《风险理论》第1章效用理论与保险

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风险理论第1章效用理论与保险

实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准科第一章效用理论与保险 2 第二章个体风险模型 3 第三章聚合风险模型 4 第四章破产理论 5 第五章保费原理
本章主要内容本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险险态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因此效用函数是客观存在的，但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他们对这些问题的回答来决定该决策人的效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险）假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效用均衡方程的解
E u w X u W P ，（1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保

现代精算风险理论第1章_效用理论与保险2007

可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的连续函数．注意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。风险厌恶者的效用函数的特点：
1．边际效用递减u'(x) 0 ； 2．凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式）如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]

效用理论与保险

• Absolute risk aversion coeﬃcient： r(w) = − u (w) u (w)
• Relative risk aversion parameter: r(w) = −w u (w) u (w)
例 1.2.4（风险厌恶系数）给定效用函数u(x)，我们如何近似计算风险X 最大保费P + ？解：设E [X ] = µ和V ar[X ] = σ 2 。u(·)在点w − µ处展开，得
1.4 停止损失再保险的最优性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时再保险公司支付损失的剩余部分。
1.3 效用函数族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
例 1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应为多少？解：把U (x) = −αe−αx 带入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得

《效用理论在保险中的应用》范文

《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言在当今的社会中，保险已成为风险管理的重要组成部分，对于个体、家庭和企业而言，它都是一种重要的经济保障手段。

效用理论作为经济学的重要分支，为保险业提供了坚实的理论基础和决策支持。

本文旨在探讨效用理论在保险领域的应用，分析其如何帮助保险公司和投保人做出更合理的决策。

二、效用理论概述效用理论是经济学中研究个体如何根据自身偏好进行选择的理论。

它通过衡量个体对不同结果的主观偏好程度，即效用，来预测个体的行为决策。

在保险领域，效用理论主要关注投保人对于风险的态度以及其为了转移风险而支付的保费的心理接受程度。

三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估与定价：保险公司使用效用理论来评估风险并确定保险产品的价格。

通过分析投保人的风险偏好和预期效用，保险公司能够制定出合理的保费，既能够覆盖风险成本，又能吸引潜在客户。

2. 定制化产品：基于效用理论，保险公司可以开发出更加符合消费者需求的定制化保险产品。

通过了解客户对风险的厌恶程度和对保障的追求，保险公司能够提供个性化的保险计划，从而提高消费者的满意度和忠诚度。

四、效用理论与保险决策1. 投保决策：投保人在购买保险时，会基于自己的风险承受能力和对风险的厌恶程度进行决策。

效用理论可以帮助投保人量化其风险厌恶程度，从而决定是否购买保险以及购买多少保险。

2. 保障选择：在购买保险时，投保人需要选择不同的保障项目和保额。

效用理论可以帮助投保人权衡不同保障项目和保额的效用和成本，从而做出最优的保障选择。

五、效用理论在保险业中的应用案例以寿险产品为例，保险公司可以通过效用理论分析不同年龄、职业和健康状况的投保人对风险的厌恶程度和对未来生活保障的需求。

基于这些分析，保险公司可以设计出更加符合消费者需求的寿险产品，如定期寿险、终身寿险等。

同时，保险公司还可以通过调整保费和保障范围来满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。

六、结论效用理论在保险业中的应用具有重要意义。

第一章风险理论与保险学说

客观性（独立于人的意识之外的客观事实）
如自然、生理、社会现象
不确定性（个体事件）
时间、空间、结果上的不确定性
可测性（大量事件）未来性（时间）可变性（科技进步、政治与社会改变）
3、风险的三个概念(要素）
风险因素：产生风险的原因
实质风险因素备缺陷。道德风险因素心理因素
风险评价
是指在风险识别和风险估测的基础上，把风险发生的概率、损失的程度，结合其他因素综合起来考虑，得出系统发生风险的可能性及其危害程度，并与公认的安全指标比较，确定系统的危险等级，采取相应措施的过程。
选择风险管理技术
根据风险评价结果，为实现风险管理目标，选择风险管理技术并实施风险管理的过程。风险管理技术：控制型：降低损失频率和减少损失程度。财务型：提供基金和订立保险合同等方式，对无法控制的风险做出财务安排。
风险管理效果评价
对风险管理技术的实用性及其收益情况进行分析、检查、修整和评估。---考察实施风险管理的可行性、可操作性和有效性。
自留
对风险的自我承担。优点：减少潜在的损失、节约费用支出和取得基金运用收益等。缺点：一旦发生大的风险，个人可能无法承担。
转移（转嫁）
是指一些单位和个人为避免承担损失，有意识地将损失或与损失有关的财务后果转嫁给另一单位或个人去承担的一种风险管理方式。保险转嫁：投保。非保险转嫁：出让转嫁、合同转嫁。如：股票转让；将有风险的企业承包给另外一方。
损失补偿说
认为保险是一种损失补偿合同，一方获得约定的报酬后，承担另一个因风险引起损失的合同。 ----马歇尔（英）、马修斯（德）
损失分担说
在同一危险中，由大多数人分担个人的损失。 -----瓦格勒（德）

第4讲效用理论与保险决策

1 (2 P) ．然而，除非 2 n 1
n n
P 很小，否则很少有人
会参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望收益．若P=100，决策者要收回成本，至少要抛掷7次，而发生的概率是 2i 0.0156

7
2、保费模型在保险学里，与平均回报相对应的概念是平均损失或平均理赔，又称纯保费。假设承保标的的潜在损失被描述为随机变量X，X的分布函数为F(x)，通常把平均损失E(X)作为纯保费，在纯保费的基础上考虑其它因素如：营运成本、盈利目标及其他费用。
x0 0 x2 x2 2 x6 x6
当他把这笔财富全部用于保险时，他应付多少保费，才能使达到他的期望效用？ A．18 B．2 C．2.4 D．3.8 E．3.6
• 解 X的概率密度函数为：
0.5, x 0 f ( x) 0.1, x 2 0.1, 2 x 6
选择A 喜好风险
（2）：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会失去10000元钱，99.9%的机会不损失。 B：100%的机会失去10元。选择A？或B？
选择B厌恶风险
（3）：我们有这样的二种选择： A：花50元抽签，有0.1%的机会得到1万元钱，99.9% 的机会什么也得不到。 B：不参加抽签。决策者认为选择A或B都一样 ----风险中性
通过两个风险指数的关系Ra (x)=xRr(x)，相对风险指数反映了决策者的风险态度随着财富值变化的情况，尤其是它表明决策者的风险态度对应正的财富值和对应负的财富值所表现出两种不同的态度。一般情况下，大多数人在盈利时厌恶风险，在亏损时追求风险。风险态度及Arrow-Prant指数的关系总结出如下的表格：风险态度风险厌恶风险中立风险偏好效用函数的凸凹性 Arrow-Prant指数 u’’(x)<0 u’’(x)≡0 u’’(x)>0 Ra(x)>0 Ra(x)=0 Ra(x)<0

风险理论第一章

5．保险人的组织形式包括国有独资保险公司、股份有限公司、相互保险公司、公司、股份有限公司、相互保险公司、相互保险社、保险合作社和劳合社等。保险社、保险合作社和劳合社等。保险中介主要包括保险代理人、 6．保险中介主要包括保险代理人、保险经纪人和保险公估人等。经纪人和保险公估人等。
二、保险市场的构成要素
（一）保险市场的主体供给方。供给方。需求方。需求方。保险市场中介。保险市场中介
第一节保险市场概述
二、保险市场的构成要素（二）保险市场的客体
保险市场的客体是指保险市场上供求双方具体交易的对象交易的对象，双方具体交易的对象，即保险商品和相关服务。服务。
第一节保险市场概述
三、保险市场的特征
（一）保险市场是直接的风险市场（二）保险市场是非即时清结市场（三）保险市场是特殊的“期货”交易市场保险市场是特殊的“期货”
第二节保险市场经营主体
一、保险人二、保险中介
第二节保险市场经营主体
一、保险人
（一）国有独资保险公司
我国的公司法规定，国有独资公司(state 我国的公司法规定，是指国家单独出资、国家单独出资 sole funded corporation)是指国家单独出资、由国务院或者地方人民政府授权本级人民政府国有资产监督管理机构履行出资人职责出资人职责的国有资产监督管理机构履行出资人职责的有限责任公司。责任公司。
（二）保险市场国际化的表现形式跨国保险公司及相关经营机构的设立。跨国保险公司及相关经营机构的设立。国际化的再保险市场。国际化的再保险市场。保险公司境外投资。保险公司境外投资。保险公司的境外融资。保险公司的境外融资。
第三节

第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展

对外经济贸易大学游桂云教授寿险定价特点长期性储蓄性死亡率收益率费用率在早期的保险经营中国外保险企业根据银行利率水平来规定预定的利率以银行存款作为保险资金的主要运用途径20世纪60年代后西方资本市场日渐发达为保险资金的运用开辟了广阔的空间保险企业为了提升自身的竞争能力纷纷寻求更好的资金价值增值的途径
第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展
风险效用理论
2021/1/31
风险（期望）效用理论
圣彼得堡悖论 Von Neumann-Morgenstern期望效用理论行为主体的风险偏好风险效用理论的质疑与发展基于风险效用理论的保险定价思想
圣彼得堡悖论
对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客观、直观和简便，然而在保险经济中却不适用。
同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越
小。
偏好关系
关于消费者偏好的基本假定偏好的完全性；偏好的可传递性；偏好的非饱和
性
偏好关系
定义：消费集X上的二元关系，用“ ”表示，若 x1 x2 ，
我们称对于消费者“ x1 与 x2 只是一样地好”。若该二元
关系满足如下公理：
完备性：对于任意属于X集的两个选择 x1 与 x2 ，要么
保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。
保险精算学起源于人寿保险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚的渊源关系。
数据类型一般为分组频数数据，即只知道区间内的数据个数而没有具体值的记录；另外，由于免赔额和超额损失的存在，使得数据具有左截断和右删失的特征。

0Avxdy《现代精算风险理论》课程简介

生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。

-----无名《现代精算风险理论》课程简介现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生内容简介:主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。

课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。

推荐教材或主要参考书：教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。

参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。

风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。

《现代精算风险理论》教学大纲现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。

掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。

二、主要内容及学时分配：第一章效用理论与保险（4学时）期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。

课后习题3-5题。

第二章个体风险模型（4学时）混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。

课后习题3-5题。

第三章聚合风险模型（4学时）复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。

风险理论——精选推荐

第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。

▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。

▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。

▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。

▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。

▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。

▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。

▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。

（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。

二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。

无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。

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§1.1
引言
本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的，这仅是问题的一个方面。本章是从另外的角度，也就是从决策者的主观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度的工具。
A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机
会不损失。 B：100%的机会失去10元。选择A？或B？
选择B：厌恶风险选择A ：偏好风险
§1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为 B ，发生概率为 0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费 P，B 和 P 之间有何种关系？根据均衡方程，该个体愿意支付的最大保费为 P 0.01B 。
准精算师资格考试科目
01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础
课程内容
第一章第二章第三章第四章第五章效用理论与保险个体风险模型聚合风险模型破产理论保费原理
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可能导致破产，因此可以付出比期望值高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
利事件和各种灾害。
但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个
人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。
风险是“无法预知”或“未卜先知”的。
讨论题
1. 根据自身经历，对风险进行描述；
2. 2. 试想，如果人类能具备预知未来的
能力，世界会是什么样子？我们的生活又会是什么样子？
二、风险的三要素
风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法控制的自然状态—风险的客观或外部原因）；人的主观行为的不确定性（当事人或决策者的行为—风险的主观或内部原因）；两者结合所蕴涵的潜在后果。
三、风险的保险学定义
在保险学中，风险由两部分构成：潜在不利后果的严重程度如何；发生不利后果的可能性多大。
边际效用递减原理
效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原理和最大期望效用原理。边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随着其绝对数量的增加而逐渐降低。
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用较大的那个损失。利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均衡方程 E u w X u w P 求出。保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一个最小的保费 P 。如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加了。
风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。
四、保险业务分类
寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故。寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生命表）也比较稳定。
非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如财物险、车辆险等。
非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损失分布规律也比较复杂。
五、保险精算的基本问题
风险态度：对待风险的态度可以分
为三种：这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%
的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。选择A？或B？
选择A：偏好风险；选择B ：厌恶风险
例：我们有这样的二种选择：
第一章效用理论与保险
本章主要内容本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原理以及在保费设计中的应用，并分析了不同风险态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效用原理给出了一定条件下最优再保险的结论。具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、最优再保险的结论及其应用。
游戏。抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为止。如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者就可以获得 2n 元。因此，从该游戏中获得的期望收益
n1 2 是 2 。然而，除非 n 1 n
P 很小，否则很少有人
会参加这样的游戏，因为往往抛掷几次游戏就结束了。这就意味着人们并不仅仅看到期望收益。
精算学以现代数学和统计学为基础, 对保险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究, 为保险公司进行科学决策和提高管理水平提供依据和方法。
精算师要解决的几个基本问题：（1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。
中国精算师资格考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务，考试课程共设9门，均为必考课程。
风险理论
教材： R.卡尔斯，M.胡法兹等《现代精算风险理论》，
科学出版社，2005.
参考书：
吴岚，王燕:《风险理论》，财经出版社，2006 肖争艳:《风险理论》，人大，2008 邹公明，范兴华：《风险理论》，上海财大，2006
风险理论与保险精算概述
《风险理论》--准精算师考试科目
一、风险的概念
人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不

《风险理论》第1章效用理论与保险

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