高考数学文化《九章算术》中的数列PPT课件

情感态度与价值观
《九章算术》是中国古代最著名的传世 数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍， 对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作 用.
教学重难点
重点
《九章算术》的主要内容以及其深远影 响.
难点
《九章算术》中介绍的各种实际问题的 解法以及其现实意义.
内容介绍
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年.后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学.唐 宋两代成为官学采用的算学教 学书，并在北宋是成为世界上 最早的印刷版教学书.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
y = 8x - 3 y = 7x + 4
文钱.
x=7 y = 53 人数为7，物价为53
盈不足术用表格表示： 所出率 盈不足 维乘 实 法 所出率差 8 3 32 53 7 1 7 4 把所有人的钱写出来
多余、不足的钱数 相加后的结果称为“实”
盈、不足相加称为法 所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
刘徽(魏晋, 公元3世 纪)（中国，2002）
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的经典数学著作之一 的《九章算术》的深远影响；
初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰 出贡献； 学习《九章算术》介绍的各种实际 问题解法.
过程与方法
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，学习其中代表性的“盈不足 术”“方程术”“正负术”.
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.

例算法是几何线段的比例，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被 称为“三率法”也叫“黄金法则”。
• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
导入新课
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(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.

• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
• 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出 粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，， 共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三 捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗
则解方程组
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几 里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算 法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元1世纪初）
《周礼》
《九章算术》的主要内容
• 《九章算术》的内容十分丰富，全书主要采用问题集 的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题 。
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.

章末复习课 1
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数

2019/8/12
求数列的前n项和，通常要掌握以下解法： 直接法 (公式法) 倒序相加法
错位相减法 分组转化法
2019/8/12
裂项相消法
“an ”法
一、公式法求和：
1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
Sn

n(a1 2
an
)

na1

n(n 1) 2
d
Sn 公na比1a(111含(qq字qn1母)) 是a1一1定aqn要q (讨q 论0且q 1)
数列引入：
• 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上通过画点发现了一连串具有规律的数，后人 将这些按一定顺序排列的数称为数列。
• （1） • a1
（4） a2
（9） a3
（16） a4
• 上面就是著名的正方形数，通过观察可以得到它们可以表示为：an=n²
• 这里的a1,a2,a3,...,an,...就是数列的一般形式,简记为：{an}
解：根据题意，从2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列{ an} ,表示从2001 年起各年投入的资金，其中a1= 500， d=50. 那么，到2010 年（n=10），投入的资金总额为
Sn=10*500+10*(10-1)*50/2=7250（万元） 答：从2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.
注意：等比数列公比 q 是任意常数,可正可负；首项a1和公比q均不为 0.
·等比数列的前n项和：Sn=na , 1
(q=1)
Sn=a (1-qn)/(1-q) ， (q≠1） 1
例3 ：一个等比数列的第3 项和第4 项分别是12 和18,求它的第1 项和第2 项. 解：由题意知a3=12,a4=18,得：

若π取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x 为___1_.6____．
[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6， 解得 x＝1.6.
4、《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末， 委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?其意思 是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索晶，它的出
现标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代 数学体系的初期代表作。 后世的数学家，大都
是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年 由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的 印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为 数学发展做出的又一杰出贡献。
2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典．其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“今有 圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺．问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳 索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，问绳子有多长？ 现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为
(
)
A．
B．
C． D．
根据题设条件，作示意图如图所示，设绳长为 x 尺，则木柱
高为(x-3)尺，由勾股定理得： (x 3)2 82 x2 ，
3．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直)．在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为_34_69_尺_____ 尺．(注：1 丈＝10 尺， 601≈24.5)

第2章 数列
2.1 数列
1，1，2，3，5，8，13，… 数列中的每个数都叫做这个数列的项，各
项依次称为数列的第1项(或称首项)，第2 项，…，第n项… 分别记作：a1，a2，a3，…，an，… 这样的数列可简记为：数列｛an｝．
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数列
数列的分类
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
① 1 ，1 ，1 2 6 12
，(
)，301
，…
② 3 ，8 ，15 ，( )，35 ，48 ，…
234
67
③ 2 －1，1， 2 ＋1，3＋2 2 ，…
④ 1，3，3，5，5，7，7，9，9，…
苏教版高中数学教材必修5 第2章 数列
2.1 数常列用数列：
① 自然数列
an＝n－1
② 正整数列
an＝n
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]

《九章算术》评价
《九章算术》是数学知识的光辉的集 成，它支配着中国计算人员一千多年的实 践……土地的丈量、谷仓容积、堤坝和河 渠的修建、税收、兑换率—这些似乎都是 重要的实际问题。“为数学”而数学的场 合极少。这并不意味着中国计算人员对真 理不感兴趣，但他们感兴趣的不是希腊人 所追求的那种抽象的、系统化的学院式真 理。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
《九章算术》的书影
勾股定理
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
ห้องสมุดไป่ตู้
史》
—李约瑟《中国科学技术
《九章算术》内容
它总结了周秦到汉代的数学成 就。书中记载了与生产实践密切相 关的田亩面积和谷仓容积的计算方 法，还总结出负数运算，一元二次 方程解法等。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人

一、今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人
数、鸡 价各几何？
（答曰：九人， 鸡价七十。）
二、今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、
琎价 各几何？
（答曰：四十二人， 琎价十七。）
三、今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。
莞生日自倍。问几何日而长等？
（ 答曰：二日、十三分日之六。）
1 简介
2 作者
3 内容
4 重要举例
《九章算术》 《九章算术》作者不详，但一点可以肯定，《九章算术》
所包含的各种算法是汉代数学家们在秦以前流传下来的数学 基础上，适应当时社会需要，经过整理，修改，补充，编撰 而成的集体智慧的结晶。
经过两千多年的辗转手抄和刻印，传世的《九章算术》 难免出现差错和遗漏，又由于《九章算术》本身文字简略， 有些内容不易理解，因此历史上有许多人对该书进行过多次 校正和注释，其中最重要的两人是魏晋的刘徽和唐代的李淳 风，因此，现从《九章算术》的贡献包含两个方面，一是著 作本身蕴涵的数学意义，另一方面是后人对该书的注释中所 蕴涵的数学思想。
得如下的解法公式：
人数：x n n ; m m
物价：y mn mn m m
每人出钱：y mn mn x m n
“两鼠穿墙”问题
今有垣厚5尺，两鼠 对穿，大鼠日进一尺， 小鼠也日进一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何 日相逢，各穿几何？
两只老鼠相遇的天数：
23.75 3 0.5 2 2
3.75 0.5
17
相会时，大，小老鼠分别 穿墙：
1 2 4 2 3 8 尺 17 17
1 1 1 2 1 9 尺 2 4 17 17
所出率 盈不足
维乘 实 法 天数

九章算术中的数列
解：设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为 d.
则a1＋a2＋a3＝4 ，即3a1＋3d＝4 ， a9＋a8＋a7＋a6＝3 4a1＋26d＝3
解得 a1＝6965，d＝－676. 中间为第五节， 即 a5＝a1＋4d＝9656＋4×(－676)＝6667.
九章算术中的数列
O1
O1O2 平 面ABC，O1O2 平 面A1B1C1
O为O1O2中 点O为 堑 堵 外 接 球 球 心
A1B 2 2,为 外 接 球 直 径 ， 则 半 径r 2
V 4 r 3 8 2
3
3
利用勾股定理求解的各种问题。其中的 绝大多数内容是与当时的社会生活密切 相关的。在西方，毕达哥拉斯、欧几里 得等仅得到了这个公式的几种特殊情况 ，直到3世纪的丢番图才取得相近的结 果，这已比《九章算术》晚约3个世纪 了。
九章算术中的数列
例1.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国 数学的古典名题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿， 大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小 鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？
代数法：假设x天后两鼠相遇，则
1 2
2x
1
1 2
1 2x
5
例1按题意改为：假设两只老鼠打洞2天，则 仍差0.5尺，不能把墙打穿；假设打洞3天， 就会多出3.75尺。问何日相逢，各穿几何？
《பைடு நூலகம்章算术》中的立体
例3.如图，在堑堵ABCA1B1C1中AC⊥BC (1)求证:四棱锥BA1ACC1为阳马;
(2)求该堑堵外接球的体积;
《九章算术》中的立体
(1)证明:由堑堵ABCA1B1C1的性质知:A1ACC1为矩形 ∵A1A⊥底面ABC,BC⊂平面ABC， ∴BC⊥A1A,又BC⊥AC，