国市级联考】广西南宁市2017届高三第一次适应性测试理数(原卷版)

2017届普通高中毕业班第一次适应测试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|50}A x x x =+>，{|34}B x x =-<<，则A B ∩等于（ ） A ．(5,0)- B ．(3,0)- C ．(0,4) D ．(5,4)- 2.已知复数z 满足2()21z a R ai i=∈++，则z 的虚部为-3，则z 的实部为（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．53. 某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80,82)、[82,84)，[84,86)、[86,88)、[88,90)、[90,92)、[92,94)、[94,96]，则样本的中位数在（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组 4. 已知数列{}n a 满足11112n n a a ++=+，且22a =，则4a 等于（ ）A ．12-B ．23C ．12D ．11 5.已知角θ的终边过点2(2sin 1,)8a π-，若13sin cos 1212ππθ=，则实数a 等于（ ）A． B．C. D．± 6. 执行如图的程序框图.若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）A ．10B ．15 C. 18 D ．217. 已知非零向量a 、b 满足|||2|a b a b -=+，且a 与b 的夹角的余弦值为14-，则||||a b 等于（ ） A ．12 B ．23 C. 32D ．2 8. 如果实数x ，y 满足约束条件240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则32y z x y x =++的最大值为（ ）A ．7B ．8 C.9 D ．119.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．15 C. 18 D ．2110.已知函数2215(),11,2()41,1,x x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩•，设1m n >≥-，且()()f mf n =，则)m f •的最小值为（ ）A．4 B ．．11.已知双曲线:C 22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为(,0)F c -，M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 C. D ．12.已知函数2()63f x x x =---，32()23129g x x x x =+-+，2m <-，若1[,2)x m ∀∈-，2(0,+x ∃∈∞），使得12()()f x g x =成立，则m 的最小值为（ ）A ．-5B ．-4 C.-．-3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.52)x的展开式中的常数项为 ．14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点0(,2M x 是抛物线C 上一点，圆M与y 轴相切且与线段MF 相交于点A .若||2||MA AF =，则p = ． 15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金蕃，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为M .现将该金杖截成长度相等的10段.记第i 段的重量为i a (1,2,,10)i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i = ．16.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为13AA =，E 是线段11A B 上一点.若二面角A BD E --的正切值为3，则三棱锥11A A D E -外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 3ac B bc A b -=.（1）求sin sin AB的值；（2）若角C 为锐角，c =sin 3C =，求ABC ∆的面积. 18. 某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下22⨯列联表：（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X ；从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y ，求X 与Y 的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义. 下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. 如图，在四棱锥A BCED -中，AD ⊥底面BCED ，BD DE ⊥，60DBC BCE ∠=∠=︒，2BD CE =.（1）若F 是AD 的中点，求证：//EF 平面ABC ； （2）若AD DE =，求BE 与平面ACE 所成角的正弦值.20. 已知1(,0)F c -、2(,0)F c 分别是椭圆:G 22221x y a b +=(03)b a <<<的左、右焦点，点P 是椭圆G 上一点，且12||||PF PF a -=.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，其中O 为坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21.已知函数()ln f x x a x =-，()a R ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设1()a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[1,]x e ∈恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.23.选修4-5：不等式选讲 设实数x ，y 满足14yx +=. （1）若|7|23y x -<+，求x 的取值范围； （2）若0x >，0y >xy ≥.2017届普通高中毕业班第一次适应性测试数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:CBBDB 6-10:BDCCD 11、12：DA 二、填空题13.40 14.2 15.6 16.35π 三、解答题17. .解：（1）由余弦定理得：2cos cos 3ac B bc A b -=⇒2222222322a cb bc a b +-+--=. 即224a b =，2a b ∴=， ∴由正弦定理得：sin 1sin A aB b==.（2）sin 3C =，C 为锐角，1cos 3C ∴=， 11c =，222cos 11a b ab C ∴+-=，2a b =，2245113b b ∴-=，则211113b =，即23b =，ABC ∴∆的面积21sin sin 2S ab C b C ===18. 解：（1）根据22⨯列联表可求得2K 的观测值280(25301510)807.879404035457k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.（2）X 的取值为0,1,2，则2252405(0)13C P X C ===，11251524025(1)52C C P X C ===，2152407(2)52C P X C ===，∴5257393()012135252524E X =⨯+⨯+⨯==. Y 的取值为0,1,2，则2102403(0)52C P Y C ===， 1110202405(1)13C C P Y C ===，22024029(2)52C P Y C ===，∴35()015213E Y =⨯+⨯+29783252522⨯==. ∵()()E X E Y <，∴设立自习室对提高学生数学成绩有一定的效果. 19. 解：（1）取BD 的中点为G ，连接EG ，FG ，F 是AD 的中点，FG ∴是ABC ∆的中位线，即//FG AB ， 2BD CE =，BG CE ∴=， DBC BCE ∠=∠，E ∴、G 到直线BC 的距离相等，则//EG CB ，EG FG G =，∴平面//EFG 平面ABC ，则//EF 平面ABC.（2）∵AD DE =，则A ，∴AE =，(2EC =，(2,EB =. 设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AE n EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩••即01022x y =⎨+=⎪⎩. 令1y =，则x =1z =，∴(3,1,1)n =-， ∴|||cos ,|||||n EB n EB n EB=•==， ∴BE 与平面ACE 所成角的正弦值为35. 20.解：（1）12||||PF PF a -=，12||||2PF PF a +=，123||3||2PF a PF ∴==， =2560cc -+=， 又3c a <<，2c ∴=， 则13||2PF a ==，得a =2224b a c =-=， ∴椭圆G 的方程为22184x y +=. （2）由题意知，直线l 不过原点，设11(,)A x y ，22(,)B xy ，（i ）当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为(0)x m m =≠且m -<<则1x m =，1y =2x m =，2y =OA OB ⊥，12120x x y y∴+=，22(4)02m m ∴--=，解得3m =±，故直线l 的方程为3x =±∴原点O 到直线l的距离为d =（ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y kx n =+，联立直线和椭圆方程消去y 得222(12)4280k x knx n +++-=，122412knx x k -∴+=+，21222812n x x k -=+， 1212()()y y kx n kx n =++=221212()k x x nk x x n +++222812n k k-=+. OA OB ⊥，12120x x y y ∴+=，故2222228801212n n k k k --+=++，即223880n k --=，22388n k =+①， 原点O 到直线l的距离为d =，则22d ==2222313(1)n n k k =++②，将①式代入②式得：2228883(1)3k d k +==+，d ∴=. 综上，点O 到直线l. 21.解：（1）'()1(0)a x af x x x x-=-=>， 当0a ≤时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点. 当0a >时，'()0f x <得0x a <<，'()0f x >得x a >，∴()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值. ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点，当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点. （2）设()()()h x f x g x =-=1ln (0)ax a x x x++->， 21'()1a a h x x x+=--=222(1)(1)[(1)]x ax a x x a x x --++-+=， 不等式()()f x g x >对任意[1,]x e ∈恒成立，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[1,]e 上的最小值大于零.①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[1,]e 上单调递减， 所以()h x 的最小值为()h e ，由1()0ah e e a e +=+->可得211e a e +<-， 因为2111e e e +>--，所以2111e e a e +-≤<-. ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[1,]e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<， 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>. 即01a e <<-，综上可得，a 的取值范围是21(2,)21e +--. 22.解：（1）对于C ，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，进而224x y x +=.对于l，由5,212x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得5)y x =-， 即l的普通方程为50x -=.（2）由（1）可知C 为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，则弦心距32d ==，弦长||PQ ==因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积2||S d PQ =⋅=23.（1）解：14y x +=，44x y ∴+=， 则由|7|23|43|23y x x x -<+⇒+<+，则234323x x x --<+<+，即4323,4323,x x x x +<+⎧⎨+>--⎩即0,1,x x <⎧⎨>-⎩解得10x -<<.（2）证明：0x >，0y >，14y x ∴=+≥=1，当且仅当142y x ==时等号成立，0xy =≥，xy ≥.分（）。

2017届普通高中毕业班第一次适应性测试语文试卷一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1－3题。

国家、地区的地理空间暨领土历来都是有疆界的,国家疆域因此沉淀并演绎了丰富的历史人文内涵;在此基础上衍生的政治、经济、军事、文化、法律、宗教、民族等的存在也是有边界的,包含着实体层面的具体内涵及思想、文化层面的抽象内涵,历来关注者众,研究成果丰富。

但此层面的疆界多从人类为主位的角度来界定及研究,具有浓厚的人类中心主义色彩,并长期统治着人类历史尤其思想文化史的书写及研究语境。

若从自然层面来看,生物、非生物及其组成的生态系统、环境的存在也是有边界的,如森林、草原、荒漠、土壤、灌丛、草甸、草本沼泽等生物及其生态区系都有明显的分界线,此即生物及其生态系统的边疆线。

与人文层面的边疆相比,自然界的边疆,无论是内涵还是表现形式,都要丰富、精彩得多。

自然、生物界既然存在着边界,那生态边疆的客观存在及其影响历史及现实的一条条分界线,就成为界线内外的生物及其生态系统相互区分、不会逾越及打破的疆界,一旦疆界被打破或跨越,就会导致生态界域里不同生物类群的减少、退化,甚至是生态系统的紊乱、衰减或灭亡。

故生物、生态及其环境视域中的边疆具有了不同于传统人文边疆的特点,其内涵及实际意义突破了以地理空间、国家疆域及其他人文要素为核心的内涵,既不同于行政区划及领土疆域等地理空间层面的边疆,也不同于政治、军事、经济及文化、民族、宗教等人文层面的边疆,而是因山川河流等地形地貌阻隔,因温度带、干湿带分隔而形成的自然特色浓厚的一道道分界线,在生物学及环境史层面具有了精彩纷呈的历史进程及更为广泛的意义。

因此,边疆具有多维的内涵,兼具社会、人文及自然、生态的特点。

生态层面的边疆与行政区划、领土层面的边疆,无论是边界线还是疆域,既有重合的部分,但更多的则是各自独立的存在。

相对说来,生态边疆更为具体形象,自然边界线、疆界线的意味更重,一个行政区划或国家的疆域里,可能有一条、两三条或无数条生态分界线;一个完整的生态区域,可能隶属于一个国家或行政区,也可能存在几个行政区甚至存在几个小国家的多条疆域线。

广西百所示范性中学联考2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4 4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．97．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．48．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为__________．14．的展开式中，常数项为15，则n=__________．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．广西百所示范性中学联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是答合题目要求的．）1．复数等于( )A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数1﹣i，然后再进行化简可求．解答：解：==1+i故选D点评：本题主要考查了复数的乘除运算的综合，属于基础试题．2．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：首先化简集合N，然后由Venn图可知阴影部分表示N∩（C U M），即可得出答案．解答：解：N={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜0}由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（C U M），又M={x|x＜﹣1}，∴C U M={x|x≥﹣1}∴N∩（C U M）=[﹣1，0）故选：C．点评：本题考查venn表示的集合的运算，一般采用数形结合的方法解决问题，属于基础题．3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2+1 B．f（x）=cosx C．f（x）=e x D．f（x）=考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：A：f（x）=x2+1不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0B：f（x）=cosx符合输出的条件．C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，D：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②故选：B．点评：根据程序框图的流程能够判断出框图的功能，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．5．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是( ) A．B．1 C．2 D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用平行线的斜率之间的关系可得m，再利用平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：∵l1∥l2时，，解得m=，∴直线l2的方程为：3x+4y+8=0，∴d===2，故选：C．点评：本题考查了平行线的斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6．数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，则该数列的第2015项是( )A．1 B．3 C．7 D．9考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用递推公式依次求出数列的前8项，从而得到数列{a n}循环周期为6，由此能求出该数列的第2015项．解答：解：∵数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，a n+2等于a n a n+1的个位数，∴由题意得a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，∴数列{a n}循环周期为6，∵2015÷6=335…5，∴a2015=a5=7．故选：C．点评：本题考查数列的该数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．7．已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．解答：解：由，可得∴z=2x+y将目标函数变形为y=﹣2x+z，作出其对应的直线L：y=﹣2x，当其平移至B（1，1）时，直线的纵截距最大，此时z最大z的最大值为3故选C点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．9．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．解答：解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )A．12+πB．6+πC．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据俯视图是中心角为60°的扇形，知几何体是圆柱体，由正视图知母线长为3，底面半径为2，求出底面弧长，代入侧面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=（+2×2）×3=12+2π．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，关键是判断三视图的数据所对应的几何量．11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．12．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是( )A．[0，+∞）B．[0，2）C．[﹣，+∞）D．[﹣，2）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件知O是△ABC外接圆的圆心，可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到，，所以=b2﹣b=，而根据c2=2b﹣b2可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数在（0，2）上的范围即可．解答：解：O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，连接AO并延长交外接圆于D，AD是⊙O的直径，并连接BD，CD；则∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=，cos∠CAD=；∴===；∵c2=2b﹣b2＞0；∴0＜b＜2；设f（b）=；∴b=时，f（b）取最小值，又f（2）=2；∴；∴的范围是[）．故选：D．点评：考查三角形垂心的概念，圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．解答：解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为=．∴圆锥的体积为：πr2h=．故答案为：．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．的展开式中，常数项为15，则n=6．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：首先分析题目已知的展开式中，常数项为15，求n的值．显然想到应用二项式定理列出式子的第k+1项，然后使含x的部分为1，系数为15，解出n和k即可得到答案．解答：解：由二项式定理（a+b）n=C n0a n+C n1a（n﹣1）b+C n2a（n﹣2）b2+…+C n n b n容易得到的展开式中，第k+1项为常数项为15则必有：，解得故答案为6．点评：此题主要考查二项式定理的应用问题，列出式子的展开式中的一般项求解是题目的关键，题目计算量小，属于基础题目．15．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．设函数f（x）=，若{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f （a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=e2．考点：分段函数的应用；等比数列的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意可得f（x）+f（）=0；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0，从而化f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，从而解得．解答：解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xlnx，f（）==﹣xlnx；故f（x）+f（）=0；又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，∴a4=1；故a6a2=a3a5=a4=1；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0+0+0=0；故f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，若a1＞1，则a1lna1=2a1，则a1=e2；若0＜a1＜1，则＜0，故无解；故答案为：e2．点评：本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．（1）求∠A的大小；（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB 面积的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，即sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等边三角形，即可得出A．（2）设该三角形的边长为a，则S OACB=，利用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．解答：解：（1）由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，∴．（2）设该三角形的边长为a，a2=12+22﹣2×2×cosθ．则S OACB==sinθ+=+，当时，S OACB取得最大值．点评：本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频率×20为路段个数；（2）由题意知X为0，1，2，3，求出相应的概率，由此求出X的分布列及期望．解答：解：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段个数是（0.25+0.2）×1×20=9个．（2）X的可能取值为0，1，2，3.，，，，∴X的分布列为X 0 1 2 3P∴．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查超几何分布，考查离散型随机变量的分布列的求法及数学期望，是中档题．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG．（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；综合题．分析：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果．解答：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则．∵AC1⊥EG，∴．∴﹣1×0+1×（﹣2）+2h=0．∴h=1，即G是AA1的中点．（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则．所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）∵，∴，即AC1与平面EFG所成角θ为解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．又CC1⊥平面ABC，而ED⊂平面ABC，∴CC1⊥ED．∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1．又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG．连接A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C∥DG．∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．（Ⅱ）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，∴E、F、M、G共面．作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，C1H⊂平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC∥GM，∴GM⊥C1H．∵GM∩FM=M，∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ．因为，∴，∴．点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．属中档题．20．已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED=∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．考点：平面向量的综合题．分析：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得，，由代入整理可求点M的轨迹C；（2）根据直线的倾斜角与斜率的关系，可证K AE=﹣K BE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换可得∠AED=∠BED解答：解：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵，．∴且（3，y'）•（x，y﹣y'）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．∴y2=4x（x＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）﹣（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；﹣②当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x﹣m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去x并整理，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则：k1+k2=====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴tan∠AED+tan（180°﹣∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，∵，∴∠AED=∠BED．综合①、②可知∠AED=∠BED．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题以向量得数量积的坐标表示为载体，考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．构造函数g（a）=a ﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（2）由（1）知，当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，则1＞ln2，，＞ln（1），…，＞ln（1），累加再由对数的运算法则，即可得证．解答：（1）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；（2）证明：由（1）可知：当x＞0时，e x＞x+1，即e x＞x，即有e nx＞x n．则（）n＜e，（）n＜e2，（）n＜e3，…，（）n＜e n，则（）n+（）n+…+（）n+（）n＜e+e2+e3+…+e n=＜故（）n+（）n+…+（）n+（）n＜成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD 为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）由AD为∠BAC的平分线得=，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；（2）证明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．解答：证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，∴=，可得∠DBC=∠BCD，又∵BE与圆O相切于点B，∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，∴BD平分∠CBE；（2）由（1）可知BE=BH，所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△ABE∽△ACH，所以，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．点评：本题给出圆的直径与切线，考查圆的几何性质，弦切角定理，三角形相似，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4 …（Ⅱ）由直线l的参数方程为，化为普通方程，得x﹣y﹣a=0．结合圆C与直线l相切，得=2，解得a=﹣2或6．…点评：本题考查极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切，理解极坐标方程与普通方程的互化公式和点到直线的距离公式是解决问题的关键．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|．（1）当m=3时，求f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，再根据函数的单调性求得函数f（x）的最大值．（2）关于x的不等式即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．计算△=16（m﹣1）2≥0，由此求得一元二次不等式的解集．解答：解：（1）当m=3时，函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值为2．（2）关于x的不等式f（x）≥0，即|x﹣m|≥2|x﹣1|，即（x﹣m）2≥4（x﹣1）2，化简可得3x2+（2m﹣8）x+4﹣m2≤0．由于△=16（m﹣1）2≥0，求得≤x≤．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

广西南宁市数学高三上学期理数第一次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 若复数z= （其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A . 1B . 2C .D .2. （2分）设集合则= （）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一上·濉溪期末) 如图是某几何体的三视图且a=b，则该几何体主视图的面积为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·武汉期中) 函数，则下列结论错误的是（）A . f（x）是偶函数B . 方程f（f（x））=x的解为x=1C . f（x）是周期函数D . 方程f（f（x））=f（x）的解为x=15. （2分）已知，若方程存在三个不等的实根，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三下·凯里开学考) 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .7. （2分）把函数的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·山东模拟) 已知，则sin2α的值为（）A .C .D . -9. （2分） (2017高一下·石家庄期末) 若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A . 0B . 1C .D . 210. （2分）由1、2、3三个数字构成的四位数有（）A . 81个B . 64个C . 12个D . 14个11. （2分）如图，在矩形OABC内：记抛物线与直线围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）A .C .D .12. （2分） (2016高二上·江北期中) 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·新乡模拟) 若（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ，则 =________．14. （1分） (2018高二上·湖南月考) 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为________.15. （1分） (2016高三上·赣州期中) 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围________．16. （1分） (2018高二下·抚顺期末) ________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．18. （5分）(2016·北区模拟) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，求的值．19. （15分） (2016高二下·故城期中) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．20. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．21. （5分）(2018·中山模拟) 设函数 .(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．22. （10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．23. （10分）设函数f（x）=1+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≥|3x+1|的解集；（2）若不等式f（x）﹣tx≥0的解集非空，求t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

广西南宁市、梧州市2017届高三上学期摸底联考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设错误！未找到引用源。

是虚数单位，如果复数错误！未找到引用源。

的实部与虚部是互为相反数，那么实数错误！未找到引用源。

的值为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：∵错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，又复数错误！未找到引用源。

的实部与虚部是互为相反数，∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

.故选应C.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如错误！未找到引用源。

. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数错误！未找到引用源。

的实部为错误！未找到引用源。

、虚部为错误！未找到引用源。

、模为错误！未找到引用源。

、对应点为错误！未找到引用源。

、共轭为错误！未找到引用源。

3.若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A．错误！未找到引用源。

B．2 C．错误！未找到引用源。

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31A x x x =≥≤或，{}24B x x =<<，则()R C A B = （ ） A ．()1 3， B ．()1 4， C ．()2 3， D ．()2 4， 2.设i 是虚数单位，如果复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．3-3.若()2 1a =，，()1 1b =-，，()()2a b a mb +-∥，则m =（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12- 4.若1cos 23a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos 2a π-=（ ）A ．B ．79- C.79D 5.在622x⎛ ⎝的展开式中，含7x 的项的系数是（ ）A ．60B ．160 C.180 D ．240 6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若24x =，则2x ≠”B ．命题“2 210x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2 210x R x x ∀∈+->，” C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题 D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题7.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为 ） A ．6π或56π B ．3π-或3π C.6π-或6π D ．6π 8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．(4πB ．6π+ C.6π+ D ．(8π 9.执行如图2所示的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为（ ） A ．3 B ．4 C.5 D ．610.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A ．24316π B ．8116π C.814π D ．274π11.给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）ABD第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若 x y ，满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为 ．14.在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =+在R 上有零点的概率为 ．15.函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移 个单位得到．16.已知ABC △中，角32B C A ，，成等差数列，且ABC △的面积为1，则AB 边的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21222log log log n n b a a a =+++…，求使()8n n b nk -≥对任意*n N ∈恒成立的实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）质检部门从企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图4所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[][][]55 65 65 75 75 85，，，，，内的频率之比为4:2:1.（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75 85，内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45 75)，内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望. 19.（本小题满分12分）如图5，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，PAB △是边长为a 的正三角形，且平面PAB ABCD ⊥平面，已知点M 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB AMC ∥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面AMC 所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分）已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=.（Ⅰ）求证：点 A C B ，，共线； （Ⅱ）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB ⋅= 时，求动点Q 的轨迹方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数()2ln f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；（Ⅲ）若正实数12 x x ，满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明12x x +≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 44πρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于 A B ，两点，求AB 的最大值和最小值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x a =-++.（Ⅰ）若1a =，解不等式()22f x x ≤-； （Ⅱ）若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1．C ∵{}31A x x =≥≤或，∴{}13R C A x x =<<，{}24B x x =<<， 则(){}()23 2 3R C A B x x =<<= ，，故应选C. 2.C ∵()()225a i i a i i ---=+()()212212555a a i a a i --+-+==-， 又复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数， ∴212055a a -+-=，∴3a =.故选应C. 3.D 由已知，()()2 3 3 2 1ab a mb m m +=-=+-，，，，又()()2a b a mb +-∥，所以21m m +=-，即12m =-.故应选D.4.B ∵1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3α=-，∴()2217cos 2cos 22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故应选B.5.D 二项式的通项公式为()()5126262100221kk kk k k k k T C xC x---+⎛==- ⎝， 令51272k -=，则2k =，所以含7x 的项的系数是2462240C =.故应选D.6.D 命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若24x ≠，则2x ≠”所以A 错误；命题“2 210x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2 210x R x x ∀∈+-≥，”，所以B 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”正确，则它的逆否命题也正确，所以C 错误；“若p 或q ”为真命题，根据复合命题p 或q 的真值表，则p ，q 至少有一个为真命题，故D 为真.故应选D. 7.A 由题知：圆心()2 3，，半径为2. 所以圆心到直线的距离为1d =.即1d ==，∴k =tan k α=， 得6πα=或56π.故应选A 选 8.C 圆柱的侧面积为12124S ππ=⨯⨯=，半球的面积为22212S ππ=⨯=， 所以几何体的表面积为1236S S S S π=++=+.故应选C. 9.B 由程序框图知：算法的功能是求12111222n S =+++…的值， ∵111115221121612n nS +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-= ⎪⎝⎭-.∴4n =，∴跳出循环的n 值为4，∴判断框的条件为4n <，即4a =，故应选B.10.A 设球的半径为R ，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()2224R R =-+，∴94R =, ∴球的体积为3492433416V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.故应选A. 11.B ()()00'34cos sin ''4sin cos 0 4sin cos 0f x x x f x x x x x =++=-+=-=，，，所以()003f x x =，故()()00 M x f x ，在直线3y x =上.故应选B.12.A 设椭圆的左、右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，， 由x c =-，代入椭圆方程可得2b y a =±，可设()2 b Ac C x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，23ABC BCF S S =△△，可得222AF F C = ，即有()22 2 b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，，即2222 2b c x c y a =--=，，可得22 2b x c y a ==-，，代入椭圆方程可得，2222414c b a a+=，由222 c e b a c a ==-，，即有221414e e -+=，解得e =A. 二、填空题13.12- 做出不等式组表示的可行域如图所示，作出直线0l ，平移直线0l ，当经过11 22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，目标函数值最小，最小值为1112222-⨯=-.14.37若()22f x x =+有零点，则2280m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =. 15.6π 由图象可得，354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得T π=，由2T ππω==得2ω=.因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 则5262k ππϕπ+=+，得()=23k k Z πϕπ-+∈，由22ππϕ-<<，得3πϕ=-， ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.16.2 ∵32B C A ，，成等差数列，∴3A B C +=，又∵A B C π++=，∴4C π=，∴由1sin 12ABC S ab C ==△得(22ab =+，∵222222cos c a b ab C a b =+-=+，及222a b ab +≥，∴(224c ab ≥-=，解得：2c ≥， ∴c 的最小值为2. 三、解答题17.（Ⅰ）因为122n n S +=-，所以()12 2 2n n S n -=-≥，.……………………2分 所以当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，…………………………4分 又211222a S ==-=，满足上式………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式()*2n n a n N =∈…………………………6分 （Ⅱ）()212221log log log 1232n n n n b a a a n +=+++=++++=…………8分由()8n n b nk -≥对任意*n N ∈恒成立，即使()()812n n k -+≥对*n N ∈恒成立， (10)分解得0.05x =，所以区间[]75 85，内的频率为0.05………………………………5分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布() B n p ，，其中3n =，………………………………6分 由（Ⅰ）得区间[)45 75，内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6P =.……………………………………………………7分 因为X 的所有可能取值为0 1 2 3，，，， 且()003300.60.40.064P X C ==⨯⨯=；()112310.60.40.288P X C ==⨯⨯=；()221320.60.40.432P X C ==⨯⨯=()330330.60.40.216P X C ==⨯⨯=………………………………10分所以X 的分布列为：………………………………………………11分所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）…………………………12分 19.证明：（Ⅰ）连结BD 交AC 于O ，连接OM ，因为ABCD 为菱形，OB CD =，所以OM PB∥，……………………………………2分 由直线PB 不在平面AMC 内，OM AMC ⊂平面，………………………………3分 所以PB ACM ∥平面.…………………………………………4分 （Ⅱ）取AB 的中点N ，连接PN ，ND ，则90AND ∠=︒，分别以NB ND NP ，，为 x y z ，，轴建立空间直角坐标系，……………………6分则 0 02a B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，0C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 0 02a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，0 0D⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，0 0 P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，0 M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则3 0 22a AC a AM ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，………………………………7分 设平面AMC 的法向量为() n x y z =，，，则30202axa x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，………………………………………………………………8分令y 1x =-，z =，即 1 n ⎛=-- ⎝⎭，，………………………………………………10分 又 02a BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，设直线BD 与n 所成的角为θ，则cos n PB n PBθ⋅== ，故直线PD 与平面AMC 分 20.（Ⅰ）设()()221122 A t t B t t ，，，，()1212 0 0t t t t ≠≠≠，，，则()()221122 OA t t OB t t == ，，，……2分因为0OA OB ⋅= ，所以2212120t t t t +=，又120 0t t ≠≠，，所以121t t =-，……………………4分因为()()2211221 1 AC t t BC t t =--=-- ，，，，且()()()()()2222211221211221121110t t t t t t t t t t t t t t ---=--+=-+=………………………………6分所以AC BC ∥，又AC ，CB 都过点C ，所以三点 A B C ，，共线.…………………………7分（Ⅱ）由题意知，点Q 是直角三角形AOB 斜边上的垂足，又定点C 在直线AB 上，90OQB ∠=︒，所以设动点() Q x y ，，则() OQ x y = ，，()1 CQ x y =- ，，又0OQ CQ ⋅= ，……………………………………8分所以()210x x y -+=，即()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，……………………11分 动点Q 的轨迹方程为()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，……………………12分 21.（Ⅰ）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=>，由()'0f x <，得2210x x -->，……2分 又0x >，所以1x >，所以()f x 的单调减区间为()1 +∞，，函数()f x 的增区间是()0 1，.……4分 （Ⅱ）令()()()22111ln 1122a g x f x x ax x ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=.………………………………5分因为2a ≥，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()'0g x =，得1x a =，所以当10 x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()'0g x >；当1 x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0g x <. 因此函数()g x 在10 x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上是增函数，在1 x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数.………………6分 故函数()g x 的最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………………………7分 令()1ln 2h a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()12ln204h =-<，又因为()h a 在()0 a ∈+∞，上是减函数，………………8分所以当2a ≥时，()0h a <，即对于任意正数x 总有()0g x <，所以关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立.……………………………………9分 （Ⅲ）由()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，即 2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而()()()212121212ln x x x x x x x x +++=⋅-⋅.…………………………………………10分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，()1't t tϕ-=，可知，()t ϕ在区间()0 1，上单调递减，在区间()1 +∞，上单调递增.……………………………………11分所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，因此12x x +≥.…………………………12分 22.（Ⅰ）对于曲线2C 有24sin 4cos 4ρρθρθ=+-，即22444x y x y +=+-，因此曲线2C 的直线坐标方程为()()22224x y -+-=，其表示一个以()2 2，为圆心，半径为2的圆.……………………5分（Ⅱ）曲线2C是过点) 2P ，的直线，由)()222224++-<知点)2，在曲线2C 内，所以当直线1C 过圆心()2 2，时，AB 的最大值为4 (7)分当AB 为过点) 2，且与2PC 垂直时，AB 最小，222PC ==-d =.…………………………………………10分23.（Ⅰ）当1a =时，()22f x x ≤-，即12x x +≤-，………………………………3分 解得12x ≤.…………………………………………5分 （Ⅱ）()()222f x x x a x x a a =-++≥--+=+，……………………7分 若()2f x ≥恒成立，只需22a +≥， 即22a +≥或22a +≤-，…………………………9分 解得0a ≥或4a ≤-.…………………………10分。

2020届广西南宁市2017级高三第一次适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}10,12A x x B x x =->=-≤≤,则A B =（ ）A. (1,)+∞B. [1,)-+∞C. [1,1]-D. [1,2]-【答案】B【解析】解出集合A 中的一次不等式即可. 【详解】因为{}{}101A x x x x =->=>,{}12B x x =-≤≤所以A B =[1,)-+∞故选：B2.设(1)1i x yi -=+,其中,x y 是实数,则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+,其中,x y 是实数,得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩,所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.3.若实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】B【解析】作出可行域,作直线2y x z =-+,再将其平移至()1,2A 时,直线的纵截距最小【详解】作出可行域如图所示：作直线2y x z =-+,再将其平移至()1,2A 时,直线的纵截距最小z 的最小值为4故选：B4.已知(0,)απ∈,3cos()65πα+=,则sin α的值为（ ） A. 43-310 B. 33-410 C. 710 D. 235【答案】A【解析】。

2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3+4ii 2+的实部与虚部分别为（ ） A ．2，1 B ．2，i C ．11，2- D ．11，2i -2．已知集合{}2310A x x x =+<，{}1B x x =>，则A B U 等于（ ）A ．{}12x x << B ．{}51x x -<< C ．{}1x x > D ．{}5x x >-3．圆M ：()2216x y ++=与直线30x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．2B ．4 C．4．612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．52 B ．160 C ．52- D ．160- 5．若n ∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a >”是“31∏>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知变量x ，y 满足约束条件24,4312,1,y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为（ ）A ．12-B ．1C ．2-D ．1128．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．329．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13-B ．112-C ．112D ．1310．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．函数()f x 的值域为[]4,4-C ．函数()f x 的图象关于10,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到sin y A x ω=的图象 11．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，点B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若线段AB 的垂直平分线过右焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．．3 D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若正方体的外接球的表面积为6π，则该正方体的表面积为 ．14．设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r，且a b ⊥r r ，则m 的值为 ．15．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ= ．16．已知函数()32f x x ax =-与()2g x ax ax b =-+在(]0,2上存在相同的零点，则b 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 6sin a C c B =. （1）求ab的值；（2）若1b =，c =cos C 及ABC V 的面积.18．如图，在各棱长均为4的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，E 为棱1BB 上一点，且13BE EB =.（1）求证：平面ACE ⊥平面11BDD B ； （2）求二面角1C AE D --的正弦值.19．宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以为都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销量前5名的五个品牌奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名； （2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如下饼状图中的括号内；（3）试以（2）中的百分比作为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记X 为被采访中购买飞鹤奶粉的人数，求X 的分布列及数学期望.20．设椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>）的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点()0,1M -为椭圆上一点.抛物线N ：22y px =（0p >）的焦点F 与点M 关于直线y x =-对称.（1）求椭圆W 及抛物线N 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆交于A 、B ，与抛物线N 交于D （异于原点），若AB =，求ABF V 的面积.21．已知函数()()ln 1f x k x x =++⎡⎤⎣⎦()ln 1x k +++. （1）若函数()f x 在[)0,+∞上不单调，求实数k 的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()()e 1,e 1f --处的切线与直线30x y +=垂直，且()f x mx >对()0,x ∈+∞恒成立.已知()00ln 11x x +=-，00x >，求证：01m x <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的参数方程为曲线2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u r u u u r.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）若关于x 的不等式22a a ++()1x f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:ADBAB 6-10:CCCBD 11、12：AA二、填空题13．12 14．2 15．44,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．解：（1）sin 6sin a C c B =Q ，6ac bc ∴=，6a b ∴=，6ab ∴=.（2）6ab=Q ，1b =，6a ∴=.222cos 2a b c C ab +-∴==361261126112+-=⨯⨯，sin C ∴=1sin 2ABC S ab C ∴=V =.18．解：（1）证明：Q 底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥底面ABCD ，1BB AC ∴⊥. 1BB BD B =Q I ，AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面11BDD B .（2）设AC 与BD 交于点O ，11AC 与11B D 交于点1O ，以O 为原点，OA 、OB 、1OO 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则()A，()C -，()0,2,3E ，()10,2,4D -，则()2,3AE =-uu u r，()AC =-uu u r ，()10,4,1ED =-uuu r.设()111,,n x y z =r为平面ACE 的法向量，则1111230,0AE n y z AC n ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩uu u r r uu u r r 取12z =，则()0,3,2n =-r.设()222,,m x y z =u r为平面1AED 的法向量，则222122230,40AE m y z ED m y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩uu u r u r uuu r u r取2y =(m =u r.cos ,n m n m n m⋅∴==r u rr u r r u r =∴二面角1C AE D --的正弦值为26.19．解：（1）该超市这两年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉. （2）（3）由（2）知，购买飞鹤奶粉的概率为14，X 的可能取值为0，1，2. 则()0P X ==2191416⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()12114P X C ==⨯13148⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2P X ==211416⎛⎫= ⎪⎝⎭. X 的分布列为故()9301168E X =⨯+⨯112162+⨯=. 20．解：（1）由题可知1b =，又1442ab ⨯=，2ab ∴=，2a ∴=，∴椭圆W 的方程为2214x y +=.由题可知()1,0F ，∴抛物线N 的方程为24y x =.（2）易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，联立2214x y +=，得()22144k x +=，x ∴=，AB ∴=联立24y kxy x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，设()00,D x y ，则024x k =，0OD x ∴=24k =.∴由AB =25k=， ()()225110k k ∴+-=，解得1k =±，故直线l 的方程为y x =±.()1,0F Q 到l AB =，12ABF S ∴=V =. 21．解：（1）()()ln 1f x k x x =+++⎡⎤⎣⎦()()ln 11x k k x ++=+()()1ln 1x x +++，()()1ln 1f x k x '∴=+++，Q 函数()f x 在[)0,+∞上不单调，且()1f x k '=++()ln 1x +在[)0,+∞上单调递增，()()min 0f x f ''∴=10k =+<，1k ∴<-，即k 的取值范围是(),1-∞-.（2）由（1）可知，()()1ln 1f x k x '=+++，∴切线的斜率为()e 12f k '-=+，()1213k ⎛⎫∴+⋅-=- ⎪⎝⎭，解得1k =，0x >Q ，()f x mx ∴>对()0,x ∈+∞上恒成立等价于()()11ln 1x x x m x++++<对()0,x ∈+∞上恒成立.令()()()11ln 1x x x g x x ++++=，则()()2ln 11x x g x x-+-'=， 令()()ln 11h x x x =-+-（0x >），则()111h x x '=-+01xx =>+， ∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增，()21ln30h =-<Q ，()32ln40h =->，∴存在()02,3x ∈，使得()00h x =，故当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>.∴函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0min g x g x ∴=，由()00h x x =-()0ln 110x +-=，得()00ln 11x x +=-，()()()000011ln 1x x g x x +++⎡⎤⎣⎦∴=()()000111x x x ++-=01x =+，()min m g x ∴<01x =+.22．解：（1）依题意，4cos ρθ=⇔24cos ρρθ=，故曲线1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即()2224x y -+=，故曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；因为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=， 即曲线2C 的直角坐标方程为40x y --=.（2）由2240,40x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩故42OM ON ⋅=⨯u u u r u u u r()028+⨯-=.23．解：（1）()4f x ≥可化为2114x x --+≥，即2114,1x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或2114,112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2114,12x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得2x ≤-或6x ≥，所以不等式()4f x ≥的解集为(],2-∞-U [)6,+∞. （2）22a a ++()1x f x +>恒成立22a a ⇔+>()max1222x x --+，1222x x --+≤Q 12223x x -++=（当1x ≤-时取等号）， ()max 12223x x ∴--+=；由223a a +>，解得3a <-或1a >，即a 的取值范围是(),3-∞-U ()1,+∞.。

广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．53．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．115．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．217．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．28．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．119．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．211．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．212．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．7．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由u=3x+2y，平移直线u=3x+2y，由图象可知当直线u=3x+2y经过点A时，直线u=3x+2y的截距最大，此时u最大．而且也恰好是AO的连线时，取得最大值，由，解得A（1，2）．此时z的最大值为z=3×1+2×2+=9，故选：C．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN 的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为40．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（﹣）5按照二项式定理展开，可得（+3）（﹣）5的展开式中的常数项．【解答】解：（+3）（﹣）5 =（+3）（﹣•2x+•4﹣•8x ﹣2+•16﹣•32x﹣5），故展开式中的常数项为•4=40，故答案为：40．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，利用=2，得x0=p，即可得出结论．【解答】解：设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，∵=2，∴x0=p，∴2p2=8，∵p＞0，∴p=2．故答案为2．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为35π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图所示，求出三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为，问题得以解决．【解答】解：过点E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为二面角A﹣BD﹣E的平面角，∵tan∠EGF=3，∴=3，∵EF=AA1=3，∴FG=1，则BF==B1E，∴A1E=2，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为=，则其表面积为35π，故答案为：35π三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据余弦公式求出a2=4b2，根据正弦定理求出的值即可；（2）求出cosC的值，得到=以及==2，求出a，b的值，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵accosB﹣bccosA=3b2，∴﹣=3b2，∴a2﹣b2=3b2，∴a2=4b2，∴=4，∴=2；（2）若角C为锐角，sinC=，∴cosC＞0，∴cosC==，∴=，∴=①，由（1）得，==2②，联立①②得：b=，a=2，∴S=absinC=•2•=2．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）求出期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，K2==＞7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴E（X）=0×=．Y的取值为0，1，2，则：P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，E（Y）==．也即EX＜EY，其实际含义即表明设立自习室有效．19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DB中点G，连结EG、FG．证面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，则A（0，0，），E （0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．求出平面ACE的法向量即可【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．∵F是AD的中点，∴FG∥AB．∵BD=2CE，∴BG=CE．∵∠DBC=∠BCE∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，∵EG∩FG=G∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．，．设平面ACE的法向量，，令y=1，则，|cos|=．∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣alnx，（x＞0），f′（x）=1﹣=，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，f（x）有1个极小值点；（2）若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，＞0在[1，e]恒成立，令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值则h（x）=x﹣alnx+（a∈R），∴h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e+﹣a＞0，解得a＜，∵＞e﹣1，∴e﹣1≤a＜；②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立，综上，﹣2＜a＜时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l，消去t整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．【解答】解：（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x．对于l：由（t为参数），消去t可得，化为一般式可得；（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，∴弦心距，∴弦长，∴以PQ为边的圆C的内接矩形面积[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，由x+=1，则y=4﹣4x，则|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2=，即≤1，用作差法分析可得﹣xy=（1﹣），结合的范围，可得﹣xy≥0，即可得证明．【解答】解：（1）根据题意，若x+=1，则4x+y=4，即y=4﹣4x，则由|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，即﹣（2x+3）＜4x+3＜2x+3，解可得﹣1＜x＜0；（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+≥2=，即≤1，﹣xy=（1﹣），又由0＜≤1，则﹣xy=（1﹣）≥0，即≥xy．3月30日。

广西名校2017届高三上学期第一次摸底考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345AB =，，，则U A ð不可能是（ ）A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅ 【答案】D考点：集合的元素及交并补运算.2.=（ ）A ．iB ．i -C ．i -D ．i -【答案】B 【解析】 试题分析：i ii i ii -=++-=+-21)21(212，故选B.考点：复数的运算.3.在等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ） A ．13 B ．26 C ．52D ．156 【答案】B 【解析】试题分析：由1479112()3()24a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是1134101313()13()2622a a a a S ++===，故选B.考点：等差数列的性质，等差数列求和.4.已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 【答案】C考点：向量的数量积运算.5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+．32+ C.48 D ．80 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为(24)4242242+⨯⨯+=+48+A ．考点：空间几何体四棱台的特征.6.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ． y 【答案】C考点：直接法求轨迹.【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程了.设出点(,)P x y ,表示出两线的斜率,利用其乘积为1-建立方程化简即可得到点P 的轨迹方程. 7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k > C.6?k > D ．7?k > 【答案】A 【解析】试题分析：当2,4;3,11;4,26;5,57.k S k S k S k S ========即当5k =退出循环，所以判断框内应填“4?k >”.故本题正确答案为A. 考点：算法的含义和程序框图.8.已知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．13- C ．43D ．34-【答案】D 【解析】试题分析：由cot()33πα+=-，得tan()36πα-=，所以3tan(2)tan 2()364ππαα-=-=-,故选D ．考点：诱导公式；二倍角的正切公式. 9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =，则当()20x ∈-，时，()f x =（ ） A ．21x ++ B ．31x -+ C ．2x - D ．4x +【答案】B考点：函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式.10.在ABC △中，已知1tan cos 2A B ==，若ABC △则最短边长为（ ）AD ．【答案】A 【解析】试题分析：由1tan 02A =>，得cos A A ==cos B =，cos 0B =>，得sin B =cos cos()cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有c =，又sin sin ,B A b a <∴<，最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得b = A.考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系.【方法点晴】根据cos B 的值及B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，由tan A 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin ,cos A A 的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出cos C ， 由cos C 的值为负数及C 的范围得到C 为钝角即最大角，即c =，又sin sin ,B A b a <∴<，∴b 为最小边，根据正弦定理，由sin ,sin B C 及c 的值即可求出b 的值．11.点P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ） A ．154 B ．152C.15 D ．10 【答案】B考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程.12.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）A ．24种B ．48种 C.64种 D ．72种 【答案】D 【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S A B 、、的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC BD 、同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种,故选D ．考点：分类计数原理，排列组合.【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒=．【答案】考点：二倍角公式.14.已知变量x y，满足约束条件22221010x y x yx y⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y=+的最大值为 .【答案】3+【解析】试题分析：如图，作出可行域，有圆心(1,1)到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为3考点：线性规划，数形结合.15.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 .【答案】283π考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离.【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径.因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上.所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出.16.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的值域为[]1,2-，故答案为3．考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域.【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，进而利用02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，． （1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）n n n qb b )21(11-==-；（2）212121[1()]()9232n n n S +=--+⋅-．（2）由已知有nn n n n b b c )21(log 2--=⋅=， 即nn n n n S )21()21()1()21(3)21(2)21(11321-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=- ………………①于是1432)21()21()1()21(3)21(2)21(121+-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=-n n n n n S …………②-①②得1321)21()21()21()21()21(23+-+---------=n n n 1)21()21(1])21(1)[21-(+-⋅+----=n n n12)21(32])21(1[92+-⋅+--=∴n n n S ．…………………………………………12分考点：数列递推求通项公式；数列求和. 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniii i x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）【答案】（Ⅰ）53；（Ⅱ）325-=∧x y ；（Ⅲ）可靠．试题解析：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以53104-1)(==A P ，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是53．…………………………4分（Ⅱ）由数据，求得9723,27)262025(31,12)121311(31=⋅=++==++=y x y x ．∑==⨯+⨯+⨯=31977261230132511i ii yx ，∑==++31222434121311i ， 43232=x ，由公式求得3,254324349729773312231-=-==--=-=∧∧==∧∑∑x b y a xx yx b i i i i i ．所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y ． (8)分考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率.【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从5组数据中选取2组数据共有10种情况，用正难则反的思想找到4种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知21AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，， 点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）10．试题解析：（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于AB21，于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形， 即DN CM //，又⊆DN 平面PAD ，故//CM 平面PAD ．………………………………………………6分（Ⅱ）依题意知：222PD AB PA =+，所以AD PA AB PA ⊥⊥,，即⊥PA 平面ABCD ，建立如图所示空间坐标系xyz O -，)2,0,0()0,0,2(),1,1,0(),0,1,2(P D M C ， 于是有)2,0,2(),0,1,0(),1,0,2(-==-=DP DC CM ， 设平面PDC 的法向量为),,(c b a n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DP n n ，有⎩⎨⎧=+-=0220c a b ，得)1,0,1(=n ，所以1010,cos -=>=<CM n，故直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值为1010．考点：线面平行的判定，直线和平面所成角. 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值．【答案】（I ）421-=+y y ；（Ⅱ）9616. （II ）由211221124()AB y y k x x x x y y -==≠-+，得出1241AB k y y ==-+，设直线AB 的方程为y x b =-+，与抛物线联立可得AB ==P 到直线AB 的距离为d =1122ABC S AB d ∆=⋅=⋅=，构造关于b 的函数，求导利用单调性求最值即可.（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由2221214,4x y x y ==，得)(421211212x x y y x x y y k AB ≠+=--=，由（Ⅰ）得421-=+y y ，将其代入上式得1421-=+=y y k AB ．因此，设直线AB 的方程为b x y +-=，由⎩⎨⎧+-==b x y x y 42，消去y 得0)42(22=++-b x b x ，由04)42(22≥-+=∆b b ，得1-≥b ，这时，22121,42b x x b x x =+=+，144)(21221+=-+=b x x x x AB ，又点P 到直线AB 的距离为23b d -=，所以2)3)(1(223142121b b b b d AB S ABC-+=-⋅+⋅=⋅=∆，令()()])3,1[(31)(2-∈-+=x x x x f ，则由3103)(2'+-=x x x f ，令0)('=x f ，得31=x 或3=x ．当)31,1(-∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 单调递增，当)3,31(∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 单调递减，故)(x f 的最大值为27256)31(=f ，故ABP ∆面积ABP S ∆的最大值为9616)312=f ．…………………………………………12分（附：332)38(3)3()3(1(2)3)(1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++≤-+b b b b b ），当且仅当31=b 时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值. 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，．（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值；（Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（Ⅰ）72a ≤-；（Ⅱ）2a e =；（Ⅲ）证明见解析. 试题解析：解：（Ⅰ）01212)(2'≤-+=-+=x ax x x a x x f 在[]2,1上恒成立，令12)(2'-+=ax x x h ，有{0)2(0)1(≤≤h h ，得⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤271a a ， 得27-≤a ．…………………………………………………………4分（Ⅱ）由],0(,ln )(e x x ax x g ∈-=，得x ax x a x g 11)('-=-=，①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去），②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增，∴3ln 1)1()(min =+==a a g x g ,2e a =，满足条件．③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ,e a 4=（舍去），综上，有2e a =．…………………………………………………………8分考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式.【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成'()0f x ≤在区间[]1,2上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于0，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在(0,]e 单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以x 后，左右两个函数有max 1515()()3222x e e φφ==+<+=，易得结果. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC =； （Ⅱ）DF FE =【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.（Ⅱ）BC DF // ，∴DFO ∆∽CGO ，即GO FO GC DF =，同理GO FOBG FE =， 所以BG GCFE DF BG FE GCDF =⇒=， 又由（Ⅰ）有DF FEBG GC GC FE BG DF =⇒=， 所以DF FE FEDF =，即FE DF =．…………………………………………10分 考点：三角形相似判定和性质.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值．【答案】（Ⅰ）曲线M 的普通方程为22(2)4x y +-=，曲线N 160y +-=（Ⅱ）5.试题解析：解：（Ⅰ）曲线M 的普通方程为4)2(22=-+y x ， 由8)3sin(=+πθρ有83sin cos 3cos sin =+πθρπθρ，又⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ∴曲线N 的普通方程为0163=-+y x ．……………………………………5分 （Ⅱ）圆M 的圆心)2,0(M ，半径2=r ．点M 到直线N 的距离为713162=+-=d ，故AB的最小值为527=-=-r d ．………………………………………………………………10分考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2=a ；（Ⅱ）5m ≤. 【解析】试题分析：（I ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，可得出2a =；（II ）对23,4()|1||4|5,4123,1x x g x x x x x x --≤⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，分段解不等式即可.试题解析：解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3≤-a x ，解得33+≤≤-a x a ，又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a ．…………5分考点：绝对值不等式的解法.。