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数列的概念数列是数学中常见的概念之一。
它由一系列按一定规律排列的数构成。
数列在数学中的应用十分广泛，包括代数、几何、数论等各个领域。
在本文中，我们将介绍数列的定义、常见类型及其性质。
定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数字所组成的。
数列可以有无穷多个元素，也可以有有限个元素。
数列中的每个元素称为数列的项。
通常用字母a n表示第 n 项。
数列可以通过以下几种方式定义： - 显式定义：直接给出数列的每一项的计算公式，例如a n=n2表示数列的第 n 项等于 n 的平方。
- 递推定义：给出数列的第一项和一个递推关系式，通过前一项计算出后一项，例如a1=1，a n=a n−1+2表示数列的第一项为 1，而后一项等于前一项加 2。
常见类型等差数列当数列中相邻两项之间的差值相等时，这个数列就是一个等差数列。
等差数列可以用以下公式进行表示：$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d$，其中d为公差。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
常见的等差数列有：$1, 2, 3, 4, 5, \\ldots$，公差为 1；$3, 6, 9, 12, 15, \\ldots$，公差为 3。
等比数列当数列中相邻两项之间的比值相等时，这个数列就是一个等比数列。
等比数列可以用以下公式进行表示：$a_n = a_1 \\cdot r^{(n-1)}$，其中r为公比。
等比数列的特点是每一项与前一项之间的比值都相等。
常见的等比数列有：$1, 2, 4, 8, 16, \\ldots$，公比为 2；$3, 6, 12, 24, 48, \\ldots$，公比为 2。
斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，定义方式较为特殊。
它的前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列可以用以下递推关系式进行表示：a1=1，a2=1，a n=a n−1+a n−2。
斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项的和。
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，数列广泛应用于代数、函数和数学分析等领域。
本文将对数列的基本概念、性质和常见类型进行归纳总结。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
通常用字母$a$表示数列的首项，$d$表示数列的公差（等差数列），$q$表示数列的公比（等比数列）。
数列的一般表示形式为：$$a_1，a_2，a_3，...，a_n，...$$其中，$a_n$表示数列的第n个数。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$其中$n$为项数，$a_n$表示第n个数。
等差数列的求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$其中$S_n$表示前n项的和。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$其中$n$为项数，$a_n$表示第n个数。
等比数列的求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1-q}$$其中$S_n$表示前n项的和。
四、特殊数列除了等差数列和等比数列外，还有一些特殊的数列。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为：$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$其中$F_n$表示第n个斐波那契数。
2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与相邻前一项之间的差值和比值的乘积。
混合数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d + (n-2)d\cdot r$$其中$d$为等差数列的公差，$r$为等比数列的公比。
数列知识点归纳数列是数学中重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将对数列的基本定义、性质和分类进行归纳总结。
一、数列的基本定义数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用数学表达式表示。
一般来说，数列可以用a₁, a₂, a₃, ……来表示，其中a₁, a₂, a₃, ……分别表示数列的第1个、第2个、第3个……。
二、数列的性质1. 公差：对于一个等差数列（arithmetic sequence），它的相邻两项的差值是恒定的，这个差值称为公差。
公差常用字母d表示。
2. 通项公式：数列中的每一项可以用一个公式表示，这个公式被称为通项公式。
通项公式可以描述数列中每一项与它的位置之间的关系。
3. 首项和末项：数列中的第一个数被称为首项，最后一个数被称为末项。
4. 等差数列求和公式：对于一个有限的等差数列，可以利用等差数列的首项、末项和项数来求和。
求和公式可以简化计算过程。
5. 比值和通比：对于一个等比数列（geometric sequence），它的相邻两项的比值是恒定的，这个比值称为公比。
三、数列的分类1. 等差数列：在等差数列中，相邻两项之间的差值恒定。
等差数列可以用通项公式an = a₁ + (n-1)d来表示，其中an是数列的第n项，a₁是首项，d是公差。
2. 等比数列：在等比数列中，相邻两项之间的比值恒定。
等比数列可以用通项公式an = a₁ * r^(n-1)来表示，其中an是数列的第n项，a₁是首项，r是公比。
3. 调和数列：在调和数列中，数列的每一项是调和数（harmonic number），调和数是指以自然数为分母的分数单位之和。
调和数列可以用通项公式an = 1/n来表示。
4. 斐波那契数列：在斐波那契数列中，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an = fib(n-1) + fib(n-2)，其中fib(n)表示第n 个斐波那契数。
五、总结数列是数学中重要的概念，它能够描述一系列按照一定规律排列的数。
数列的概念1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1项也叫做首项 3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…其中n a 是数列的第n 项。
（2）简单表示：{}n a5、数列分类：递增数列，递减数列，摆动数列， 6．通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与它的项数n 之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
简记为)(n f a n =。
等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示设数列}{n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列 d n a a n )1(1-+= *N n ∈ 广义通项公式: d m n a a m n )(-+=*1,n n a a d n N +=+∈(1)*,,,N q p n m ∈若q p n m +=+则:q p n m a a a a +=+ (2)}{n ka k 为常数,也是等差数列. (3)下标成等差数列的项也成等差数列. (4)}{n a ,}{n b 是等差数列,则}{n nqb pa +也是等差数列.在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。
由定义,实数b a ,的等差中项2ba A +=等 比 数 列一、基础知识 1．定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数q q a a nn =+ 2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q qa a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
数列的基本概念和计算数列是数学中一种重要的概念，它由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
数列的研究在数学领域有广泛的应用，涵盖了数学分析、线性代数、概率论等多个分支。
本文将介绍数列的基本概念以及常见的计算方法。
一、数列的定义和表示数列是一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
通常用字母表示数列，如{an}或{a1, a2, a3, ...}，其中an表示数列的第n项。
数列中的数字可以是整数、分数、实数或复数，取决于问题的需求和数列的性质。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
二、数列的常见类型1. 等差数列等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，若对于任意正整数n，都有an+1 - an = d (常数)，则称该数列为等差数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
根据通项公式可以求出等差数列的各项的值。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻的两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，若对于任意正整数n，都有an+1 / an = q (常数)，则称该数列为等比数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
根据通项公式可以求出等比数列的各项的值。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其定义为前两项为1，以后的每一项都是前两项的和。
即a1 = a2 = 1，an = an-1 + an-2（n > 2）。
斐波那契数列的特点是前一项和后一项的比值接近黄金分割比0.618。
三、数列的计算方法1. 求数列的前n项和有些数列的前n项和具有一定的规律，可以通过公式或者递归求解。
例如，考虑等差数列{an}，其前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 求数列的通项公式对于已知数列的一些特定性质，可以通过观察数列的规律，推导出数列的通项公式。
以等差数列和等比数列为例，已经给出了它们的通项公式，可以通过这些公式计算数列的各项的值。
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
《数列》讲义一、数列的定义在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。
例如，1，3，5，7，9 就是一个数列；再比如，2，4，6，8，10 也是一个数列。
数列中的每一个数都被称为这个数列的项。
我们可以用符号 a₁，a₂，a₃，…，aₙ 来表示数列中的各项，其中 n 表示项数。
比如在数列 1，3，5，7，9 中，a₁＝ 1，a₂＝ 3，a₃＝ 5 等等。
二、数列的分类数列有多种分类方式。
1、按照项数的多少，数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列的项数是有限的，比如1，2，3，4，5 就是一个有限数列，它只有 5 项。
无限数列的项数是无限的，例如 1，2，4，8，16，… 就是一个无限数列，它的项数没有尽头。
2、按照数列的单调性，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
递增数列是指从第二项起，每一项都大于它前一项的数列，比如1，2，3，4，5 。
递减数列是指从第二项起，每一项都小于它前一项的数列，例如5，4，3，2，1 。
常数列是指各项都相等的数列，像 3，3，3，3，3 。
摆动数列则是指从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，比如 1，－1，1，－1，1，－1 。
三、数列的通项公式如果数列{aₙ}的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
例如，数列 2，4，6，8，10，… 的通项公式可以表示为 aₙ ＝ 2n 。
通过通项公式，我们可以很方便地求出数列中的任意一项。
但并不是所有的数列都有通项公式，有的数列的规律比较复杂，难以用一个简单的公式来表示。
四、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如，数列 3，5，7，9，11 就是一个公差为 2 的等差数列。
2、通项公式等差数列的通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d ，其中 a₁是首项，d是公差。
《第2章数列》2010年单元测试卷（2）《第2章数列》2010年单元测试卷（2）一、选择题（共18小题，每小题4分，满分72分）1．（4分）（2013•许昌二模）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=2．（4分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）C D2．DDC或1*7﹣2n*12．（4分）（2010•沈阳模拟）已知等差数列a n的前n项和为S n，且a2+a4=﹣30，a1+a4+a7=﹣39，则使得S n达到最14．（4分）共有10项的数列{a n}的通项a n=，则该数列中最大项、最小项的情况是（）15．（4分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最16．（4分）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立则实．C D18．（4分）设S n=1+2+3+…+n，n∈N*，则函数的最大值为（）．C D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）19．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于_________．20．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=_________．21．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）=_________．22．（5分）（2010•广东模拟）在等比数列{a n}中，若a1a2a3=2，a2a3a4=16，则公比q=_________23．（5分）（2010•广州一模）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若a n=64，则n的值为_________．24．（5分）在等比数列a n中，若a2，a8是方程3x2﹣11x+6=0的两根，则log2（a1a2…a9）=_________．25．（5分）已知数列{a n}满足a n2=a n﹣1a n+1（n∈N*，n≥2），若，a4a6=4，则a4+a5+a6=_________．26．（5分）（2009•江苏模拟）设数列x n满足log2x n+1=1+log2x n（n∈N*），且x1+x2+…+x10=10，记x n的前n项和为S n，则S20=_________．27．（5分）（2010•大连模拟）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=，设，则数列的前19项和为_________．28．（5分）（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n 的值为_________．三、解答题（共15小题，满分206分）29．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=n2，数列{b n}满足b1=1，且b n=2b n﹣1+1，n≥2．（1）求a n，b n的表达式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．30．（14分）（2011•衡阳模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想a n的表达式，并证明你的猜想．（2）设A n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A n对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．31．（16分）（2009•江苏模拟）对于数列a n，（1）已知a n是一个公差不为零的等差数列，a5=6．①当a3=2时，若自然数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t＜…，且a3，a5，a n1，a n2，…，a nt，…是等比数列，试用t表示n t；②若存在自然数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t＜…，且a3，a5，a n1，a n2，…，a nt，…构成一个等比数列．求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数．（2）若数列a n满足a n+1a n+3a n+1+a n+4=0，且a2009小于数列a n中的其他任何一项，求a1的取值范围．32．（14分）已知函数f（x）=x2+2x．（Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式；（Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．33．（16分）（2011•万州区一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有a n＞0，．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）证明：a2n+1n≥a2n n+a2n﹣1n．34．（14分）（2010•焦作二模）曲线y=x n+1（n∈N+）在点（2，2n+1）处的切线与x轴的交点的横坐标为a n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．35．（14分）（2010•湛江一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．36．（14分）已知点P n（a n，b n）满足，且P1点的坐标是（1，﹣1）．（Ⅰ）求过P1，P2两点的直线l的方程，并证明点P n在直线l上；（Ⅱ）求使不等式对所有n∈N*成立的最大实数λ．37．（14分）（2010•广东模拟）在等差数列{a n}中，设S n为它的前n项和，若S15＞0，S16＜0，且点A（3，a3）与B（5，a5）都在斜率为﹣2的直线l上．（Ⅰ）求a1的取值范围；（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．38．（14分）已知数列a n的前n项和，n∈N+．（1）求a n的通项公式；（2）设n∈N+，集合A n={y|y=a i，i≤n，i∈N+}，B={y|y=4m+1，m∈N+}．现在集合A n中随机取一个元素y，记y∈B 的概率为p（n），求p（n）的表达式．39．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*．（1）设b n=a n﹣n，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列a n的前n项和为S n，证明：对任意的n∈N*，不等式S n+1≤4S n恒成立．40．（14分）在数列a n中，a1=2，a n+1=2a n+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列为等差数列；（2）若m为正整数，当41．（13分）（2011•烟台一模）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n；数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n=1，2，3，…，T n为数列{c n}的前n项和．求证：．42．（12分）（2010•兰州一模）已知在各项不为零的数列{a n}中，a1=1，a n a n﹣1+a n﹣a n﹣1=0（n≥2，n∈N+）（I）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，求．43．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（1）求a2，a3，a4，a5；（2）设b n=a2n+1+4n﹣2，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；（3）求数列{a n}前100项中的所有奇数项的和S．《第2章数列》2010年单元测试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题4分，满分72分）1．（4分）（2013•许昌二模）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=2．（4分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）C D，则===2．DDC或1﹣*，=，=．所以前×=1005，∴∴﹣1=1+．×7﹣2n*．，得=3a所求公比12．（4分）（2010•沈阳模拟）已知等差数列a n的前n项和为S n，且a2+a4=﹣30，a1+a4+a7=﹣39，则使得S n达到最2=n14．（4分）共有10项的数列{a n}的通项a n=，则该数列中最大项、最小项的情况是（），将函数转化为，令令，∴15．（4分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最变形得到公比为××+1=b=＜16．（4分）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立则实．C D发现此数列是首项和公比都为，同理令，所以此数列是首项为，公比也为=（﹣（﹣=．18．（4分）设S n=1+2+3+…+n，n∈N*，则函数的最大值为（）．C D．解：∵∴═二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）19．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于180．==1820．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=3．21．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）=．=tan22．（5分）（2010•广东模拟）在等比数列{a n}中，若a1a2a3=2，a2a3a4=16，则公比q=2相比，约分后求得=答案可得．==23．（5分）（2010•广州一模）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若a n=64，则n的值为7．24．（5分）在等比数列a n中，若a2，a8是方程3x2﹣11x+6=0的两根，则log2（a1a2…a9）=．，代入求出即可．=故答案为25．（5分）已知数列{a n}满足a n2=a n﹣1a n+1（n∈N*，n≥2），若，a4a6=4，则a4+a5+a6=4．时，由==1时，由==﹣26．（5分）（2009•江苏模拟）设数列x n满足log2x n+1=1+log2x n（n∈N*），且x1+x2+…+x10=10，记x n的前n项和为S n，则S20=10250．2⇒既=1027．（5分）（2010•大连模拟）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=，设，则数列的前19项和为．，因为=﹣①a﹣②分别求出各项，然后给各项都加，归纳总结得到新数列为利用=﹣=﹣﹣，a﹣①a﹣，，，}=n+=++﹣﹣+故答案为28．（5分）（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为．×××…××．故答案为：三、解答题（共15小题，满分206分）29．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=n，数列{b n}满足b1=1，且b n=2b n﹣1+1，n≥2．（1）求a n，b n的表达式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．，）30．（14分）（2011•衡阳模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想a n的表达式，并证明你的猜想．（2）设A n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A n对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．=n+，+）由，知））n）﹣，又f（a）﹣=a+﹣=a﹣，故A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，由）都在函数的图象上，故=n+．a=1+aa+a=2k+1+a a）∵=1，故﹣﹣）n））﹣=a+﹣﹣n对一切）﹣﹣）﹣）即可．=﹣•＜，得解得﹣，（31．（16分）（2009•江苏模拟）对于数列a n，（1）已知a n是一个公差不为零的等差数列，a5=6．①当a3=2时，若自然数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t＜…，且a3，a5，a n1，a n2，…，a nt，…是等比数列，试用t表示n t；②若存在自然数n1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t＜…，且a3，a5，a n1，a n2，…，a nt，…构成一个等比数列．求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数．（2）若数列a n满足a n+1a n+3a n+1+a n+4=0，且a2009小于数列a n中的其他任何一项，求a1的取值范围．即可求，整理可得，并借助该数列的单调性与反证法求出d=，q=．，．，解得，所以）式知，从而数列是首项为是递增数列，，则由的取值范围是﹣﹣＜；．的取值范围是32．（14分）已知函数f（x）=x2+2x．（Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式；（Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．，和，∴，∴==，又不等式∴，33．（16分）（2011•万州区一模）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N ，都有a n＞0，．（1）求a 1，a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）证明：a 2n+1n ≥a 2n n +a 2n ﹣1n． ）由题意可知，将）由，得时，有，即，）解：由，，则有，只需证只需证34．（14分）（2010•焦作二模）曲线y=x n+1（n∈N+）在点（2，2n+1）处的切线与x轴的交点的横坐标为a n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．）∵，∴∴∴∴35．（14分）（2010•湛江一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．求得，∴，∴∴36．（14分）已知点P n（a n，b n）满足，且P1点的坐标是（1，﹣1）．（Ⅰ）求过P1，P2两点的直线l的方程，并证明点P n在直线l上；（Ⅱ）求使不等式对所有n∈N*成立的最大实数λ．）所以为首项，．）．∴∴∴是以∴．∴⇔=∵）的最小值是∴．即．37．（14分）（2010•广东模拟）在等差数列{a n}中，设S n为它的前n项和，若S15＞0，S16＜0，且点A（3，a3）与B（5，a5）都在斜率为﹣2的直线l上．（Ⅰ）求a1的取值范围；（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．时，时，为递减数列，进而推断出）由已知可得，则公差∴时，时，38．（14分）已知数列a n的前n项和，n∈N+．（1）求a n的通项公式；（2）设n∈N+，集合A n={y|y=a i，i≤n，i∈N+}，B={y|y=4m+1，m∈N+}．现在集合A n中随机取一个元素y，记y∈B 的概率为p（n），求p（n）的表达式．）因为，所以，即，即39．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*．（1）设b n=a n﹣n，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列a n的前n项和为S n，证明：对任意的n∈N*，不等式S n+1≤4S n恒成立．分）∴（∴40．（14分）在数列a n中，a1=2，a n+1=2a n+2n+1（n∈N）．（1）求证：数列为等差数列；（2）若m为正整数，当）把题设中数列递推式变形得，根据等差数列的定义判断出数列）可求得数列=的表达式，进而求得解决大于．进而根据进而可知变形得：是以n∴∴41．（13分）（2011•烟台一模）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n；数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n=1，2，3，…，T n为数列{c n}的前n项和．求证：．）由题设条件知．公差．是以为首项，为公比的等比数列，于是为等差数列，公差∴42．（12分）（2010•兰州一模）已知在各项不为零的数列{a n}中，a1=1，a n a n﹣1+a n﹣a n﹣1=0（n≥2，n∈N+）（I）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，求．得{}}即∴∴∴43．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（1）求a2，a3，a4，a5；（2）设b n=a2n+1+4n﹣2，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；（3）求数列{a n}前100项中的所有奇数项的和S．=[+），是公比为的等比数列．又∵，∴[+参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；xiaolizi；zhwsd；wodeqing；庞会丽；sllwyn；301137；涨停；翔宇老师；394782；wzj123；吕静；733008；wdlxh（排名不分先后）菁优网2014年7月27日。
