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结构动力学第6章分布参数体系本次课主要内容：振型的正交性梁的动力反应分析简支梁在移动荷载作用下的振动均直梁轴向振动分析分布参数结构振动分析(动力直接刚度法) 剪切梁振动分析6.3振型的正交性6.3振型的正交性z与多自由度体系相同，分布参数体系的振型也可以作为坐标变化的基底，以采用振型叠加法进行体系的动力反应分析，其原因同样是由于分布参数体系振型的正交性。
z本节介绍分布质量和刚度体系自振振型的正交性。
z为简便起见，仅考虑单个梁带有简支、固支或自由边界条件。
z不考虑梁中或梁端有集中质量以及支承弹簧情况，对于这些更复杂的情况也可以采用同样的方法加以分析。
6.4梁的动力反应分析首先进行模态分析，得到简支梁的自振频率和振型2sin,EI m n xLπ∞LL2mLdx L x =π444230)sin 2Ln x n EI dx LL ππ=∫)(ξn )(0ξφn p =Lxn x n πφsin)(=是一个单自由度体系在突加外力p 0φn (ξ)作用下的反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。
)(0ξφn p =)cos 1()(4t nn ωξ−)cos t n ω−L x n x n πφsin )(=Lxn t n πωsin)cos 1−Lxn t x t n nn πωφωsin)cos )()cos −′′时梁的动力反应代入相应方程可得梁中点的挠度和弯矩：分析以上给出的位移和弯矩的级数解可以发现，位移是收敛，因此，为保证内力的有效计算精度，必须取比位移更多的项计算。
，位移可以取前3项，而对于弯矩的共性。
)2401cos 175L +−+t t ωω)49cos 125cos 75L +−+t t ωω6.5简支梁在移动荷载作用下的振动移动质量作用下的简支梁模型当移动荷载作用下产生的变形曲率很小和移动速度较低时，考虑移动质量的简支梁动力平衡方程为：2112(,))d u x t Vt M g M dt ⎞⎛−−⎟⎜⎝⎠2222(,)(,)2u x t u x t V V x t x∂∂++∂∂∂22222(,)(,)(,)2u x t u x t u x t V V t x t x ⎤⎞∂∂++⎥⎟∂∂∂∂⎠⎦212(,)()u x t x Vt M g t δ⎞⎛∂=−−⎟⎜∂⎝⎠6.6均直梁轴向振动分析注意到梁的振动是沿轴向的，振型图仅为示意图。
高等代数摄动法（Perturbation Theory in Linear Algebra）是一种在高等代数领
域中应用的数学技术，用于研究线性代数问题中小扰动引起的解的变化。
它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学和经济学等。
摄动法的基本思想是通过将问题分解为一个已知的基本问题和一个小扰动的形式，来近似求解原始问题。
这种近似方法可以用于求解矩阵特征值和特征向量的变化、线性方程组的解的变化、矩阵的特定函数的变化等。
具体而言，高等代数摄动法通过展开原始问题的解为扰动项的级数，并通过迭代逐步计算更高阶的摄动项来逼近真实解。
通常情况下，前几个级数项已经足够近似原始问题的解，而更高阶的项可以提供更精确的近似。
高等代数摄动法的应用需要对线性代数的基本理论和方法有一定的了解。
它在实际问题中的应用可以帮助我们理解线性系统的变化规律，以及对系统做出更精确的预测和分析。
总而言之，高等代数摄动法是一种在高等代数中用于近似求解线性代数问题的数学技术，通过展开原始问题的解为扰动项的级数，来研究小扰动引起的解的变化。
它在科学和工程领域中有广泛的应用。
结构动力学中的矩阵特征向量相关分析结构动力学是研究结构物在外力作用下的振动和变形特性的学科。
在结构动力学中，矩阵特征向量相关分析是一种重要的分析方法。
本文将从矩阵特征向量的定义、性质以及在结构动力学中的应用等方面进行探讨。
首先，我们来了解一下矩阵特征向量的定义和性质。
矩阵特征向量是指矩阵A 与向量x之间的关系，即Ax=λx，其中A是一个方阵，x是一个非零向量，λ是一个常数。
矩阵特征向量与特征值是一一对应的，特征值λ表示了矩阵在该特征向量方向上的伸缩比例。
在结构动力学中，矩阵特征向量相关分析可以用于求解结构物的振动模态。
振动模态是指结构物在自由振动状态下的分布形态和频率。
通过求解结构物的特征值和特征向量，可以得到结构物的振动模态。
特征值对应着振动模态的频率，特征向量对应着振动模态的形态。
矩阵特征向量相关分析在结构动力学中的应用非常广泛。
首先，它可以用于求解结构物的固有频率。
固有频率是指结构物在自由振动状态下的频率，它与结构物的刚度矩阵和质量矩阵有关。
通过求解结构物的特征值，可以得到结构物的固有频率。
固有频率对于结构物的设计和分析具有重要意义，它可以用于判断结构物的稳定性和抗震性能。
其次，矩阵特征向量相关分析还可以用于求解结构物的振型。
振型是指结构物在自由振动状态下的形态，它与结构物的特征向量有关。
通过求解结构物的特征向量，可以得到结构物的振型。
振型对于结构物的设计和分析也具有重要意义，它可以用于判断结构物的变形情况和应力分布。
此外，矩阵特征向量相关分析还可以用于求解结构物的动力响应。
动力响应是指结构物在外力作用下的振动响应，它与结构物的特征向量和特征值有关。
通过求解结构物的特征向量和特征值，可以得到结构物的动力响应。
动力响应对于结构物的设计和分析非常重要，它可以用于判断结构物在不同外力作用下的振动情况和变形情况。
综上所述，矩阵特征向量相关分析在结构动力学中具有重要的应用价值。
它可以用于求解结构物的振动模态、固有频率、振型和动力响应等问题。
摄动方法Perturbation Method把系统视为理想模型的参数或结构作了微小扰动的结果来研究其运动过程的数学方法。
这种方法最早应用于天体力学，用来计算小天体对大天体运动的影响，后来广泛应用于物理学和力学的理论研究。
摄动方法作为一般的数学方法，也是控制理论研究中的一种工具。
摄动方法的基本思路是：如果一个系统Sε中包含有一个难以精确确定或作缓慢变化的参数ε，就可以令ε＝0，使系统Sε退化为s0，而把Sε看作是s0受到（由于ε≠0而引起的）摄动而形成的受扰系统。
问题因而简化成为在求解S0的基础上来找出系统Sε的运动表达式。
这样做往往能达到简化数学处理的目的。
摄动方法所提供的系统Sε的运动Γε的形式是s的幂级数（可能包含负幂次项），级数的各项系数是有关变量（时间、状态变量等）的函数。
如果在这些变量的容许变化范围内，当ε趋于零时，Γε的表达式一致地（均匀地）趋于S0的运动表达式Γ0，就称表达式Γε为一致有效的。
摄动问题可分为正则摄动和奇异摄动两类形式。
如果令ε＝0，Γε的表达式可化为Γ0，而且是一致有效的，就称这个摄动问题是正则摄动问题。
如果在Sε中令ε＝0会导致问题无解或多解，或者虽然当ε＝0时Sε能化为s0并有解Γ0，但表达式Γε不一致有效，则称这个摄动问题为奇异摄动问题。
正则摄动问题比较简单，也易于处理。
常用的方法有幂级数展开法（不包含ε的负幂次）、参数微分法、迭代法等。
奇异摄动问题则复杂得多，当ε趋于0时系统Sε的行为或结构往往发生本质的或剧烈的改变，出现各种复杂的现象。
奇异摄动问题的研究已发展为控制理论的一个重要分支。
其中常用的方法有伸缩坐标法、匹配渐近展开法、复合展开法、参数变易法、平均法、多重尺度法等。
对于弱非线性系统，若把非线性部分看作是对线性部分的摄动，常能用摄动方法（这种情况常称为小参数法）得到相当好的结果。
奇异摄动理论与分岔理论、突变论等也有比较密切的关系。
坐标摄动法研究天体在真实轨道上的坐标和在中间轨道上的坐标之差，这个差值称为坐标摄动。
第6章结构矩阵分析介绍电子数字计算机的出现给力学领域带来了深刻的变革。
在大型结构的计算中，广泛采用了数值计算的矩阵分析方法。
矩阵方法不仅可以用紧凑而简洁的符号代替传统的数学表达式及其推导，更重要的是矩阵运算的规律性和单一性便于编制电子计算机的程序，从而实现自动的高速运算。
数字计算机的出现，已把重点从容易求解问题，转移到高效率地使问题公式化。
但也不应忽视手算解法，它不仅当不能得到计算机时是有价值的，而且对于理解计算机程序的计算过程以及校核计算机程序的结果都是有价值的。
1．本章第1节以最简单的1结点仅有1个自由度的简支单元为例，从传统的位移法出发，引入矩阵的符号，讲解矩阵位移法求解最简单的连续梁结构的全过程。
● 矩阵位移法以结点位移为基本未知量，解题分为4个步骤，即离散化、单元分析、整体分析、计算。
● 单元分析即推导单元刚度方程F ○e =k ○e δ○e 。
讲解了其中三个矩阵符号(单元杆端位移列阵δ○e 、单元杆端力列阵F ○e 、单元刚度矩阵k ○e ) 的物理意义。
● 整体分析即推导结构总刚度方程K △=P 。
讲解了其中三个矩阵符号(结点位移列阵△、结点荷载列阵P 、总刚度矩阵K ) 的物理意义。
● 讲解了简支单元非结点荷载的等效结点荷载F e ○e 计算方法。
● 讲解了简支单元杆端力F ○e 的计算方法。
2．本章第2节推导了局部坐标系下两种单元的单元刚度方程。
● 利用叠加原理，推导了一般单元的单元刚度方程(e )(e )(e )Fk δ=。
讲解单元刚度矩阵每个元素、每列元素、每行元素的物理意义。
●2. 推导了轴力单元的单元刚度方程。
3本章第3节推导了两种坐标系下单元刚度方程的关系。
● 推导了局部坐标系转换到整体坐标系的单元坐标变换矩阵 λ○e 。
λ○e 为正交矩阵，有性质λ○e -1=λ○e T 。
●推导了两种坐标系下单元杆端位移列阵(e )(e )(e )δλδ=、单元杆端力列阵(e )(e )(e )F F λ=、单元刚度矩阵(e )(e )(e )T (e)k k λλ=的变换公式。
孤立特征值情况的矩阵摄动法
一、基本公式：
一阶摄动公式
二阶摄动公式
二、数值例子
图1
图1表示一个质量弹簧系统，设此系统的质量阵和刚度阵为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
取错误！未找到引用源。
分别为：
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
固有频率误差计算公式为：
振型向量误差计算公式为：
三、计算结果分析
1.各频率误差对比
结构参数改变
误差
图2 第一频率
结构参数改变
误差
图3 第二频率
结构参数改变
误差
图4 第三频率
2.各振型向量误差对比
结构参数改变
误差
图5 第一振型
结构参数改变
误差
图6 第二振型
结构参数改变
误差
图7 第三振型
可以看出在结构参数改变量在15%以下时，用一阶摄动法是可行的，当然使用二阶摄动法更精确。
当结构参数改变30%时，用二阶摄动法是可行的，使用一阶摄动法误差较大，不宜采用。
当结构参数改变40%时，即使用二阶摄动法，固有频率的平均误差仍有8.7%，振型向量平均误差仍有2.8%，这个误差是比较大的。
说明这时二阶摄动法也得不到足够的精度，需要用更高阶摄动法。
四、小结
通过本例，我们得到一些结论。
无论结构参数如何改变，本例的二阶
摄动法总是比一阶摄动法有更高的计算精度。
当结构参数改变小于15%时，用一阶摄动法已足够，可以不用二阶摄动法。
但当结构参数变化为15% ~ 30%时，就必须用二阶摄动法才能得到足够的计算精度。
特征值解法《结构动⼒学》⼤作业结构⼤型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n ⾃由度⽆阻尼线性振动系统的运动微分⽅程可表⽰为：[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的⾃由振动微分⽅程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2）设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3）其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。
将(1.3)代⼊⾃由振动微分⽅程(1.2)，得：[]{}[]{}K v M v λ= （1.4）其中2λω=，(1.4)具有⾮零解的条件是()[][]det 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征⽅程，由此可以确定⽅程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三⾓矩阵。
引⼊向量{}x 满⾜：{}[]{}Tx L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7) 代⼊(1.4)，得：([][]){}0I P x λ-= (1.8)其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多⾃由度阻尼⾃由振动系统的运动⽅程为如下⼆阶常系数微分⽅程组：[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
摄动法：高等代数引言代数是数学的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。
在高等代数中，我们研究的是一些更加抽象和复杂的代数结构和操作。
其中一个重要的概念就是摄动法（perturbation method）。
本文将深入探讨摄动法在高等代数中的应用。
什么是摄动法摄动法是一种数学技术，用于处理复杂问题中的近似解。
在高等代数中，我们常常遇到一些复杂的方程和变量，很难直接求解或理解其性质。
摄动法的思想是通过引入一个小的扰动参数，将原本复杂的问题逐步转化为更简单的问题。
通过适当的近似和迭代，我们可以得到原问题的近似解或精确解。
摄动法的基本原理摄动法的基本原理可以概括为以下几个步骤： 1. 引入扰动参数：将原问题表示为一个扰动问题，引入一个小的扰动参数ε。
2. 展开为级数：将原问题的解表示为关于扰动参数的级数展开，例如，x=x0+εx1+ε2x2+⋯。
3. 代入原方程：将级数展开代入原方程，从而得到各级的递推关系式。
4. 解递推关系：通过递推关系式解出各级的解，得到近似解或精确解。
摄动法的应用举例例子1：非线性方程的近似解考虑一个非线性方程e−x=εx，其中ε为小的正参数。
我们希望求解x的近似解。
1. 引入扰动参数：将原方程重写为e−x=εx。
2. 展开为级数：将x表示为级数展开形式x=x0+εx1+ε2x2+⋯。
3. 代入原方程：将级数展开代入原方程，得到递推关系式。
首先，代入到方程左侧，得到e−(x0+εx1+ε2x2+⋯)。
采用级数展开e−x=1−x+x22−x36+⋯，我们得到1−(x0+εx1+ε2x2+⋯)+(x0+εx1+ε2x2+⋯)22−(x0+εx1+ε2x2+⋯)36+⋯。
同理，代入到方程右侧，得到ε(x0+εx1+ε2x2+⋯)。
4. 解递推关系：将左右两侧对应项进行匹配，得到一系列递推关系式，例如x0的系数对应项为1−x0=0，则解得x0=1；x1的系数对应项为−1−x1+x02+1−x0=0，则解得x1=−1。
孤立特征值情况的矩阵摄动法
一、基本公式：
一阶摄动公式
二阶摄动公式
二、数值例子
图1
图1表示一个质量弹簧系统，设此系统的质量阵和刚度阵为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
取错误！未找到引用源。
分别为：
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
固有频率误差计算公式为：
振型向量误差计算公式为：
三、计算结果分析
1.各频率误差对比
结构参数改变
误差
图2 第一频率
结构参数改变
误差
图3 第二频率
结构参数改变
误差
图4 第三频率
2.各振型向量误差对比
结构参数改变
误差
图5 第一振型
结构参数改变
误差
图6 第二振型
结构参数改变
误差
图7 第三振型
可以看出在结构参数改变量在15%以下时，用一阶摄动法是可行的，当然使用二阶摄动法更精确。
当结构参数改变30%时，用二阶摄动法是可行的，使用一阶摄动法误差较大，不宜采用。
当结构参数改变40%时，即使用二阶摄动法，固有频率的平均误差仍有8.7%，振型向量平均误差仍有2.8%，这个误差是比较大的。
说明这时二阶摄动法也得不到足够的精度，需要用更高阶摄动法。
四、小结
通过本例，我们得到一些结论。
无论结构参数如何改变，本例的二阶
摄动法总是比一阶摄动法有更高的计算精度。
当结构参数改变小于15%时，用一阶摄动法已足够，可以不用二阶摄动法。
但当结构参数变化为15% ~ 30%时，就必须用二阶摄动法才能得到足够的计算精度。
