相交线平行线专题证明

平行线与相交线的性质推导与证明平行线和相交线是几何中常见的概念，它们之间存在一些有趣的性质和定理。

本文将推导和证明平行线和相交线的性质，以及相关的定理。

1. 平行线的性质推导与证明在几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

接下来我们将推导平行线的性质，并给出相应的证明。

性质1：平行线具有传递性。

即若直线l1与l2平行，直线l2与l3平行，则直线l1与l3平行。

证明：设直线l1与l2平行，直线l2与l3平行。

可以假设直线l1与直线l3不平行，并且在某一点O处相交。

由于直线l1与直线l3不平行，所以在点O处有两条直线通过。

设通过点O的直线分别为m1和m2，其中直线m1与l1平行，直线m2与l3平行。

根据平行线的定义，直线m1与直线m2是平行的。

又根据平行线与相交线的性质，直线m1与直线l2平行，直线m2与直线l2平行。

因此，直线m1与直线l2、直线l2与m2平行。

然而，这与已知条件直线l1与l2平行，l2与l3平行产生矛盾。

因此，直线l1与l3必须平行。

于是我们证明了平行线的传递性。

2. 相交线的性质推导与证明相交线是指在同一个平面内相交于一点的两条非重合直线。

下面我们将推导相交线的性质，并给出相关的证明。

性质2：相交线的对顶角相等。

即相交线AB和CD形成的对顶角α与β相等。

证明：考虑平面内有两条相交线AB和CD，它们相交于点O。

接下来，我们需要证明∠AOC = ∠DOG，即角α = β。

通过点O分别作OA、OC和OD三条射线，构成△AOC和△COD。

根据△AOC和△COD的对应边分别平行，我们可以得出△AOC与△COD相似。

根据相似三角形的性质，两个相似三角形中对应角度相等。

因此，∠AOC = ∠COD，即角α = β。

因此，我们证明了相交线的对顶角相等的性质。

3. 平行线与相交线的定理在了解了平行线和相交线的性质之后，我们可以推导一些重要的定理，这些定理在几何证明中起到重要的作用。

平行线与相交线的证明平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着一些有趣的性质和定理。

本文将探讨平行线与相交线之间的关系，并给出相关证明。

1.平行线的定义在平面几何中，两条直线如果在同一平面内无论延长多远都不会相交，那么它们被称为平行线。

常用符号表示为：∥。

2.相交线的定义两条直线在同一平面内相交于一点，则这两条直线被称为相交线。

3.平行线与相交线之间的性质（1）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的对应角是相等的。

证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。

A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC=∠BCA，我们假设∠BAC=α，∠BCA=β。

由平行线l和m的性质可知，∠BAC与∠ACB是同位角，同位角相等，即α=∠ACB。

又∠BAC与∠BCA是内错角，内错角相等，即α=β。

综上所述，根据角的性质，得证∠BAC=∠BCA。

（2）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的内错角之和等于180°。

证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。

A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC+∠BCA=180°，根据前述证明可知∠BAC=∠BCA=α。

根据角的定义，可知α+α=180°。

通过简单的运算得到2α=180°，即α=90°。

综上所述，根据角的性质，得证∠BAC+∠BCA=180°。

通过以上证明可以得出，平行线与相交线之间存在着一些重要的性质和定理，这些性质和定理在几何学中具有重要的应用。

深入理解这些性质和定理，有助于我们更好地理解和解决与平行线和相交线相关的问题。

总结：本文通过证明的方法，阐述了平行线与相交线的性质和定理。

通过证明我们可以得出两条平行线与一条相交线的角度关系和内错角之和等于180°的结论。

这些定理和性质在几何学中起着重要的作用，并且可以应用到实际问题中。

平面几何中的相交线与平行线问题相交线与平行线问题是平面几何中一个重要的概念和研究领域。

在这篇文章中，我们将深入探讨相交线与平行线的定义、性质以及相关的定理和应用。

一、相交线与平行线的定义与性质相交线是指在平面上相交于一点的两条线段或直线。

而平行线则是指在平面上没有交点的两条线段或直线。

根据相交线与平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 相交线的交点是两条线段或直线共有的点，每条线段或直线上至少包含一个相交点。

2. 平行线没有交点，它们保持相互平行的方向和距离。

3. 相交线可以分为不同的情况，包括交叉相交、垂直相交和斜相交等。

二、相交线的定理与应用1. 垂直相交线定理：如果两条相交线互相垂直，则它们的交点形成的四个角都是直角。

应用：垂直相交线定理常被用于证明角的性质，求解垂线的长度等问题。

2. 对顶角定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的对顶角相等。

应用：对顶角定理常用于证明平行线相关的性质，如证明线段平分角等问题。

3. 逆定理：如果两条线段或直线的对内各角相等，则它们是平行线。

应用：逆定理可以用于证明线段或直线的平行性，是构造平行线的重要方法。

4. 直线平行定理：如果一条直线与两条平行线分别相交, 则这两条交线的对立内角相等。

应用：直线平行定理常用于证明平行线相关的性质，如证明角的相等性等问题。

5. 重复定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的內角是180度的倍数。

应用：重复定理可用于证明角的性质，判断线段或直线的平行性等问题。

三、平行线的定理与应用1. 外角定理：如果一条直线与另两条直线成相交状况，则这两条直线是平行线。

应用：外角定理是补充角定理的重要应用之一，常被用于证明平行线性质或解决平行线相关问题。

2. 内角定理：如果一条直线与两条平行线成相交状况，则这两条直线上的对内角是对顶角，相等。

应用：内角定理可以用于证明平行线的性质，如证明线段相等、角的相等性等问题。

一、平行线之间的基本图1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点； 求证：12F AEC ∠=∠.2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？AEFD3、将题变为如下图：AB//CDABEFC此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ 4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？ABDEABEABDEA BCEDB C AFE二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．3、已知：如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。

4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.三、两组平行线构造平行四边形1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ． 求证：AB ∥CD ．AD FBEC2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ．3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。

四、证特殊角1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ．2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300，则∠PFC ＝_____．3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF.图7 图8AB CDEF1 423 (第22题)21GFEAMN A DBC b 21aE4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．4、求证：三角形内角之和等于180°．五、寻找角之间的关系1、如图2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

初中数学解题技巧如何巧妙应对平行线与相交线的证明题在初中数学中，平行线与相交线的证明题是一个相对常见且重要的考点。

正确理解与灵活应用解题技巧对于解决这类题目非常关键。

本文将就如何巧妙应对平行线与相交线的证明题进行论述。

一、证明两直线平行的常用方法1.1 通过角度关系进行证明当两条直线之间存在特殊的角度关系时，可以通过分析角的性质来判断两条直线是否平行。

常见的角度关系有三角形内角和为180度、同位角相等等。

例如，当两条直线被一条横截线所切分，且同位角相等时，可以得出两条直线平行。

1.2 利用等长线段进行证明若两条直线上存在等长线段（或者等长线段的比例关系），则可以通过分析等长线段的性质来判断两条直线是否平行。

例如，当两直线上的两对对应线段分别相等时，可以得出两条直线平行。

1.3 借助平行线的性质进行证明对于已知两组平行线的情形，可以通过利用平行线的性质，如对应角相等、内错角互补等，来推导出待证的其他平行关系。

这种方法常用于证明线段平行或三角形平行边的情形。

二、证明两条直线相交的常用方法2.1 利用角的性质进行证明两条直线相交时，通过观察相交处形成的角，可以根据角的性质来判断两条直线是否相交。

如垂直角相等、同位角等。

当两条直线上的某对同位角相等时，可以得出两条直线相交。

2.2 利用三角形内角和为180度进行证明若两条直线之间的某条直线被切割成三个或多个角，可以通过分析这些角的性质，特别是它们的和是否为180度，来判断两条直线是否相交。

2.3 利用迭代的思想进行证明当需要证明多条直线都相交于一个点时，可以运用迭代的思想。

即先证明某两条直线相交，然后再把第三条直线引入，利用已知的两条直线相交的性质推导出第三条直线也与它们相交于同一点。

三、巧用辅助线和构造在解决平行线与相交线的证明题时，巧妙运用辅助线和构造图形可以提供更多的线索与性质。

通过巧妙的构造，可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易得到证明的结果。

罗氏几何平行线相交证明罗氏几何是一种基于平行线的几何学体系，其中平行线的相交证明是其中一个基本的定理。

在这篇文章中，我们将重点讨论罗氏几何的平行线相交证明，并尽量以人类的视角进行叙述，使读者更容易理解和接受。

让我们定义一些基本概念。

在罗氏几何中，平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。

相交是指两条直线在同一点上相遇。

这两个概念是理解平行线相交证明的关键。

现在，我们开始证明平行线相交的定理。

假设有两条平行线l1和l2，我们要证明它们相交。

我们需要找到这两条平行线上的一对相等的内角。

在同位角的定义下，这两条平行线上的内角是相等的。

通过观察，我们可以发现这一点。

让我们假设角A和角B分别是平行线l1和l2上的内角，在同位角的定义下，我们可以得出结论角A等于角B。

接下来，我们需要找到一条与平行线l1和l2相交的第三条直线。

我们可以通过构造一条与这两条平行线相交的直线来实现这一点。

让我们称这条直线为l3。

现在，我们来看一下三角形ABC，其中角A等于角B。

根据几何学的基本原理，我们知道在一个三角形中，两个角度相等则对应的两条边也是相等的。

所以，我们可以得出结论边AC等于边BC。

现在，我们进一步观察三角形ABC。

由于边AC等于边BC，而角A 等于角B，根据几何学的基本原理，我们可以得出结论三角形ABC 是一个等腰三角形。

接下来，我们来看一下等腰三角形ABC中的角C。

由于等腰三角形的定义，我们知道角C是等于角A和角B的。

而我们已经得出结论角A等于角B，所以角C也等于角A和角B。

现在，我们回到平行线l1和l2的问题上。

我们已经证明了在等腰三角形ABC中，角C等于角A和角B。

而角A和角B是平行线l1和l2上的内角，所以我们可以得出结论角C也是平行线l1和l2上的内角。

我们来看一下在平行线l1和l2上的两个内角角C和角A。

我们已经证明了这两个角度是相等的。

根据几何学的基本原理，如果两个角度相等，那么它们所对应的两条边也是相等的。

平行线与相交线的性质推导平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在一些重要的性质关系。

在本文中，我们将推导并探讨平行线与相交线之间的性质。

1.平行线的性质首先，我们来研究平行线的性质。

平行线是指在同一个平面内永不相交的两条线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下定理：定理1：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且这两条交线都与第三条直线的某一边形成同侧内角，则这两条直线是平行线。

证明：假设有两条直线AB和CD与直线EF相交，且∠ABC和∠DEF同侧内角。

根据同侧内角和定理，我们知道这两条交线必定是平行线。

定理2：平行线具有传递性。

如果直线AB与直线CD平行，且直线CD与直线EF平行，那么直线AB与直线EF也平行。

证明：假设直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF平行。

由于两条平行线各自都与第三条直线相交，并且它们的同侧内角相等，根据同侧内角和定理，可以得出直线AB与直线EF是平行线。

2.相交线的性质接下来，我们来探讨相交线的性质。

相交线是指在同一个平面内相交的两条线。

根据相交线的定义，我们可以得出以下定理：定理3：相交线之间的对应角相等。

在平面内，如果两条直线AB 和CD相交于点O，那么∠AOB与∠COD对应角相等，∠BOC与∠AOD对应角相等。

证明：由于直线AB和CD相交于点O，我们可以得到斜线交错定理。

两对同位角∠AOB和∠BOC、∠COD和∠AOD对应角相等。

定理4：相交线之间的交错角互补。

在平面内，如果两条直线AB 和CD相交于点O，那么∠AOB与∠COD交错角互补，∠BOC与∠AOD交错角互补。

证明：根据交错角定义，由直线AB和CD相交于点O可得交错角∠AOB与∠COD、∠BOC与∠AOD交错角互补。

综上所述，平行线与相交线之间存在许多重要的性质关系。

通过了解和应用这些性质，我们可以更好地理解和解决几何学中涉及到平行线和相交线的问题。

在实际应用中，平行线和相交线的性质也被广泛应用于建筑、工程、地理测量等领域。

321DCB A 321EDCBA《相交线与平行线》证明题专项训练B1.如图，已知AB ∥CD, ∠1=∠3, 试说明AC ∥BD.2.如图，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2,则DF 与AE 平行吗？为什么？3.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，∠COE ：∠EOD=4：5，求∠BOD 的度数.4.如图：已知AD ∥BE, ∠1=∠2, 请说明∠A=∠E 的理由.E FABC D125.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，∠A=∠F 相等吗？试说明理由.6.已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD ∥BE.7.已知,如图，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠2∶∠1＝4∶1，求∠AOF 的度数.8.如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．HG21FED CBAADBCEF1 2 3421OED CBA F9.如图，AOC∠是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与∠与BOCOE的位置关系，并说明理由．10.如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．11.如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．12.如图，已知ABC⊥于F，//DG BA交CA于∆，于D，E为AB上一点，EF BCG.求证12∠=∠.13.如图：已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD∥CE .14.如图，已知∠B=400，∠1=1400，试判断AB 与CD 是否平行？请说明理由.15.已知AB//DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD.16.已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试求∠P 的大小.17.如图，已知DF ∥AC ，∠D=∠C ，求证：∠1=∠2.18.已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．AB CDE F1 2ABC1 DEDCBAABEPF C D19.已知，如图，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N,试说明：∠1=∠2.20.如图，E 在直线DF 上，B 为直线AC 上，若∠AGB=∠EHF ，∠C=∠D ，试判断∠A 与∠F 的关系，并说明理由.21.如图，∠1=∠2，AC 平分∠DAB ，试说明：DC ∥AB.22.如图，∠ABC=∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，∠1=∠2，试说明：DE ∥FB.23.如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之.E DCBA321EDCBA24. 如图，∠ACB ＝600，∠ABC ＝500，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EF 是经过点O 且平行于BC 的直线，求∠BOC 的度数.25.已知：如图，AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4．DE 与CF 平行吗?为什么?26.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500 求：∠BHF 的度数.27.如图，AB ∥DE ，∠1＝∠ACB ，∠CAB ＝21∠BAD ，试说明AD ∥BC ．28.如图：已知AD ∥BE, ∠1=∠2, 请说明∠A=∠E 的理由.F OEC BA图15HGF E DC BA29.已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

高中几何知识解析平行线与相交线的性质在高中数学中，几何知识是学生们需要掌握的重要内容之一。

其中，平行线与相交线的性质是几何学的基础，对于解决各类平面几何问题具有重要的指导作用。

本文将从几何定义、性质推导以及应用实例等方面，对平行线与相交线的性质进行深入解析。

平行线的定义与性质首先，我们来探讨平行线的定义及其性质。

平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：平行线上的任意两条线段与一条直线的对应交角相等。

性质2：平行线与同一条直线的相交角是对应交角，且这些对应交角相等。

性质3：两条与同一条直线相交的平行线之间的对应内角相等。

性质4：平行线与同一条直线的外角互补。

通过这些性质，我们可以运用平行线的特性解决一些几何问题。

相交线的定义与性质接下来，我们来讨论相交线的定义及其性质。

相交线是指在同一个平面上相交的两条直线。

根据相交线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：相交线上任意两条线段与一条直线的对应交角相等。

性质2：相交线与同一条直线的相交角是对应交角，且这些对应交角相等。

性质3：相交线与同一条直线的内角互补。

这些性质与平行线的性质存在一些相似之处，但也有一些不同之处。

理解这些性质有助于我们更好地解决几何问题。

平行线与相交线的应用实例在实际的几何问题中，平行线与相交线的性质经常被应用。

下面，我们通过几个实例来展示它们的实际应用。

实例一：证明两条直线平行已知：直线AB与直线CD，两直线交于E点。

要求：证明AB || CD。

解法：根据相交线的性质，我们知道∠AEC = ∠BEC，又根据平行线的性质，平行线上的任意两条线段与一条直线的对应交角相等，即∠AEC = ∠BDC。

所以，∠BEC = ∠BDC，结合两个等式，我们得出∠BEC = ∠BDC，即AB || CD。

实例二：计算平行线之间的角度已知：平行线l和m被一条横切线n相交，其中∠A = 60°。

人教版七年级下册数学第5章 相交线与平行线 证明题专题训练1．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE ⊥OF ，且OA 平分⊥COE ． (1)若⊥DOE ＝50°，求⊥AOE ，⊥BOF 的度数．(2)设⊥DOE =α，⊥BOF =β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 把⊥AOC 分成两部分，且⊥AOE ⊥⊥EOC ＝2⊥3，OF 平分⊥BOE ． (1)若⊥BOD ＝65°，求⊥BOE ．(2)若⊥AOE ＝12⊥BOF ﹣10°，求⊥COE ．3．已知如图，直线AB 、直线CD 相交于点O ，OE 是AOD ∠内的一条射线，且OE CD ⊥，:1:2AOE AOC ∠∠=． (1)求BOD ∠的度数；(2)如图2，射线OM 平分AOD ∠，射线ON 在BON ∠内部，且23BON BOM ∠=∠，求DON ∠的度数．4．如图，⊥1+⊥2＝180°，⊥C ＝⊥D ．求证：AD ⊥BC ．5．如图，FCG B ∠=∠，180DEF D +=︒∠∠，则AB 与EF 平行吗？为什么？6．已知，如图，ABC ADC ∠=∠，BF 、DE 分别平分ABC ∠与ADC ∠，且13∠=∠．求证：//AB DC ．7．如图，点A 在CF 上，46BAF ∠=︒，136ACE ∠=︒，CE DG ⊥于点C ．问 //DG AB 吗？为什么？8．如图，//AB CD ，//CD EF ，//BC ED ，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠和E ∠的度数．9．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，60B ∠=︒，45E ∠=︒，75AFD ∠=︒．求证：//AE BC ．10．如图，已知180BAD ADC ∠+∠=︒，AE 平分BAD ∠，交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，DG 交BC 的延长线于点G ，CFE AEB ∠=∠． (1)若87B ∠=︒，求DCG ∠的度数；(2)AD 与BC 是什么位置关系？请说明理由；(3)若DAB α∠=，DGC β∠=，直接写出α，β满足什么数量关系时AE DG ∥．11．如图，已知射线AM ⊥BN ，连结AB ，点C 是射线BN 上的一个动点（与点B 不重合），AD ，AE 分别平分⊥BAC 和⊥CAM ，交射线BN 于点D ，E ． (1)试说明：⊥ACB ＝2⊥AEB ；(2)若⊥ADB ﹣⊥BAD ＝45°，求⊥AEB 的度数．12．如图所示，点B 、E 分别在AC 、DF 上，BD 、CE 均与AF 相交，A F ∠=∠，C D ∠=∠，求证：12∠=∠．13．如图，⊥ENC +⊥CMG =180°，AB ⊥CD ． （1）求证：⊥2=⊥3．（2）若⊥A =⊥1+70°，⊥ACB =42°，则⊥B 的大小为______．14．已知：如图，ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，EF 交DC 于点F ，32180∠+∠=︒ ，1B ∠=∠． （1）求证：∥DE BC ；（2）若DE 平分ADC ∠，33B ∠=∠，求2∠的度数．15．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE BC ∥，30DBE ∠=︒，25EBC ∠=︒，求BDE ∠的度数．16．如图，已知,A ADE C E ∠=∠∠=∠． （1）若3,EDC C ∠=∠求C ∠的度数； （2）求证：//BE CD ．17．已知：如图，CDG B ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点F ，试判断1∠与2∠的关系，并说明理由．(写出推理依据)18．已知：如图，⊥BAP+⊥APD =180°，⊥1 =⊥2.求证：AE⊥PF．19．如图，AE⊥BC，FG⊥BC，⊥1＝⊥2，求证：AB⊥CD．20．如图，AB⊥DE，C为BD上一点，⊥A＝⊥BCA，⊥E＝⊥ECD，求证：CE⊥CA．21．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分⊥ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，⊥BAF＝⊥EDF(1)求证：⊥DAF＝⊥F；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与⊥CED互余的角．22．已知AB⊥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究⊥BED与⊥B，⊥D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究⊥CDE与⊥B，⊥E的数量关系，并说明理由．参考答案：1．解：⊥⊥DOE=50°，⊥⊥COE=180°-⊥DOE=180°-50°=130°，⊥OA平分⊥COE，⊥⊥AOE=12⊥COE=12×130°=65°，⊥OE⊥OF，⊥⊥EOF=90°，⊥⊥BOF=180°-⊥AOE-⊥EOF=180°-65°-90°=25°；(2)解：⊥⊥DOE=α，⊥⊥COE=180°-⊥DOE=180°-α，⊥OA平分⊥COE，⊥⊥AOE=12⊥COE=12（180°-α）=90°-12α，⊥OE⊥OF，⊥⊥EOF=90°，⊥⊥BOF=β=180°-⊥AOE-⊥EOF=180°-（90°-12α）-90°=12α，即α=2β．2．解：⊥⊥AOC与⊥BOD是对顶角，⊥⊥AOC=⊥BOD=65°．⊥⊥AOE：⊥EOC=2：3，⊥⊥AOE=25⊥AOC=26°．⊥⊥BOE=180°-⊥AOE=180°-26°=154°；(2)解：设⊥AOE=2x，⊥EOC=3x．⊥⊥AOE=12⊥BOF-10°，⊥⊥BOF=4x+20°．⊥OF平分⊥BOE，⊥⊥BOE=2⊥BOF=8x+40°．⊥⊥AOE +⊥BOE =2x +8x +40°=180°． ⊥x =14°． ⊥⊥COE =3x =42°． 3．解：⊥OE ⊥CD ， ⊥⊥COE =90°， ⊥⊥AOE :⊥AOC =1:2， ⊥⊥AOC =90°×23=60°，⊥⊥BOD =⊥AOC =60°； (2)由（1）可知：⊥BOD =60°，⊥⊥AOD =180°-⊥BOD =180°-60°=120°， ⊥OM 平分⊥AOD ， ⊥⊥AOM =12 ×120°=60°，⊥⊥BOM =180°-⊥AOM =180°-60°=120°， ⊥⊥BON =23 ⊥BOM =23×120°=80°，⊥⊥DON =⊥BON -⊥BOD =80°-60°=20°． 4．证明：⊥⊥1+⊥2＝180°，⊥2+⊥AED ＝180°， ⊥⊥1＝⊥AED ， ⊥DE ⊥AC ， ⊥⊥D ＝⊥DAF ， ⊥⊥C ＝⊥D ， ⊥⊥DAF ＝⊥C ， ⊥AD ⊥BC ． 5．解：AB 与EF 平行， 理由：⊥FCG B ∠=∠， ⊥//AB DC ，⊥180DEF D +=︒∠∠， ⊥//EF DC ，6．证明：BF ，DE 分别平分ABC ∠与ADC ∠21ABC ∴∠=∠，22ADC ∠=∠ ABC ADC ∠=∠ 12∠∠∴=13∠=∠23∴∠=∠//AB CD ∴．7．解：//DG AB ，理由如下． ⊥CE CD ⊥， ⊥90DCE ∠=︒， ⊥136ACE ∠=︒，⊥36013690134ACD ∠=︒-︒-︒=︒， ⊥46BAF ∠=︒，⊥180********BAC BAF ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥ACD BAC ∠=∠， ⊥//DG AB ． 8．//AB CD ，//CD EF ，////AB CD EF ∴，70C B ∴∠=∠=︒，E D ∠=∠，又//BC DE ， 180C D ∴∠+∠=︒，⊥⊥D =110°，110E ∴∠=︒．答：C ∠，D ∠和E ∠的度数分别是70︒、110︒、110︒． 9．解：由直角三角板的性质可得： ⊥C=30°，⊥⊥AFD=⊥C+⊥CDF=75°，⊥⊥CDF=⊥E ， ⊥AE⊥BC ． 10．解：⊥180BAD ADC ∠+∠=︒， ⊥AB CD ∥， ⊥87B DCG ∠=∠=︒． (2)解：AD 与BC 是的位置关系为：AD BC ∥，理由如下： ⊥AE 平分BAD ∠， ⊥BAE DAE ∠=∠， ⊥180BAD ADC ∠+∠=︒， ⊥AB CD ∥， ⊥BAE CFE ∠=∠， ⊥AEB CFE ∠=∠， ⊥⊥AEB =⊥BAE =⊥DAE ， ⊥AD BC ∥． (3)解：α与β的数量关系为：12αβ=，理由如下：当AE DG ∥时，AEB DGC β∠=∠=，由(2)中推导可知，1122AEB EAD BAD α∠=∠=∠=，⊥12αβ=． 11．解：⊥AE 平分⊥CAM2.CAM EAM ∴∠=∠,AM BN ∥,.CAM ACB EAM AEB ∴∠=∠∠=∠2.ACB AEB ∴∠=∠(2) 解：,AM BN ∥,.CAM ACB ADB DAM ∴∠=∠∠=∠⊥AD 平分⊥BAC.BAD CAD ∴∠=∠45,ADB BAD ︒∠-∠=45.DAM CAD ︒∴∠-∠= 45.CAM ACB ︒∴∠=∠= 由（1）知，2,ACB AEB ∠=∠22.5.AEB ︒∴∠= 12．证明：⊥A F ∠=∠， ⊥AC DF ∥， ⊥ABD D ∠=∠， 又⊥C D ∠=∠， ⊥ABD C ∠=∠， ⊥DB CE ∥， ⊥13∠=∠， ⊥23∠∠=， ⊥12∠=∠． 13．（1）证明：⊥⊥ENC +⊥CMG =180°，⊥CMG =⊥FMN ， ⊥⊥ENC +⊥FMN =180°， ⊥FG ⊥ED ， ⊥⊥2=⊥D ， ⊥AB ⊥CD ， ⊥⊥3=⊥D ， ⊥⊥2=⊥3；（2）解：⊥AB ⊥CD ，⊥⊥A +⊥ACD =180°，⊥⊥A =⊥1+70°，⊥ACB =42°，⊥⊥1+70°+⊥1+42°=180°，⊥⊥1=34°，⊥AB ⊥CD ，⊥⊥B =⊥1=34°．故答案为：34°．14．解：（1）⊥32180∠+∠=︒，⊥2+⊥DFE ＝180°， ⊥⊥3＝⊥DFE ，⊥EF //AB ，⊥⊥ADE ＝⊥1，又⊥1B ∠=∠，⊥⊥ADE ＝⊥B ，⊥DE //BC ，（2）⊥DE 平分ADC ∠，⊥⊥ADE ＝⊥EDC ，⊥DE //BC ，⊥⊥ADE ＝⊥B ，⊥33B ∠=∠⊥⊥5+⊥ADE +⊥EDC ＝3B B B ∠+∠+∠＝180°， 解得：36B ∠=︒，⊥⊥ADC ＝2⊥B ＝72°，⊥EF //AB ，⊥⊥2＝⊥ADC ＝180°－108°＝72°，15．解：⊥30DBE ∠=︒，25EBC ∠=︒，⊥⊥ABC =⊥DBE +⊥EBC =55°，⊥DE ⊥BC ，⊥⊥BDE +⊥ABC =180°，⊥⊥BDE =180°-⊥ABC =125°．16．（1）A ADE ∠=∠，//ED AC ∴，180EDC C ∴∠+∠=︒．3EDC C ∠=∠ ，3180C C ∴∠+∠=︒，45C ∴∠=︒ ；（2）A ADE ∠=∠，//ED AC ∴，ABE E ∴∠=∠．C E ∠=∠，ABE C ∴∠=∠，//BE CD ∴ ．17．CDG B ∠=∠DG AB ∴1DAB ∴∠=∠ 又AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点FAD EF ∴2DAB ∴∠=∠12∠∠∴=18．证明：⊥⊥BAP +⊥APD =180°⊥AB⊥CD⊥⊥BAP=⊥CPA⊥⊥1 =⊥2⊥⊥BAP-⊥1=⊥CPA-⊥2，即⊥EAP=⊥FPA ⊥AE⊥PF19．证明：如图，设BC 与AE 、GF 分别交于点M 、N.⊥AE⊥BC，FG⊥BC，⊥⊥AMB=⊥GNB=90°，⊥AE⊥FG，⊥⊥A=⊥1；又⊥⊥2=⊥1，⊥⊥A=⊥2，⊥AB⊥CD．20．证明⊥AB⊥DE，⊥⊥B＋⊥D＝180°，⊥⊥A＝⊥BCA，⊥E＝⊥ECD，⊥⊥B＝180°－2⊥BCA，⊥D＝180°－2⊥ECD，⊥(180°－2⊥BCA)＋(180°－2⊥ECD)＝180°，⊥⊥BCA＋⊥ECD＝90°，⊥⊥ACE＝90°，⊥CE⊥CA.21．解：（1）⊥AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，⊥⊥B+⊥C＝180°，⊥AB⊥CF，⊥⊥BAF+⊥F＝180°，又⊥⊥BAF＝⊥EDF，⊥⊥EDF+⊥F＝180°，⊥ED⊥AF，⊥⊥ADE＝⊥DAF，⊥EDC＝⊥F，⊥DE平分⊥ADC，⊥⊥ADE＝⊥CDE，⊥⊥DAF＝⊥F；（2）⊥⊥C＝90°，⊥⊥CED+⊥CDE＝90°，⊥⊥CED与⊥CDE互余，又⊥⊥ADE＝⊥DAF＝⊥EDC＝⊥F，⊥与⊥CED互余的角有⊥ADE，⊥CDE，⊥F，⊥FAD．22．解：(1)⊥B＝⊥BED＋⊥D.理由如下：过点E作EF⊥AB.又⊥AB⊥CD，⊥EF⊥AB⊥CD.⊥⊥BEF＝⊥B，⊥D＝⊥DEF.⊥⊥BEF＝⊥BED＋⊥DEF，⊥⊥B＝⊥BED＋⊥D.(2)⊥CDE＝⊥B＋⊥BED.理由如下：过点E作EF⊥AB.又⊥AB⊥CD，⊥EF⊥AB⊥CD.⊥⊥B＋⊥BEF＝180°，⊥CDE＋⊥DEF＝180°.又⊥⊥DEF＝⊥BEF－⊥BED，⊥⊥CDE＋⊥BEF－⊥BED＝⊥B＋⊥BEF，即⊥CDE＝⊥B＋⊥BED.。

罗巴切夫斯基平行线相交证明罗巴切夫斯基的平行线理论可真是个让人脑洞大开的东西。

大家都知道，平行线就是那种永远不会相交的线，像两条兄弟，走在同一条路上，永远不分开。

但是，罗巴切夫斯基却偏偏要在这上面来个大反转，仿佛在告诉我们，世事无常，什么都可能发生。

嘿，听起来是不是很有意思？想象一下，在一个奇妙的世界里，平行线居然也能相交，简直颠覆了我们对几何的认知。

这个理论的起源可是跟几个数学家的争论有关系，真是充满戏剧性。

想象一下，几个老爷子围坐在一起，争论得不可开交，结果罗巴切夫斯基像个调皮的小孩，突然冒出一句：“嘿，为什么平行线一定不能相交呢？”这句话简直像一颗石子扔进平静的湖面，激起了层层涟漪。

他的想法就像是一扇窗，打开了人们对几何的新视野。

很多人可能会想：“这小子到底在想什么？”可正是这种与众不同的思维，让他成为了数学史上的一颗璀璨明珠。

在罗巴切夫斯基的理论中，空间的概念被重新定义。

他引入了一个叫做“非欧几何”的新概念，这可不是随便说说的。

想象一下，你在一个球体的表面上行走，你的每一步都可能与其他的路径相交，仿佛在做一场无尽的探险。

这种感觉就像是走在一条没有尽头的迷宫，时而兴奋，时而迷失。

平行线在这样的世界里不再是孤独的存在，而是可以交汇、碰撞，甚至拥抱，真是个让人兴奋的想法，对吧？想想看，罗巴切夫斯基的这个理论在实际生活中有啥用。

比如说，导航系统、宇宙探索，甚至是我们平常的建筑设计，都是在用这套理论来运作的。

哇，这可不是开玩笑！想象一下，如果没有这些概念，我们可能连看个地图都得费老大劲。

这就像你在黑暗的房间里找灯开关，摸索了半天才找到，真是让人心累。

罗巴切夫斯基的理论不仅是对几何的重新诠释，更是对我们思维的挑战。

它教会我们不要局限于传统的框框架架，要勇于打破常规，去探索未知。

生活就像一条曲折的道路，充满了意外和惊喜。

就像老话说的，“不入虎穴，焉得虎子”，如果不去挑战那些看似不可能的事情，我们永远都不知道自己能达到什么样的高度。

平行线有关证明范文平行线是指在同一个平面上没有任何交点的两条直线。

在数学中，有一些经典的平行线性质可以通过证明来得到。

下面将介绍其中几个较为常见和重要的平行线性质的证明。

1.在一个平面内，如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线也必然相交。

证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F。

为了证明EF与BD不相交，我们假设它们相交，交点为G。

因为EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：BE/EA=BG/GF。

又因为EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：FD/DE=FG/GC。

我们将上面的两个等式相加，得到：(BE/EA)+(FD/DE)=(BG/GF)+(FG/GC)。

因为AB和CD是平行线，所以根据平行线的定义，BE/EA=FD/DE，所以上面的等式可以化简为：2(BE/EA)=2(BG/GF)。

由于左右两边相等，我们可以得到BE/EA=BG/GF。

根据相交线段定理，这意味着EF与BD平行，与我们的假设相矛盾。

因此，EF与BD不相交，证明了EF与BD平行。

2.平行线之间的夹角等于与这两条平行线相交的直线上所夹的对应角。

证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F，交线与AB、CD的交点分别为G和H。

与AG、CF平行的直线分别为JK和LM，交线与JK、LM交点为N。

我们需要证明∠EFG=∠JMH。

首先，根据平行线性质可知，∠FDC=∠HDC，∠DAF=∠GAF。

同理，根据平行线性质可知，∠EAB=∠GAB，∠CEF=∠CEF。

由于EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(BE/EA)=(BF/FA)。

同理，EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(DF/DC)=(DE/EC)。

由于和之前的证明过程相同，我们可以得到：(BE/EA)=(DF/DC)。

根据等比例线段定理，我们可以得到：BF/FA=DF/DC。