五校联考高三数学试卷

江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省五校协作体2025届高三第三次测评数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-2．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．323．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．236．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④7．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆8．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月9．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]411．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53412．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=() A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-，B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣6．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π8．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．23D ．16312．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B =I （ ） A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2．将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．1CD ．－13．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=4．“11a -<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =-+的值域为R ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求cos β=（ ） A ．12 B ．3998 C ．5998 D ．71986．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒7．在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）A ．0.515B ．0.05C ．0.0495D ．0.0485 8．已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多选题9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+u u u r u u u r u u u u r ，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D ．当λμ=时，1||||DP A P +u u u r u u u r三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B ===U ∣，则()P A =．13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13⎡⎤-=-=⎣⎦，若函数()2521x x f x +=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为. 14．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是四、解答题15．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2A B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若3b =，BC 边上的高为7ABC 的周长． 16．如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；(2)设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.17．设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 18．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .(1)求证：CD EF ∥；(2)若CD EF =，求二面角A BC F --的余弦值.19．已知函数()1ln f x x a x x=--. (1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑.。

2025届高中毕业班五校联考模拟检测高三数学（答案在最后）2024.11本试卷共19题满分150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是A.(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B.(0)(0.5)(0.6)f f f <-<C.(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D.(0.5)(0)(0.6)f f f -<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】由2,()cos ()x R f x x x f x ∈-=-=得函数()2cos f x x x =-为偶函数，当(0,2x π∈时，()2sin 0f x x x '=+>，所以()2cos f x x x =-在(0,2π上单调递增，即(0)(0.5)(0.5)(0.6)f f f f <=-<.故选：B ．2.已知函数()()2224x x f x x x a ee --+=--+有唯一零点，则a =（）A.12-B.-2C.12D.2【答案】B【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】因为函数()()2222224(2)()4x x x x f x x x a ee x a e e --+--+=--+=--+-，所以()242424(42)()4()x x f x x a ee f x ---+-=---+-=，所以()f x 的图象直线关于2x =对称，函数()f x 有唯一零点，则必有(2)0f =，即420a --=，解得2a =-.故选：B【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.3.正项等比数列{}n a 中，28,a a 是方程210160x x -+=的两根，则25log a 的值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解.【详解】由题意得2816a a =，所以()2425252282211111log log log log 16log 24222222a a a a =====⨯=.故选：A.4.设全集是R ，集合1|01A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{|B x y ==，则R A B = ð（）A.[-2,1]B.(2,)+∞C.(1,2]D.(,2)-∞-【答案】B 【解析】【分析】化简集合,A B ，按补集和交集定义，即可求解.【详解】1|0(1,)1A x x ⎧⎫=>=+∞⎨⎬-⎩⎭，{|[2,2]B x y ===-，(,2)(2,)R C B =-∞-+∞ ，R (2,)A B =+∞ ð.故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题.5.下列关系中，正确的有（）A.∅{}0 B.{}(){}0,10,1= C.∈Q ZD.{}{}00,1,2∈【答案】A 【解析】【分析】利用集合与集合的基本关系判断.【详解】A.空集是任何非空集合的真子集，故正确；B.{}0,1的元素为0,1，(){}0,1的元素为()0,1，故错误；C.因为Z Q ⊆，故错误；D.因为{}0{}0,1,2，故错误故选：A6.设,x y ∈R ，则“1xy x y +=+”是“1x =”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由1xy x y +=+得到1x =或1y =，再利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】由1xy x y +=+可得()11x y y -=-，所以1x =，或1y =，所以“1xy x y +=+”等价于“1x =，或1y =”，所以“1xy x y +=+”是“1x =”的必要不充分条件，故选：C.7.若函数()af x x =的图象经过点()8,2，则()1f -的值为（）A.1B.1- C.0D.2【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义解出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f -即可.【详解】由题意知，函数()f x 图象过点(8)，2，所以28a =，即322a =，则13a =，得13a =，所以13()f x x =，有13(1)(1)1f -=-=-.故选：B8.设()f x 是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时，()f x 等于A.(1)x x +B.(1)x x -+ C.(1)x x - D.(1)x x --【答案】C 【解析】【详解】试题分析：当0x <时0x ->()()1f x x x ∴-=--，由函数为奇函数可得()()f x f x -=-()()()()11f x x x f x x x ∴-=--∴=-故选：C考点：奇偶性求函数解析式二、多选题9.已知0x >，0y >，且1x y +=，则（）A.122x y->B.22log log 2x y +≤- C.D.2212x y +≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知1x y +=，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如211x y x -=->-，()22222112212x y x x x x +=+-=-+≥，当然也可以用均值不等式求最值，如()222log log 2x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2x y x y x y =+++++.【详解】选项A ：因为0x >，0y >，1x y +=，所以211x y x -=->-，所以122x y->，故A 正确．选项B ：()2222221log log log log log 224x y x y xy +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B 正确．选项C ：22x y x y x y =+++++=≤，当且仅当12x y ==时取等号，故C 错误．选项D ：()22222211112212222x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（另解：()2221122x y x y +≥+=，当且仅当12x y ==时取等号）,故D 正确．故选:ABD.10.如图，平面四边形ABCD 是由正方形AECD 和直角三角形BCE 组成的直角梯形，AD ＝1，π6CBE ∠=，现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成1ACD △（1D 不在平面ABC 内），若P 为BC 的中点，则在Rt ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（）A.1AD 与BC 可能垂直B.三棱锥1C BD E -体积的最大值为4C.若A ，C ，E ，1D 都在同一球面上，则该球的表面积是2πD.直线1AD 与EP 所成角的取值范围为ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项：根据线面垂直的判断定理，由11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，1AD ⊥平面1BCD ，则1AD BC ⊥；对于B 选项：取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，根据11C BD E D BCE V V --=，则平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，从而可判断；对于C ，根据1OE OD OA OC ===，可得1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为OC ，从而可判断；对于D 选项：由1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD 与EP 所成角的取值范围.【详解】对于A 选项：由AD CD ⊥，则11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，且1D B AB <，此时满足1AD ⊥平面1BCD ，因此1AD BC ⊥，故A 正确；对于B ，取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，则12OE OD OA OC ====，且1OD AC ⊥，因为11C BD E D BCE V V --=，当平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，在Rt BCE 中，π,16CBE CE ∠==，则BE =，此时111126132212C BDE D BCE V V --==⨯⨯=，所以三棱锥1C BD E -体积的最大值为612，故B 错误；对于C ，因为12OE OD OA OC ====，所以1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为2，所以该球的表面积是24π2π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，作AM EP ∥，因为P 为BC 的中点，所有1EP =，EP BE BPAM AB BM ==，所以33AM BM +==，所以30BAM ABC ∠=∠=︒，所以15MAC ∠=︒，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，所以AC 与1AD 夹角为45︒，AC 与AM 夹角为15︒，又1D 不在平面ABC 内，604515︒=︒+︒，304515︒=︒-︒，所以1AD 与DM 所成角的取值范围ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD .11.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则（）X－112P a b c112A.a ＝512B.b ＝14C.c ＝14D.P (X ＜1)＝23【答案】ABCD 【解析】【分析】利用分布列的性质、方差与期望关系求参数a 、b 、c ，即可判断各选项的正误.【详解】由21()3E X a c =++，而E (X )＝0，则221()()[()]3D XE X E X a c =-=++，由题设有1112106113a b c c a a c ⎧+++=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎪⎩，可得5121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故A 、B 、C 正确；而2(1)(1)(0)3P X P X P X <==-+==，D 正确.故选：ABCD三、填空题12.已知:42p x -<<-，:q x a £，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，从而可得出答案.【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.13.某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>，且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.①食品在08C 的保鲜时间是小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间__________.（填“是”或“否”）【答案】①4②是【解析】【详解】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.∴46216k +=，即464k +=，解得12k =-，∴16264,0{2,0x x t x -+≤=>，当8x =时，4t =，故①该食品在08C 的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故答案为是.考点：1、函数模型的选择与应用；2、分段函数的解析式.14.已知方程22224230x y m x y m m ++++-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是______．半径R 的最大值为______．【答案】①.()1,4-②.52【解析】【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数m 的取值范围即可；再由2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭≤，进而求出半径R 的最大值即可.【详解】由题意知：()()222234x m y m m +++=-++，所以2340,14m m m -+->-<<，所以m 的取值范围为()1,4-；由因为2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤，当且仅当32m =时，max 52R ==.故答案为：()1,4-；52.四、解答题15.化简，求值：（1）3228sin cos cos i 3228s n + ；（2）已知3tan 4α=，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）sin 20sin 40cos 20cos 40- .【答案】（1）2；（2）7；（3）12-.【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式即可求解；（2）利用两角和的正切公式即可求解；（3）逆用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）()332283228sin 3s 228sin 60in cos cos s 2in +=+==（2）π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 1144ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-⨯，（3）sin 20sin 40cos 20cos 40-()cos 20cos 40sin 20sin 40=--()1cos 2040cos 602=-+=-=-16.（1）已知4cos 5α=-，α在第二象限，求sin α，tan α的值；（2）已知tan 2α=-，求sin cos sin 3cos αααα+-的值；【答案】（1）3sin 5α=，3tan 4α=-；（2）15【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；（2）弦化切即可.【详解】（1）∵4cos 5α=-，α在第二象限，∴3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-；（2）由sin tan 2cos ααα==-，所以sin cos tan 1211sin 3cos tan 3235αααααα++-+===----.17.已知()()()25π3πsin cos tan π22πcos sin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若()2f α=，求2sin 3sin cos ααα-的值．【答案】（1）()tan f αα=（2）25-【解析】【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.【小问1详解】()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα--===-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）易得tan 2α=，所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα---===-+++18.（1）设0,0,m n x >>=化简A =；（2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设2()2log (19),f x x x =+≤≤求()22()()g x f x f x=+的最大值与最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6.【解析】【分析】（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+-在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x ⎛-=-= ⎝，所以2,m n A m n m n -=+--故，当0m n ≥>时，m n A n -=，当0m n <<时，n m A m -=(2）()g log log log lo log log =,m m m m m m b b b a aa a m m a m ∙==∴ ，同理()l l og og m m b a b m -∙=∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m m m m m m m b a b b a a m a m m m b -∙∙⎡⎤-∙∙⎢⎥⎣⎦⋅⨯即1log log mm b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log 6log 6g x x x x x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤ ∴()233y t =+-在()20log 3，上单增，∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（）∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6.【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质.19.已知圆221:(1)9C x y ++=，圆222:(1)1C x y -+=，动圆P 与圆1C 内切，与圆2C 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为C ；（1）求C 方程；（2）若(1,0)M ，直线l 过圆1C 的圆心且与曲线C 交于A ，B 两点，求MAB △面积的最大值．【答案】（1）()221243x y x +=≠（2）3【解析】【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出P 点轨迹是椭圆，求出,,a b c 后可得轨迹方程；（2）设1,1，2,2，设直线l 方程为1x my =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由12122MAB S y y =⨯⨯- 求出面积化为m 的函数，用换元法求得最大值．【小问1详解】设动圆P 的半径为r ，∵动圆P 与圆内切，与圆2F 外切，∴13MC r =-，且21MC r =+.于是121242MC MC C C +=>=，所以动圆圆心M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆.圆1C 与2C 内切于点(2,0)，因此P 点与点(2,0)不重合，12(1,0),(1,0)C C -，从而2,1a c ==，所以23b =.故动圆圆心M 的轨迹1C 的方程为()221243x y x +=≠．【小问2详解】设1,1，2,2，设直线l 方程为1x my =-，联立方程组221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()2234690m y my +--=，则()()()222Δ6363414410m m m =-++=+>，122634m y y m +=+，122934y y m =-+．因为:1l x my =-过点()1,0-，所以12122MAB S y y =⨯⨯-=212134m ==+．令t =，1t ≥，()13f t t t =+，设121t t ≤<，则121212121212()(31)11()()330t t t t f t f t t t t t t t ---=+--=<，即12()()f t f t <，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，则当1t =时，()()min 14f t f ==，则M AB S 的最大值为3．故MAB △面积的最大值为3．【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设出直线方程为y kx b =+（或x my t =+），代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．。

五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。

2025届上海市五校联考高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=2．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．228．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．211．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．212．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。

2025届高三第一次五校联考数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月15日考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2P =，{}1,3,4Q =，则()U P Q ⋂=ð（）A.{}0 B.{}3 C.{}0,2 D.{}1,3【答案】C 【解析】【分析】根据补集与交集的定义，可得答案.【详解】由题意可得{}0,2U Q =ð，(){}0,2U P Q =⋂ð.故选：C.2.已知向量()0,2=r a ，()2,b x = ，若()2b a b -⊥ ，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x 的方程，解之即可求解.【详解】由(2)b a b -⊥，得(2)0b a b -⋅=，即220b a b -⋅=，又(0,2),(2,)a b x ==，所以222220x x +-⋅=，即2440x x -+=，解得2x =.故选：D3.a=b=b a为有理数；若a=，b=，此时33ba⎛====⎪⎝⎭为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.存在无理数a，b，使得b a为有理数C. D.对任意无理数a，b，都有b a为无理数【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断选项.【详解】这段文字中，没有证明是有理数的条件，也没有证明AC错误；这段文字，都说明了结论“存在无理数,a b，使得b a为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，故B正确；这段文字中只提及存在无理数,a b，不涉及对任意无理数,a b都成立的问题，故D错误.故选：B4.由3sin1083sin364sin36=-，可求得cos36 的值为（）A.15- B.14+ C.12- D.13+【答案】B【解析】【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于cos36 的二次方程，结合cos360> 可得出cos36 的值.【详解】因为()sin108sin18072sin722sin36cos36=-==，又因为3sin1083sin364sin36=-，则3s2isin336co3n664sin336s=-，因为sin360> ，cos360> ，则()2222cos3634sin36341cos364cos361=-=--=-，所以，24cos 362cos3610--=，解得cos36= ，故选：B.5.已知0a >且1a ≠，函数()(),log 1,x a a a x af x x a x a -⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，若存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()1,2 D.[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】分1a >、01a <<两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可.【详解】当1a >时x a y a -=单调递增，()log 1a y x a =++也单调递增，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a ->++，即log 20a a <，不等式无解；当01a <<时x a y a -=单调递减，()log 1a y x a =++也单调递减，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a -<++，log 20a a >，所以02101a a <<⎧⎨<<⎩，解得102a <<，即a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A6.已知复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，若复数z 满足1-=-z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 得周长为（）A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出,p q ，进而确定图形M 并求其周长.【详解】由复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，得1i -是该方程的另一根，则1i 1i 2,(1i)(1i)2p q -=++-==+-=，解得2,2,||4p q p q =-=-=，由1-=-z z p q ，得|(1i)|4z -+=，因此图形M 是以点(1,1)为圆心，4为半径的圆，所以M 得周长为8π.故选：D7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO ===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O ，则30,45PAO PBO ∠=︒∠=︒，60PCO ∠=︒,设山高PO h =，则,,3AO BO h CO ===，在AOC △中，cos cos ABO CBO ∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a b h b a +=-，∴h =．故选：D ．8.若()41log 1f x a b x=---是奇函数，则b a =（）A.12B.2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出a 的值，又由()()0f x f x -+=，求出b 的值，计算可得答案.【详解】根据题意，已知()41log 1f x a b x=---是奇函数，当0a =时，()41log 1f x b x=--一定不是奇函数，故0a ≠，则有101a x-≠-，且0a ≠，变形可得()()1110x a x ---≠⎡⎤⎣⎦，所以()11=0a x --的根为1-，解可得12a =，故()411log 12f x b x =---，又因为()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=，即441111log log 01212b b x x --+--=+-，即()()44112log log 02121x x b x x -+-++=+-，所以412log 04b -+=，即210b --=，故12b =-.所以1212b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知复数1322z =--，则下列说法正确的是（）A.z的虚部为i 2-B.复平面内1z z+对应的点位于第二象限C.z z z= D.20251z =【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的概念判断A ，由复数的几何意义判断B ，通过复数的运算判断CD ．【详解】z的虚部是2-，A错；1i113132212222222222z z -++=-----，对应的点是(1,0)-在x 轴上，B错；221131(i 2242422z z =--=+-=-+=，所以z z z =，C正确；311(i)(2222z =---+，所以20253675()1zz ==，D 正确．故选：CD ．10.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）：记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（）A.体力曲线P 的最小正周期是三个曲线中最大的B.第462天时，智力曲线I 处于上升期、情绪曲线E 处于下降期C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点D.存在正整数n ，使得第n 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点【答案】BC 【解析】【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断．【详解】由图象，体力P 的最小正周期是三个曲线中最小的，A 错；由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，4623314=⨯相当于[0,2π]的起点，462281614=⨯+，相当于[0,2π]的中间点，B 正确；体力周期是23，只要是33,28,23的公倍数都是它们的公共点横坐标，C 正确；智力曲线处于最高点的天数为11338.25y k =+，情绪曲线处于最高点的天数为22287y k =+，体力曲线处于最高点的天数为3323 5.75y k =+，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D 错．故选：BC ．11.已知函数e ()1xf x x =+，1x >-，()(1)e xg x x =-，1x <，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==，若a b <，c d <，则（）A.0a b +> B.0b c +< C.0c d +> D.0d a +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，可得1()()f xg x =-，利用导数结合函数图象推理判断BD ；构造函数()()()h x g x g x =--，利用导数结合函数图象推理判断AC.【详解】依题意，1()()f xg x =-，由()() 1.01f a f b ==，得11 1.01()()g a g b ==--，则10099()()()()101100g a g b g c g d -=-=>==，显然0a b <<，有0a b ->>-，而()e x g x x '=-，当0x <时，()0,()g x g x >'在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0,()g x g x <'在(0,1)上递减，函数max ()(0)1g x g ==，图象如图所示，0c b a d <-<<-<，得0,0a d b c +>+<，BD 正确；令()()()h x g x g x =--，则)()()(()e e x x h x g x g x x -'''=+-=-，当01x ≤<时，()0,()h x h x <'在[0,1)上递减；当10x -<<时，()0,()h x h x <'在(1,0]-上递减；因此当11x -<<时，()h x 单调递减，当01x ≤<时，()(0)0h x h ≤=，即()(),()()()g x g x g b g a g a <--=-<，又0,0b a -<<，则b a -<，即0a b +>，A 正确；而0,0,()()()d c g c g d g d -<<=<-，则c d <-，即0c d +<，C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由函数解析式的特征得出1()()f xg x =-是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平面四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，12CD =，14DA =，则AC BD ⋅=______.【答案】58【解析】【分析】由22()CD AD AC =- ，22()CB AB AC =- 两式相减得出AC AD AC AB AC BD ⋅-⋅=⋅．【详解】()AC BD AC AC AD AB AD A AC B ⋅=⋅-=⋅-⋅,又2222()2CD AD AC AD AC AD AC =-=-⋅+ ,2222()2CB AB AC AB AB AC AC =-=-⋅+ ，所以2222222()2CB CD AB AD AC AD AB AC AB AD AC BD -=-+⋅-⋅=-+⋅，所以2222222210141265822CB AD CD AB AC BD +--+--⋅===，故答案为：58．13.设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>的图象关于直线1x =-和2x =均对称，则()0f 的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分）【答案】1±（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）【解析】【分析】利用正弦函数的性质可得π,N 3k k ω*=∈，再利用和角的正弦可得(0)cos f ω=，进而求出其所有值即得答案.【详解】函数()sin()f x x ωϕ=+的周期2πT ω=，依题意，π3,N k k ω*⋅=∈，即π,N 3k k ω*=∈，由()f x 的图象关于直线1x =-，得sin()1,cos()0ωϕωϕ-+=±-+=，因此(0)sin sin[()]sin()cos cos()sin cos f ϕωϕωωϕωωϕωω==-++=-++-+=±πcos(N )3k k *=±∈，(0)f 的值是集合111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中元素，可以取1±.故答案为：1±，（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）14.定义在0,+∞上的函数()f x 满足()()1f x f x x +=-，当01x <≤时，()f x x =-，若()f x 在区间0,内有恰4个极大值点，则m 的取值范围是______．【答案】193401,64100⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得当()*1n x n n -<≤∈N时1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，利用导数讨论()f x 的单调性，求出极大值点2114n x n n=-+，结合45x m x <≤即可求解.【详解】(1)()f x f x x +=-,当01x <≤时，()f x x =-，当12x <≤时，()(1)(1)22f x f x x x =---=+，当23x <≤时，()(1)(1)35f x f x x x =---=+，当34x <≤时，()(1)(1)49f x f x x x =---=+，当()*1n x n n -<≤∈N 时，1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，则()f x n '=，令2211()011,()0144f x x n f x x n n n''>⇒-<<-+<⇒>-+，所以()f x 在21(1,1)4n n n --+上单调递增，在21(1,]4n n n -+上单调递减，故()f x 在(1,]n n -内有且仅有一个极大值点2114n x n n =-+，即1234511773193401,,,463664100x x x x x =====.因为()f x 在(0,)m 内有4个极大值点，则19340164100m <≤，即m 的取值范围为193401(,]64100.故答案为：193401(,]64100【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据01x <≤时的()f x x =-，归纳出()*1n x n n -<≤∈N时的1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，再利用导数研究()f x 的性质即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，2226AD DC CB AB ====，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）令AE a = ，AD b = ，用a ，b 表示BF；（2）求线段AM 的长．【答案】（1）122BF b a=-（2）AM =【解析】【分析】（1）由向量的线性运算求解；（2）利用,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，求得1133AM AB AD =+ ，同时证明ADE V 是等边三角形，然后把1133AM AB AD =+ 平方可得．【小问1详解】∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴112222BF AF AB AD AE b a =-=-=- ；【小问2详解】设AM x AB y AD =+ ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以22AM xAB y AD xAE y AD xAB y AF =+=+=+，因为,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，所以2121x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1133AM AB AD =+ ，由已知CD 与BE 平行且相等，因此CDEB 是平行四边形，所以3DE CB AD AE ====，ADE V 是等边三角形，22222111()(2)339AM AM AB AD AB AB AD AD ==+=+⋅+ 221(6263cos 603)79=+⨯⨯︒+=所以AM =．16.已知函数()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x -在5ππ[,64--上的值域．【答案】（1）π()2sin(26f x x =+；（2）[-.【解析】【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式.（2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域.【小问1详解】观察图象知，2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，且0在()f x 的递增区间内，则π6ϕ=，π()2sin()6f x x ω=+，由5π5ππ()2sin()012126f ω=+=，得5πππ,N 126k k ω*+=∈，解得122,N 55k k ω*=-∈，又12π5π412ω⋅<且12π5π212ω⋅>，解得61255ω<<，因此1,2k ω==，所以函数()f x 的解析式是π()2sin(26f x x =+.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)6f x x -=-+，当5ππ[,64x ∈--时，π2π11π2[,]636x -+∈，而正弦函数sin y x =在2π3π[,]32上单调递减，在3π11π[,]26上单调递增，于是π1sin(2)62x -≤-+≤，π22sin(2)6x -≤-+≤，所以()f x -在5ππ[,]64--上的值域为[-.17.已知函数()cos x f x x=，()1g x ax x =-．（1）函数()f x 在π2x =-处与π2x =处的切线分别为1l ，2l ，且直线1l ，2l 之间的距离为d ，求证53d >；（2）若()(){}A x f x g x ==为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析．（2）1(,0)[,)2-∞⋃+∞，【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得两切线方程，由平行线间距离公式求得距离d ，然后用分析法证明53d >；（2）转化为方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，先讨论0a =和0a <的情形，然后在0a >时引入函数2()1cos h x x ax =--，求出()sin 2h x x ax '=-，再对导函数求导，然后分21a ≥和021a <<两类，结合零点存在定理说明()h x 是否有0以外的零点，从而得出结论．【小问1详解】由已知2sin cos ()x x x f x x --'=，21()g x a x '=--，π2()2πf '-=-，π2(2πf '=-，ππ()()022f f -==，则12l l //，1l 方程为2π()π2y x =-+，即210πx y ++=，2l 方程为2π(π2y x =--，即210πx y +-=，则d =，要证53d >53>，即证6<，即210011π<，也即证211π100>，而2211π113.1103.51100>⨯=>，所以53d >成立．【小问2详解】由题意()()f x g x =无实解，即cos 1x ax x x=-无实数解，即21cos x ax -=除0以外无其它实数解，0a =时，方程为1cos 0x -=有无数解，不合题意，0a <时，1cos 0x -≥，而20ax ≤，且0x ≠时，20ax <，因此方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，0a >时，方程21cos x ax -=化为21cos 0x ax --=，设2()1cos h x x ax =--，则()sin 2h x x ax '=-，记()sin 2p x x ax =-，则()cos 2p x x a '=-，当21a ≥，即12a ≥时，()0p x '≤，()p x 是减函数，即()h x '是减函数，又(0)0h '=，所以0x <时，()0h x '>，()h x 递增，0x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max ()(0)0h x h ==，0x ≠时，()0h x <，所以方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，当102a <<时，()cos 20p x x a '=-=有无数解，设锐角α是它的解，则2π,Z x k k α=±∈，0x α<<时，()0p x '>，()p x 递增，又(0)0p =，则0x α<<时，则()0p x >，即()0h x '>，所以()h x 递增，而(0)0h =，所以()0h α>，又2(2π)1cos 2π(2π)0h a =--<，所以()h x 在(,2π)α上有一个零点，即()0h x =有不是0的根，不合题意，综上，a 取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.18.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222sin 4b c B c -+=，且2a =.（1）求sin A ；（2）求tan tan tan A B C的最大值；（3）求实数t 的取值范围，使得对任意实数x 和任意角B ，恒有()()22132sin cos sin cos 32x B B x t B t B +++++>．【答案】（1）255（2）3（3）(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理可得sin 2cos A A =，结合同角的平方关系计算即可求解；（2）由（1）得tan 2A =，进而tan tan tan()21tan tan B C B C B C++==--，结合基本不等式计算即可求解；（3）由二次函数的最小值可得2min 1()[(32sin cos )(sin cos )]2f x B B t B t B =+-+，进而转化为1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解.【小问1详解】由题意知，222sin 4b c B c -+=，2a =，则222sin b ac B c a -+=，即222sin b c a ac B +-=，又2222cos b c a bc A +-=，所以sin 2cos ac B bc A =，由0c >，得sin 2cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B B A =，由sin 0B >，得sin 2cos A A =，即1cos sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，所以221sin sin 14A A +=，由sin 0A >，解得sin 5A =.【小问2详解】由（1）知sin 2cos A A =，得tan 2A =，所以tan()tan 2B C A +=-=-，即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，所以tan 0,tan 0B C >>，得tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥当且仅当tan tan =B C 时，等号成立.解得3tan tan 2B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-，即tan tan tan A B C的最大值为3【小问3详解】令22()(32sin cos )(sin cos )f x x B B x t B t B =+++++2222[2(32sin cos )2(sin cos )](32sin cos )(sin cos )x B B t B t B x B B t B t B =++++++++，当(32sin cos )(sin cos )2B B t B t B x +++=-时，()()()min32sin cos sin cos 2B B t B t B f x f ⎡⎤+++=-⎢⎥⎣⎦22(32sin cos )(sin cos )(sin cos )(32sin cos )[][]22B B t B t B t B t B B B +-++-+=+2(32sin cos )(sin cos )2[]2B B t B t B +-+=21[(32sin cos )(sin cos )]2B B t B t B =+-+，由211[(32sin cos )(sin cos )]232B B t B t B +-+>，得21(32sin cos sin cos )16B B t B t B +-->，进而1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，因为πππ3π02444B B <<⇒<+<，所以()(πsin cos 4B B B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，由①得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+>，即7(sin cos )4(sin cos )t B B B B <+++，又7(sin cos )4(sin cos )B B B B ++≥+当且仅当7(sin cos )4(sin cos )B B B B =++即sin cos 2B B +=时，等号成立，所以t <；由②得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+<-，即9(sin cos )4(sin cos )t B B B B >+++，由对勾函数的性质知913(sin cos )4(sin cos )4B B B B ++<+，所以134t >.综上，实数t 的取值范围为(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.19.已知函数()y f x =定义域为I ，D I ⊆．若存在t D ∈，对任意x D ∈，当x t <时，都有()()f f x t <，则称t 为()y f x =在D 上的“Γ点”．（1）求函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-+-+≥在定义域上的最大“Γ点”；（2）若函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在1[]0,D =上不存在．．．“Γ点”，求a 的取值范围；（3）设*{1,2,,}()N D n n =⋅⋅⋅∈，且(1)0h =，()(1)1h x h x --≤，证明：()y h x =在D 上的“Γ点”个数不小于()h n ．【答案】（1）0；（2）2e 2log 2a ≤；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再求出其最大值点即可得解.（2）根据给定条件，将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，再利用导数分类探讨求解.（3）根据给定的定义，按“Γ点”个数为0、为1、不小于2分类，并结合累加法思想论证即可.【小问1详解】函数2()e (2)e x x f x a ax =-+-+的定义域为R ，则2()2e (2)e )(2e )(1e x x x x f x a a a '=-+-+=+-，由0a ≥，得2e 0x a +>，令()0f x '>，解得0x <；令()0f x '<，解得0x >，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，即对(,0],(,0]x t ∀∈-∞∃∈-∞，当x t <时，都有()()f f x t <，所以函数()f x 在定义域上的最大“Γ”点为0.【小问2详解】由函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在0,1上不存在"Γ点"，得()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，求导得2()ln(1)21ax g x a x x +'=++-+，令2()ln(1)2,[0,1]1ax u x a x x x +=++-∈+，求导得22(1)(2)22()1(1)(1)a a x ax ax a u x x x x +-++-'=+=+++，当0a ≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则20()()(0)ln12001g x u x g a +''=≤=+-=+，因此函数()g x 在[0,1]上单调递减，()(0)g x g ≤，符合要求；当0a >时，令220ax a +-=，则2222a x a a -==-，①当220a-≤，即1a ≥时，()0u x '≥，即()u x 在[0,1]上单调递增，则()()(0)0g x u x g ''=≥=，函数()g x 在[0,1]上单调递增，()(0)g x g ≥，不符合要求；②当221a -≥，即203a <≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则()()(0)0g x u x g ''=≤=，函数()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，符合要求；③当22(0,1)a -∈，即213a <<时，若2(0,2),()0x u x a '∈-<，若2(2,1),()0x u x a '∈->，函数()u x 在2(0,2)a -上单调递减，在2(2,1)a -上单调递增，而2(0)0,(1)ln 22a u u a -==+，若(1)0u ≤，则()0u x ≤在[0,1]上恒成立，()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，若(1)0u >，则存在0(0,1)x ∈，使得0()0u x =，当01x x <≤时，()0u x >，函数()g x 在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，则要()(0)g x g ≤恒成立，只需(1)(0)g g ≤，解得22ln 2a ≤-，由223e ln 223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2----===<，得221ln 2-<，由334e 2ln 222(34ln 2)2ln e ln 21620ln 233l l (n 23n 23l 2)n ----===>，得222ln 23->，即当222l 23n a ≤-<时，符合要求，所以a 的取值范围是22e 22log ln 22a ≤-=.【小问3详解】若()h x 在D 上的"Γ点"个数为0，则()(1)0h n h ≤=，符合要求；若()h x 在D 上的"Γ点"个数为*s ∈N ，令()h x 在D 上的"Γ点"分别为12,,,s i i i ，其中{}**1212,1,,2,,()s s i i i n s n i i i n n <<<≤≤-∈∈∈N N ，若1s =，则若111i -=，由()(1)1h x h x --≤，则10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，若11k i j -=>，由题意1111(1)(),(1)(),(1)(1)h i h i h h i h i h -<<-≤，于是10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，又1)()(h n h i ≤，则()1h n ≤，符合要求；若2s ≥，则11121()(1)()0,()()0,,()()0s s h i h h i h i h i h i h i --=>->-> ，由()(1)1h x h x --≤，则0()(1)1k k h i h i <--≤，若11k k i i --=，即11k k i i -=-，则10()()1k k h i h i -<-≤，若11k k i i j --=>，依题意，11(1)(1)(),()()k k k k k h i j h i h i h i h i --+-=-<<，且1()(1)k k h i h i --≤，又0()(1)1k k h i h i <--≤，因此10()()1k k h i h i -<-≤，即21320()()1,0()()1,h i h i h i h i <-≤<-≤ ，10()()1s s h i h i -<-≤，即有213210()()()()()()1s s h i h i h i h i h i h i s -<-+-++-≤- ，即10()()1s h i h i s <-≤-，由10(1)h i <≤，得0()s h i s <≤，又)()(s h n h i ≤，因此()h n s ≤，即()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n ，所以()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n .【点睛】关键点点睛：本题第2问，根据题意将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立是关键.。

颍上一中蒙城一中淮南一中怀远一中涡阳一中2024届高三第二次五校联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,{10}U A x x ==+<R ∣，集合{}2log 1B xx =<∣，则集合()U A B ∩= （ ） A.[]1,2− B.()0,2 C.[)1,∞−+ D.[)1,1−2.已知z 为复数且()1i 13i z ⋅−=+（i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（ ） A.2 B.2i C.-2 D.2i −3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且137,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A.2 B.4 C.5 D.64.“2a =”是“直线220ax y ++=与直线()110x a y +−+=平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin 3,3A c AB AC ==⋅= ，则sin sin b cB C+=+（ ）6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在A B C D ､､､，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）A.96种B.132种C.168种D.204种7.已知不等式e 1ln x ax x x +>−有解，则实数a 的取值范围为（ ） A.21,e ∞−+B.1,e ∞ −+C.21,e ∞ −D.1,e ∞ − 8.已知实数,x y 满足13y y x x +=1y +−的取值范围是（ ）A.)42B.)44C.22 −D.24二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.一组数据1210,,,x x x 是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A.平均数变大 B.中位数没变 C.方差变小 D.极差没变10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形B.若()()cos cos 1A B B C −⋅−=，则ABC 一定是等边三角形 C.若cos cos a C c A c +=，则ABC 一定是等腰三角形 D.若()cos 2cos 0B C C ++>，则ABC 一定是钝角三角形 11.已知正四面体O ABC −的棱长为3，下列说法正确的是（ ） A.平面OAB 与平面ABC 夹角的余弦值为13B.若点P 满足()1OP xOA yOB x y OC =++−−，则OPC.在正四面体O ABC −D.点Q 在ABC 内，且2OQ QA =，则点Q 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若n 为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式12nx 的展开式的常数项是__________.13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线C 相切于点P ，连接PF ，在APF 中，设sin sin PAF AFP ∠λ∠=，则λ的值为__________.14.对于函数()()cos 0f x x kx x =− ，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β求()()2221sin21cos21ααββαβ+++=−__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分。

2025届四川省成都市“五校联考”高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12-B 1C ．1D ．322．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2 3．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）A B ．2 C ．4 D ．4．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞6．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A．33πB．63πC．233πD．263π8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A．56383 B．57171 C．59189 D．612429．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．6010．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．32B．323C．16D．16311．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．14012．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）A ．正方体B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届辽宁省丹东五校协作体高三最后一卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A ．5101900-米 B ．510990-米 C ．4109900-米 D ．410190-米 3．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ） A ．19 B ．79- C ．23- D ．134．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 5．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ． B ． C ． D ．6．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则U A B =( ) A ．[)0,1 B ．()0,∞+ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 7．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．12-B ．-2C ．12D ．28．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12- 9．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．2510．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到11．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭12．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省五校联考（省实验，育才中学2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．626．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅8．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215512．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（ ）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（ ）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。

浙江省五校2025届高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．1053．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．224．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+5．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．38．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-9．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A．1⎛ ⎝⎭B．(C．1⎛ ⎝⎦ D．10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦12．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。

2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共计75分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x＞1}，则A∪B 等于（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（-∞，1）2. 已知函数f（x）=x²-2x+1，则方程f（x）=0的根的判别式为（）A．0B．1C．4D．-43. 若函数y=f（x）的图象关于点（1，2）对称，则f（2）的值为（）A．0B．1C．2D．34. 若函数f（x）=2x³-3x²+1在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜05. 设函数g（x）=x²+bx+c（b，c为常数）的图象上存在两个不同的点A，B，使得∠AOB=90°（O为原点），则b的取值范围是（）A．b＞0B．b＜0C．b≥0D．b≤0（以下题目略）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分。

）16. 若函数y=f（x）=x²+2x+c（c为常数）在区间（-∞，+∞）上单调递增，则c的取值范围是_________。

17. 已知函数y=f（x）=x²+2x+1（x∈R）的对称轴方程为_________。

18. 若函数f（x）=x²+2x+3在区间（-∞，a）上单调递减，则a的取值范围是_________。

19. 若函数y=f（x）=x²+bx+c（b，c为常数）的图象上存在两个不同的点A，B，使得∠AOB=90°（O为原点），则b的取值范围是_________。

20. 已知函数f（x）=x³-3x²+2x+1，则f（x）的极值点是_________。

三、解答题（本大题共6小题，共计50分。

）21. （本题满分10分）已知函数f（x）=x²+2x+1（x∈R）。