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山东省淄博市临淄区第一中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.参考答案：A2. 在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4,满足条件的△ABC ( )A.无解B.有解C.有两解D.不能确定参考答案：A3. 将偶函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A．（）B．（）C. （）D．（）参考答案：A∵（）为偶函数，∴，∴.∴.令（），得（）.4. 将函数y＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．B．C．D．参考答案：A5. 若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 4C.3 D.6参考答案：B6. 已知f（x）是R上的增函数，且函数f（x）的部分对应值如下表：的解集是（A7. 已知集合，集合，则A∩B= ( )A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)参考答案：B【分析】根据题意求解集合A，B，再根据集合的及交集运算法则，即可求解.【详解】由题意，得或所以故选：B【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题.8. “x<－1”是“x2－1>0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9. 如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长参考答案：D【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A：2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B：2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 设函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：C试题分析：因,故,应选C.考点：导数及运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量、满足则的最大值为__________。
高考模拟数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.已知全集为R ，集合A={x|2x≥1}，B={x|x 2﹣3x+2≤0}，则A ∩∁R B=( ) A ．{x|x ≤0} B ．{x|1≤x ≤2} C ．{x|0≤x ＜1或x ＞2} D ．{x|0≤x ＜1或x ≥2}2、已知复数（x-2）+yi （x ，y ∈R ）的模为3，则xy的最大值是( ) A.23 B. 33 C. 21 D. 3 3. 设02x π<<，记sin lnsin ,sin ,xa xb xc e ===，则比较,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c<< B ．b a c << C ．c b a << D ． b c a <<4、如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为 ( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台5、设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 ( ) A ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l B ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ， m ⊥α D ．n ⊥α，n ⊥β， m ⊥α6、已知α是第二象限角，其终边上一点)5P(x ,，且x 42cos =α，则)2sin(πα+=( ) A ．410-B ．46-C ．46D ．4107、已知服从正态分布N （μ，σ 2）的随机变量，在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ）和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布N （173，5 2），则适合身高在163～183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ）A ．6830套B ．9540套C ．9520套D ．9970套8、A ， B ， C 是△ABC 的三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x 2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC 是 ( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形9．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若首项01>a 且0156<<-a a ，有下列四个命题0:1<d P ；0:1012<+a a P ；:3P 数列}{n a 的前5项和最大；:4P 使0>n S 的最大n 值为10；其中正确的命题个数为（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个10.由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+100e 1y x xx y 确定的平面区域为M ,由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤100x e y 确定的平面区域为N,在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 （ ）3213.1.1.1.12A B C D eeee ----11.双曲线12222=-by a x 的右焦点F 与抛物线px y 22=()0>p 的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF垂直于x 轴，则双曲线的离心率是 ( )A.222+B.22C.21+D.22+12.设函数)20150)(cos (sin )(π≤≤-=x x x e x f x，则函数f(x)的各极大值之和为（ ）A ．πππ2201521)1(e e e --B ．πππe e e --1)1(20152C ．ππ2201511e e --D ．πππ220161)1(e e e --二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省淄博市中学2020年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是（）A．6πB．7πC．12πD．14π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，且底面圆的半径为2，高为4，∴几何体的体积V=π×22×4﹣=14π，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，注意三视图中实线与虚线的在直观图中的位置，考查空间想象能力．2. 如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围是（）。
A . B.C .D .参考答案：D3. 复数z（1+i）=2i，则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简z，从而求出z的共轭复数即可．【解答】解：∵z（1+i）=2i，∴z===1+i，则z的共轭复数为1﹣i，故选：A．4. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 设x∈R，函数f(x)单调递增，且对任意实数x，有，（其中e为自然对数），求f(ln2)= （）A．e+1 B．1 C．e+3 D．3参考答案：D6. 向量若与共线，则等于( )A．B．2 C．D．－2参考答案：A略7. 已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，其中，则有A． B．C. D.参考答案：B8. 已知等差数列{}的前项和为，且，则( )A． B． C．D.参考答案：A9. 已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A10. 设a = 30. 5, b= log32, c=cos 2，则A.c<b<a B. c<a<b C. a<b<c D. b<c<a参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的定义域为，则的定义域为参考答案：12. 已知向量=（2，﹣1），=（m，3），若∥，则m的值是．参考答案：﹣6【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣m﹣6=0，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．13.观察：；；；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是___.参考答案：答案:14. 五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是.参考答案：15. 椭圆C的中心为原点，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，则椭圆的标准方程为．参考答案：=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意建立关于a 、c的方程组，解出a=，c=1，从而得到b 2=a 2﹣c 2=1，可得椭圆的方程．【解答】解：∵，椭圆上的点到焦点的最短距离为，∴=，a ﹣c=﹣1，解得a=，c=1，∴b 2=a 2﹣c2=1，由此可得椭圆的方程为=1，故答案为=1．16. 已知α∈（，π），sinα=，则tan= ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：．17. 已知函数．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文山东卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).【试卷点评】【命题特点】2020年山东高考数学试卷,试卷结构总体保持了传统的命题风格,以能力立意,注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养,符合考试说明的各项要求,贴近中学教学实际,是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.试题的顺序编排,遵循由易到难,基本符合学生由易到难的答题习惯.从命题内容来看,既突出热点内容的年年考查,又注意了非热点内容的考查,对教学工作有较好的导向性.同以往相比,今年对直线与圆没有独立的考题,而在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系,对基本不等式有独立的考查,与往年突出考查等差数列不同,今年对此考查有所淡化.具体看还有以下特点：1.体现新课标理念,保持稳定,适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》,重点内容重点考查,试题注重考查高中数学的基础知识,并以重点知识为主线组织全卷,在知识网络交汇处设计试题内容,且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识,难度不大.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求. 数学思想方法是数学的灵魂,是对数学知识最高层次的概括与提炼,也是试卷考查的核心.通过命题精心设计,较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程,将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用,关注社会生活.通过概率问题考查考生应用数学的能力,以学生都熟悉的内容为背景,体现试卷设计问题背景的公平性,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2020年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测2020年应特别关注：1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多与单调性相关；对具体函数的基本性质（奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数的考查依然是重点. 导数的几何意义与利用导数研究函数的性质的命题变换空间较大，直接求解问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大.3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合.4.数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征，确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现.5.立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明.6.解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化.7.概率与统计知识：概率与统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多地考查基础知识、基本应用，内容包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图（表）、假设性检验、回归分析等.试卷解析第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =I （A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,2【答案】C【解析】试题分析：由|1|1x -<得02x <<,故={|02}{|2}{|02}M N x x x x x x <<<=<<I I ,故选C.【考点】 不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（A ）-2i （B ）2i （C ）-2 （D ）2【答案】A【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i＝－i. （3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【答案】D【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．（4）已知3cos4x=,则cos2x=（A）14-（B）14（C）18-（D）18【解析】 试题分析：由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D. 【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．（5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【考点】命题真假的判断【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．（6）执行下面的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤【解析】【考点】程序框图【名师点睛】程序框图试题主要有求程序框图执行的结果和完善程序框图两种形式,求程序框图执行的结果,要先找出控制循环的变量的初值（计数变量与累加变量的初始值）、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环体是反复执行的步骤,循环次数比较少时,可依次列出；循环次数较多时,可先循环几次,找出规律,最后要特别注意循环结束的条件,不要出现多一次或少一次循环的错误.完善程序框图的试题多为判断框内内容的填写,这类问题常涉及,,,≥>≤<的选择,解答时要根据循环结构的类型,正确地进行选择,注意直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断,后循环,条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.另外，还要注意判断框内的条件不是唯一的,如5i >也可写成6i ≥.（7）函数32cos 2y x x =+的最小正周期为 （A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ）2π 【答案】C【解析】 试题分析：因为π32cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其最小正周期2ππ2T ==,故选C. 【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数,一般先把其化为()22y a b x ωϕ=++的形式再求周期.（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ）3，5 （B ）5，5 （C ）3，7 （D ）5，7【答案】A【解析】【考点】茎叶图、样本的数字特征【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示.缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐. 利用茎叶图对样本进行估计时,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.（9）设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解析】试题分析：由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【考点】分段函数求值 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．（10）若函数()e xf x (e=2.71828L 是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（A ）()2x f x -= （B ）()2f x x = （C ）()3xf x -= （D ）()cos f x x = 【答案】A【考点】导数的应用【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= .【答案】3-【解析】试题分析：由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.（12）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8【解析】【考点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．（13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】π22+ 【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．（14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6x f x -=,则f (919)= .【答案】6【解析】【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式．③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值：常利用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．④应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．（15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】2y x = 【解析】 试题分析：由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±. 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则 (1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．三、解答题：本大题共6小题,共75分. （16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游. （Ⅰ）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）2.9【解析】包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝mn求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏. （17）（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,3ABC S =△,求A 和a .【答案】3=π,=29.4A a 【解析】又3b =，所以22c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得22982322(2a =+-⨯⨯-， 所以29a =【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． （18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】（Ⅰ）证明见解析.（Ⅱ）证明见解析. 【解析】所以1A O ∥平面11B CD .（Ⅱ）因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以1,A E BD ⊥【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行． （19）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）2552n nn T +=-【解析】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． （20）（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=,（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x '=-，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值． （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=;（Ⅱ）EDF ∠的最小值为π3. 【解析】又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*） 且122421kmx x k +=+，令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134 NDNF≤+=，【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．。
2020届山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数3−4i 的实部与虚部之和为( )A. 7B. −1C. 5D. 12. 已知全集U ={0,±1,±2}，集合M ={0}，则∁U M =( )A. {±1,±2}B. {0,±1,±2}C. {0,±1}D. {0,±2}3. 已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若M 是线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. √3B. 2√3C. 2D. 34. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A. 14B. 17C. 18D. 1165. 正三棱锥的底面边长为6，高为√3，则这个三棱锥的体积为( )A. 9B. 9√3C. 27√3D. 276. 6.若一等差数列前3项的和为48，前6项的和为72，则它的前9项的和为A. 96B. 72C. 60D. 487. 已知向量a ⃗ =(a n ,2)，b ⃗ =(a n+1,25)，且a 1=1，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a ⃗ //b ⃗ ，则S n =( ) A. 54[1−(15)n ]B. 14[1−(15)n ]C. 14[1−(15)n−1]D. 54[1−(15)n−1]8.如图，P是正方体ABCD—A 1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()A.B.C.D.9.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1、F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A. 2√3B. √3C. 2D. 110.执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为()A. 5，1B. 30，3C. 15，3D. 30，611. 将函数y =cosx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y =sin(x −π6)的图象，则φ等于( )A. π6B. 2π3C. 4π3D.11π612. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a+2+y 2a=1(a >0)(a >0)的蒙日圆为x 2+y 2=4，a =( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个学校共有2000名学生，含初一、初二、初三、高一、高二、高三六个年级，要采用分层抽样方法从全部学生中抽取一个容量为50的样本，已知高一有600名学生，那么从高一年级抽取的学生人数是______人．14. 若点P(a,3)在直线2x −y =3的下方，则实数a 的取值范围是______ ． 15. 已知f(x)={3e x−1,x <3x 3,x ≥3，则f(f(1))的值等于______ ．16. 在等腰三角形ABC 中，已知AC =BC =√5，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且AD =DB =EF =1.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2516，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知向量x⃗ 、y ⃗ 满足：|x ⃗ |=1，|y ⃗ |=2，且(x ⃗ −2y ⃗ ) ⋅ (2x ⃗ −y ⃗ )=5． (1)求x ⃗ 与y ⃗ 的夹角θ；(2)若(x ⃗ −m y ⃗ )⊥y ⃗ ，求实数m 的值．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD =PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥平面PAB ；(2)设AB =√2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的正弦值．19. 已知抛物线E ：y =x 2的焦点为F ，过y 轴正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2． (Ⅰ)求证：直线l 过定点；(Ⅱ)设点F 关于直线OB 的对称点为C ，求四边形OABC 面积的最小值．20.某高校2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160,165)，第2组[165,170)，第3组[170,175)，第4组[175,180)，第5组[180,185)得到的频率分布直方图如图所示．(1)求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的中位数(精确到小数点后一位数字)；(2)为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？21.已知函数，为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由； (Ⅲ)设函数试判断函数在上的符号，并证明：().22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =−2+√10cosθy =√10sinθ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)解不等式：f(x)<4−f(x +1)(2)若函数g(x)=√x −3(x ≥4)与函数y =m −f(x)−2f(x −2)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查复数的基本概念，属基础题． 易知复数的实部、虚部，从而可得结果． 解：复数3−4i 的实部是3，虚部是−4， ∴3−4i 的实部与虚部之和为：3+(−4)=−1， 故选B ．2.答案：A解析：解：∵全集U ={0,±1,±2}，集合M ={0}，则 ∴∁U M ={±1,±2}． 故选：A ．利用补集的定义及运算法则求解．本题考查集合的补集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3.答案：D解析：解：由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又△OAB 为等边三角形，所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos60°=2． OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16×4+13×4+12×2=3， 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为：3． 故选：D ．利用已知向量表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，考查计算能力．4.答案：C解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，则阴影部分的面积S=2×1=2，则大正方形的面积S=4×4=16，则阴影部分的概率P=216=18，故选：C．根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为：V=13×s底×ℎ=13×12×62×sin600×√3=9．故选：A．由已知中正三棱锥的底面边长为6，高为，易出求棱锥的侧高√3，进而利用三棱锥体积公式求出棱锥的体积．题考查棱柱的体积的求法，基本知识的考查，属于中档题．6.答案：B解析：解：因为是等差数列，所以也是等差数列，所以，即2(72−48)=4872，解得：．故答案选：B．7.答案：A解析：解：根据题意，向量a⃗=(a n,2)，b⃗ =(a n+1,25)，若a⃗//b⃗ ，则有2a n+1=25×a n，即a n+1a n=15，则数列{a n}为首项a1=1，公比为15的等比数列，则其前n项和为S n=1[1−(15)n]1−15=54[1−(15)n]，故选：A．根据题意，由a⃗//b⃗ 结合向量平行的坐标表示方法可得2a n+1=25×a n，即a n+1a n=15，由等比数列的定义可得数列{a n}为首项a1=1，公比为15的等比数列，由等比数列前n项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和，关键是由向量平行的坐标表示方法得到数列{a n}为等比数列．8.答案：A解析：试题分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为，再在△PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f(x)的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为．在三角形PAO中画出其图象，如图所示，A正确．考点：棱柱的结构特征、函数的图像9.答案：B解析：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．运用椭圆和双曲线的定义，进行求解即可．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，由椭圆的定义，可得AF1+AF2=2a1，由双曲线的定义，可得AF1−AF2=2a2，在直角△AF1F2中，∠AF1F2=30°，则AF2=12F1F2=c，AF1=√32F1F2=√3c，则有2a1=(√3+1)c，2a2=(√3−1)c，则离心率e1=c a1=√3+1，e2=c a2=√3−1，即有1e1+1e2=√3+12+√3−12=√3．故选B．10.答案：D解析：解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行①第一次循环，i=1，a=5×1=5，判断q是否整除a；②由于q=6不整除a=5，进入第二次循环，得到i=2，a=5×2=10，判断q是否整除a；③由于q=6不整除a=10，进入第三次循环，得到i=3，a=5×3=15，判断q是否整除a；④由于q=6不整除a=15，进入第四次循环，得到i=4，a=5×4=20，判断q是否整除a；⑤由于q=6不整除a=20，进入第五次循环，得到i=5，a=5×5=25，判断q是否整除a；⑥由于q=6不整除a=25，进入第六次循环，得到i=6，a=5×6=30，判断q是否整除a；⑦由于q=6整除a=30，结束循环体并输出最后的a、i值因此输出的a=30且i=6故选：D根据得到该程序的功能是求p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案．本题给出程序框图，求最后输出的a、i值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．11.答案：C解析：解：函数y=cosx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y=cos(x+φ)的图象．，k∈Z故，k∈Z，当k=1时，．故选：C首先利用函数图象的平移变换，再通过诱导公式求得结果．本题考查的知识要点：函数图象的平移变换及诱导公式的应用．属于基础题型．12.答案：A解析：【试题解析】考查椭圆的性质，属于基础题．由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a的值．解：因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上找老公特殊点分别为(0,√a)，(√2+a,0)，则两条切线分别是x=√2+a，y=√a，则两条直线的交点为P(√2+a,√a)，而P在蒙日圆上，所以(√2+a)2+(√a)2=4，解得a=1，故选：A．13.答案：15解析：解：∵一个学校共有2000名学生，抽取一个容量为50的样本，∴抽样的比例是502000=140，∵高一有600名学生，∴从高一年级抽取的学生人数是600×140=15， 故答案为：15．根据一个学校共有2000名学生，抽取一个容量为50的样本，求出抽样的比例，根据高一有600名学生，得到要高一年级抽取的学生人数．本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是求出抽样的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．14.答案：a >3解析：解：∵点P(a,3)在直线2x −y =3的下方， ∴2a −3>3，即a >3． 故答案为：a >3．根据点与直线的位置关系，即可得到结论．本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，比较基础．15.答案：27解析：解：∵f(x)={3e x−1,x <3x 3,x ≥3，∴f(1)=3e 1−1=3， f(f(1))=f(3)=33=27． 故答案为：27．由1<3，得到f(1)=3e 1−1=3，由此利用f(f(1))=f(3)=33，能求出结果． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16.答案：[43,2]解析：解：如图所示， A(1,0)，B(−1,0)，C(0,2)．设BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)+λ(1,2) =(λ−1,2λ)．同理可得DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−μ,2μ)．∵|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴√(λ+μ−2)2+4(λ−μ)2=1， 化为5(λ2+μ2)−6λμ−4(λ+μ)+3=0．∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2516，∴(λ−1)(1−μ)+4λμ≤2516． 化为3λμ+λ+μ≤4116．∴15(λ+μ)2+4(λ+μ)−32≤0， 解得−85≤λ+μ≤43． ∵1≥λ，μ≥12， 解得1≤λ+μ≤43．则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(2−λ−μ)的取值范围是[43,2]． 故答案为：[43,2]．如图所示，A(1,0)，B(−1,0)，C(0,2).设BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,2λ)． 同理可得DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−μ,2μ).由|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得√(λ+μ−2)2+4(λ−μ)2=1，化为5(λ2+μ2)−6λμ−4(λ+μ)+3=0.由于DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2516，可得(λ−1)(1−μ)+4λμ≤2516.可得15(λ+μ)2+4(λ+μ)−32≤0，解出λ+μ的范围，由于1≥λ，μ≥12，可得1≤λ+μ≤43.即可得出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(2−λ−μ)的取值范围．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、不等式的解法与性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．17.答案：解：(1)∵(x⃗ −2y ⃗ )⋅(2x ⃗ −y ⃗ )=5， ∴2|x ⃗ |2−5x ⃗ ⋅y ⃗ +2|y ⃗ |2=5， 又|x⃗ |=1，|y ⃗ |=2， ∴解得x ⃗ ⋅y ⃗ =1; 又∵cosθ=x ⃗ ⋅y ⃗|x⃗ |⋅|y ⃗ |=12， 且θ∈[0,π]， ∴θ=π3；(2)∵(x⃗ −m y⃗ )⊥y⃗，∴(x⃗ −m y⃗ )⋅y⃗=0，即x⃗ ⋅y⃗−m|y⃗|2=0，∴1−4m=0，解得m=1．4解析：本题考查了平面向量的数量积与模长公式、垂直的应用问题，是基础题目．(1)根据平面向量的数量积公式，求出向量的夹角θ的大小；(2)根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求m的值．18.答案：解：(1)取PA中点M，连接MD、MF，∵ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AD，PD⊥AB，PD⊥AD，又∵AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PAD，∴BA⊥平面PAD，∵DM⊂平面PAD，∴BA⊥DM，∵Rt△PAD中，PD=AD，M为PA中点，∴PA⊥DM，又PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB．∵F、M分别为PB、PA中点，AB，∴FM//AB，且FM=12又∵E为CD中点，底面ABCD为矩形，AB，∴DE//AB，且DE=12∴FM//DE，且FM=DE，∴四边形FMDE为平行四边形，∴DM//EF，∵DM⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．(2)设AD=PD=1，则AB=CD=√2，设AC∩BD=O，连接OF，则FO为△BPD的中位线，故F O=12PD=12，且FO⊥平面ABCD，设点C到平面AEF的距离为h，由(1)知EF⊥平面PAB，AF⊂平面PAB，∴EF⊥AF，S△AEF=12×AF×EF，∵V F−ACE=V C−AEF，∴13×12×CE×AD×FO=13×12×AF×EF×ℎ，化简可得，CE×AD×FO=AF×EF×ℎ，由(1)BA⊥平面PAD和平行四边形FMDE可得，在Rt△PAB中，AF=12BP=12√PD2+BD2=12√1+3=1，在Rt△PAD中，EF=DM=12AP=12√PD2+AD2=√22，∴√22×1×12=1×√22×ℎ，解得ℎ=12，而AC=√3，设AC与平面AEF所成的角为θ，则sinθ=ℎAC =12√3=√36．故AC与平面AEF所成的角的正弦值为√36．解析：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，直线和平面所成的角的定义和求法，属于中档题．(1)取PA中点M，连接MD、MF，先由条件证明BA⊥平面PAD，可得BA⊥DM，再证DM⊥PA，即可得DM⊥平面PAB，由平行四边形FMDE可得FE//DM，即可证明EF⊥平面PAB；(2)设AD =PD =1，则AB =CD =√2，设AC ∩BD =O ，则FO ⊥平面ABCD ，设点C 到平面AEF 的距离为h ，根据V F−ACE =V C−AEF 求得ℎ=12，而AC =√3，设AC 与平面AEF 所成的角为θ，由sinθ=ℎAC ，运算求得结果．19.答案：解：(Ⅰ)证明：设直线l 的方程为y =kx +m(m >0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =x 2y =kx +m，得x 2−kx −m =0，则x 1x 2=−m ， 所以y 1y 2=x 12x 22=m 2，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=2， 所以m 2−m −2=0，解得m =2， 所以直线l 过定点M(0,2)．(Ⅱ)不妨设x 1>0，则由(Ⅰ)知x 2=−2x 1，由对称性得S △BOC =S △BOF =12|OF||x 2|=14x 1，又S △AOB =S △AOB +S △BOC =x 1+94x 1≥2√x 1⋅94x 1=3，当且仅当x 1=94x 1，即x 1=32时，取等号，故四边形OABC 面积的最小值为3．解析：(Ⅰ)设直线l 的方程为y =kx +m(m >0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立椭圆的方程，由韦达定理可得x 1x 2，y 1y 2，由向量的数量积可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=2，解得m ，进而可得答案． (Ⅱ)不妨设x 1>0，则由(Ⅰ)知x 2=−2x 1，由对称性得S △BOC =S △BOF =12|OF||x 2|=14x 1，进而可得S △AOB =S △AOB +S △BOC =x 1+94x 1，再由基本不等式，即可得出答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3；第4组的频率为0.04×5=0.2 第5组的频率为0.02×5=0.1 估计这次考试成绩的众数为167.7. (2)第三组的人数为0.3×100=30人； 第四组的人数为0.2×100=20人； 第五组的人数为0.1×100=10人；因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组抽30×660=3人；第4组抽20×660=2人；第5组抽10×660=1人；所以第3，4，5组分别抽取出3人，2人和1人．(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3，第4组的两位同学为B1,B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1)，(A2,A3),(A2,B1)(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1)，(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共15种可能．其中第4组的2位同学为B1，B2，至少有一位同学入选的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1)(A2,B2),(A3,B1)，(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35．解析：本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目．(1)利用频率等于频数乘以组距得到各组的频率，根据众数是直方图中最高矩形的底边中点的坐标，求出众数的估计值．(2)利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数．(3)列举出从六位同学中抽两位同学的所有的抽法，列举出第4组的2位同学为B1,B2，至少有一位同学入选的抽法，由古典概型的概率公式求出概率．21.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)(Ⅲ)见解析．解析：试题分析：(Ⅰ)由已知在处的切线与直线平行，得且有两个不等实根，从而得出的范围；(Ⅱ)先由导函数得出函数的单调性，确定函数的极小值点，然后由函数的极小值为1得出存在的值；(Ⅲ)先确定的单调性，在上是增函数，故，构造，分别取的值为1、2、3、、累加即可得证．试题解析：(Ⅰ)由题意①(1分)②由①、②可得，故实数a的取值范围是(3分)(Ⅱ)存在(5分)由(1)可知，，且+0−0+单调增极大值单调减极小值单调增，.(6分)(7分)的极小值为1.(8分)(Ⅲ)由即故，则在上是增函数，故，所以，在上恒为正。
2020届山东省淄博市高三（下）开学数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A．﹣1或1 B．或C．D．3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（）A． B．C． D．﹣5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1， B．，1，1 C．2，1，D．2，1，16．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：降水量X X＜100100≤X＜200200≤X＜300X≥300工期延误天数Y051530概率P0.40.20.10.3在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（）A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.57．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈[0，1]，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（2，+∞） D．（4，+∞）8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．29．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B．﹣1 C． +1 D．10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m 的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．12．将函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是．13．二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于．14．已知球的直径PC=4，A，B在球面上，AB=2，∠CPA=∠CPB=45°，则棱锥P﹣ABC的体积为．15．已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆+=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则•的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．18．（12分）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．19．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．20．（13分）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{an }的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =anan+1cos[（n+1）π]（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{an}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出nk关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x．①求证：0＜m＜1；②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．2020届山东省淄博市高三（下）开学数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．B），然后利用集合的基本运算进行求解即【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R可．【解答】解：A={x||x﹣2|＜3}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，B={x|x≥1}，则∁U由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁B），UB）={x|1≤x＜5}，∴A∩（∁U故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．=a+对应的点位于第二象限；2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1命题q：复数z=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）2A．﹣1或1 B．或C．D．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得： =2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．=a+=a+=a+1+i对应的点位于第二【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．=a﹣i的模等于2，∴ =2，解得a=±．命题q：复数z2若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x|，∴a=f（log0.53）==3，b=f（log25）==5，c=f（0）=20=1，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用．4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（）A． B．C． D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（﹣θ）的值．【解答】解：∵θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=cos[﹣（θ+）]=sin（θ+）==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1， B．，1，1 C．2，1，D．2，1，1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，y是边AB的一半，y=AB=1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；∴x，y，z分别是，1，1．故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图与直观图的关系与应用问题，也考查了计算能力与空间想象能力，是基础题．6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：降水量X X＜100100≤X＜200200≤X＜300X≥300工期延误天数Y051530概率P0.40.20.10.3在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（）A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，P（A）=0.6，P（AB）=0.3，P=P（B丨A）==0.5，故答案选：D．【点评】本题考查条件概率，要求熟练掌握条件概率公式，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈[0，1]，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（2，+∞） D．（4，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：b=0时，ax＞0，∴a＞0；b≠0时，y＜x﹣1．a＜0时，不成立；a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，即3＜﹣1，解得a＞4b，∵0＜b≤1，∴a＞4．综上所述，a＞4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件对于b∈[0，1]时，不等式ax﹣by＞b恒成立，得到C（3，1）在y=x﹣1的上方或在直线上是解决本题的关键．8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴===；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．9．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B．﹣1 C． +1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用直线F2A与抛物线相切，求出A的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设直线F2A的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴A（2，1），∴双曲线的实轴长为AF2﹣AF1=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是求出A的坐标，属中档题．10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m 的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，求出函数的奇偶性和单调性，问题转化为g（4﹣m）≥g（m），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，g′（x）=f′（x）﹣，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜，∴g（x）在（0，+∞）递减，而g（﹣x）=f（﹣x）﹣x2，∴f（﹣x）+f（x）=g（﹣x）+x2+g（x）+x2=，∴g（﹣x）+g（x）=0，∴g（x）是奇函数，g（x）在R递减，若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则f（4﹣m）﹣（4﹣m）2≥f（m）﹣m2，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选D．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序依次正确写出每次循环得到的k 的值是解题的关键，属于基础题．12．将函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是 2 ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先利用三角函数的图象平移得到y=sinω（x﹣），代入点（，0）后得到sinω=0，由此可得ω的最小值．【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点（，0），可得sinω（﹣）=sinω=0，∴ω=kπ，k∈z．故ω的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是中档题．13．二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于7 ．【考点】二项式系数的性质；等差数列的性质．【分析】先求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，根据前三项系数依次组成等差数列列出方程求出n，然后令x的指数等于0，从而求出展开式的常数项．【解答】解：展开式的通项为前三项的系数为1，，∴解得n=8所以展开式的通项为令=0得r=2所以展开式的常数项为故答案为：7【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及等差数列的性质和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．14．已知球的直径PC=4，A，B在球面上，AB=2，∠CPA=∠CPB=45°，则棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意知，在棱锥P﹣ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，取PC的中点D，则PC垂直于面ABD，棱锥P﹣ABC的体积为两个棱锥P﹣ABD和C﹣ABD的体积和，由此能求出棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：如图所示，由题意知，在棱锥P﹣ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，其中AB=2，PC=4，PA=AC=PB=BC=2．取PC的中点D，则PC垂直于面ABD，D是球心，DA=DB=2，∴棱锥P﹣ABC的体积为两个棱锥P﹣ABD和C﹣ABD的体积和，S==，△ABD=×4×=．∴棱锥P﹣ABC的体积V=•PC•S△ADB故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．15．已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆+=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则•的取值范围为[2﹣3，] ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最小值，由P为左顶点，可得最大值，进而得到所求范围．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3=2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，∴•的最大值为•=，∴•的范围为[2﹣3，]．故答案为：[2﹣3，]．【点评】本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）（2017•潍城区校级二模）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f （A）的最小值，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=λsin2x ﹣λcos2x=2λ（sin2x﹣cos2x）=2λsin（2x﹣），因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则．由，可得：，，所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．（Ⅱ）由．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，即b2+a2﹣c2=ab，解得，即．因为，∴，．因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．17．（12分）（2017春•桓台县校级月考）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM ∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明PC⊥平面ABC，然后证明平面PAC⊥平面ABC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出相关点的坐标，设P（0，0，z0）（z＞0），则M（0，1，z0），直线AM与直线PC所成的解为60°，解得z=1．求出平面MAC的一个法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B；所以PC⊥平面ABC．…（2分）又因为PC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面ABC…（4分）（Ⅱ）在平面ABC内，过C作Cx⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）…由题意有C（0，0，0），A（，﹣，0），设P（0，0，z0）（z＞0），则M（0，1，z），，=（0，0，z）．…（7分）由直线AM与直线PC所成的解为60°得=||||cos60°，z2=，解得z=1．…（9分）所以，设平面MAC的一个法向量为，则，即．取x1=1，得．…（10分）平面ABC的法向量取为…（11分）设与所成的角为θ，则因为二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（12分）（2017•潍城区校级二模）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得能求出丙、丁未签约的概率．（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得：P（F）=1﹣P（CD）…（3分）=…（4分）（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…，，，，．所以，X的分布列是：X 0 1 2 3 4P…（12分）X的数学期望…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．19．（12分）（2017春•桓台县校级月考）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由a及椭圆的离心率公式求得c值，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AT的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得T点坐标，由BT⊥SM，则=（﹣，﹣2k），则•==0，BT⊥SO，即可O，M，S三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：a=，e==，则c=1，又b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：；…（4分）（Ⅱ）设直线AT方程为：y=k（x+），（k＞0），设点T坐标为（x1，y1），，则（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣1=0，…由韦达定理x1x2=，又A点坐标为（﹣，0），得x1=，y1=，…（7分）又B点坐标为（，0），则=（﹣，），…（8分）由圆的性质得：BT⊥SM，所以，要证明O，M，S三点共，只要证明BT⊥SO即可，…（9分）又S点横坐标为，则S点坐标为（，2k），=（﹣，﹣2k），•==0，…（11分）即BT⊥SO，又BT⊥SM，∴O，M，S三点共线．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017春•桓台县校级月考）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{an}的前n项和为Sn ，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =anan+1cos[（n+1）π]（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）在数列{an}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出nk关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．由an =Sn﹣Sn﹣1求出n≥2时的通项公式，已知n=1成立得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由bn =anan+1cos[（n+1）π]=（﹣1）n﹣1anan+1，得Tn=b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1an an+1．结合（Ⅰ）分n=2m（m∈N*）和n=2m﹣1（m∈N*）求出数列{bn}的前n项和为T n ，由Tn≥tn2对n∈N*恒成立，分离参数t可得实数t的取值范围；（Ⅲ）由知数列{an }中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），由此可得，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．当n≥2时，=；当n=1时，a1=S1=1适合上式．数列{an}的通项公式为（n∈N*）；（Ⅱ）∵bn =anan+1cos[（n+1）π]=（﹣1）n﹣1anan+1，∴Tn =b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1．由（Ⅰ）可知，数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．①当n=2m（m∈N*）时，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）==；②当n=2m﹣1（m∈N*）时，==．∴．要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使（n为正偶数）恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∴t．故实数t的取值范围是；（Ⅲ）由知数列{an}中每一项都不可能是偶数．①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；②当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．【点评】本题主要考查数列和函数的应用，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．考查数列的分类求和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2017春•桓台县校级月考）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x．①求证：0＜m＜1；②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）设出函数的切点，求出a﹣b，设函数，根据函数的单调性求出F（﹣1）的值，从而求出a﹣b的最大值即可；（Ⅲ）①求出x1＜1＜x2，得到0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1即可；②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x＜1，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：；…（1分）当f'（x）=0时，得x=1；当f'（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增；当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（3分）（Ⅱ）设函数f（x）的切点为，t∈R．显然该点处的切线为：，即为；…（4分）可得：，则；设函数；…其导函数为，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜﹣1或t＞2，故函数F（t）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增；当F'（t）＜0时，得﹣1＜t＜2，故函数F（t）在区间（﹣1，2）上单调递减；函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2＞0，F（t）的极小值为．…（7分）显然当t∈（﹣∞，2）时，F（t）≤F（﹣1）恒成立；而当t∈（2，+∞）时，，其中e t＞0，，得F（t）＜0；…（8分）综上所述，函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2即为a﹣b的最大值．…（9分）（Ⅲ）①由于函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；所以x1＜1＜x2，…（10分）显然当x＜0时，f（x）＜0；当0＜x＜1和x＞1时，f（x）＞0；得0＜x1＜1＜x2，0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1．…（11分）②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x＜1；…（12分）其导函数为G′（x）=＜0；故函数在区间（0，1）上单调递减，且G（1）=0，0＜x1＜1；所以G（x1）=f（2﹣x1）﹣f（x1）＞0，即f（2﹣x1）＞f（x1）；同时f（x1）=f（x2）=m，从而f（2﹣x1）＞f（x2）；由于2﹣x1＞1，x2＞1，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，得2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2．…（13分）所以x0＞1，f′（x）=＜0，函数f（x）图象上在点（x0，f（x））处的切线斜率恒小于0，在点（x，f（x））处不存在切线平行x轴．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．。
2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷1（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=1+ai1+i为纯虚数，则实数a的值为()A. 1B. −1C. 0D. 22.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合A={x∈Z|x2+x−2<0}，则∁U A=()A. {−2,1，2}B. {−2,1}C. {1,2}D. {−1,0}3.已知非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60∘，且满足|a⃗−2b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 34.已知点M(x,y)是圆C：x2+y2−2x=0的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是()A. 14B. π−24C. 12πD. π−24π5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. π12+3B. π12+6C. π3+3D. π3+66.已知{a n}是等差数列a4+a11=16，则该数列的前14项的和S14=()A. 52B. 112C. 56D. 1047.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其大意为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则该人第四天走的路程为()A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里8.函数f(x)=ln(x2+4)−e x−1的图象大致是()A. B.C. D.9. 已知双曲线的离心率为√52，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为( )A. 12B. √33C. √32D. √2210. 当m =5，n =2时，执行如下图所示的程序框图，输出的S 值为( )A. 20B. 42C. 60D. 18011. 若f(x)=cosx −sinx 在[−m2,2m]上是减函数，则m 的最大值是( )A. π8B. π4C. π2D. 3π812. 已知直线2kx −y +1=0与椭圆恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A. (1,9]B. [1,+∞)C. [1,9)∪(9,+∞)D. (9,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取20人，则全校应一共抽取______人．14. 若实数x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______．15. 已知函数f(x)={x +1, x ≤1,−x +3,x >1,那么f (f (52))=________．16. 如图，已知菱形ABCD 中，AB =1，∠BAD =60°，E 是边CD 的中点，若点P 是线段EC 上的动点，则|DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求证tanB =3tanA ； (Ⅱ)若a 2+b 2−c 2=2√55ab ，求角A 的大小．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AP ⊥面ABCD ，AD//BC ，AB =BC =12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PA 的中点．(1)求证：平面PCD//平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC ．19. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点P(3,t)到焦点F 距离为4．(1)求抛物线方程；(2)经过点(4,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M(−4,0)，若直线AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1⋅k 2的最小值．20.2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50,60),[60,70)，…，[90,100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率．21.已知函数f(x)=ax2−1−2lnx(a∈R)．(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 1的极坐标方程是ρ(√3cosθ−sinθ)=4，曲线C 2的极坐标方程是θ=π6，C 2与C 的一个交点为M(点M 异于点O)，与C 1的交点为N ，求|MN|．23. 已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．(1)若f(x)≥|2x −1|的解集为[0,2]，求a 的值；(2)若对任意x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥3a −2恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵z=1+ai1+i =(1+ai)(1−i)(1+i)(1−i)=a+12+a−12i为纯虚数，∴{a+1=0a−1≠0，解得a=−1．故选：B．2.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合A，求出A的补集即可．【解答】解：全集U={−2,−1,0，1，2}，集合A={x∈Z|x2+x−2<0}={x∈Z|−2<x<1}={−1,0}，所以∁U A={−2,1，2}．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，非零向量a⃗，b⃗的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得2|a⃗||b⃗ |⩽|a⃗|2+ 4|b⃗ |2−2|a⃗||b⃗ |=4，即|a⃗||b⃗ |⩽2.即可得出．【分析】解：因为非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60∘，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2， 所以|a ⃗ −2b ⃗ |2=|a ⃗ |2+4|b ⃗ |2−4a ⃗ ⋅b ⃗ =4，即，即|a ⃗ |2+4|b ⃗ |2−2|a ⃗ ||b ⃗ |=4，又因为|a ⃗ |2+4|b ⃗ |2⩾4|a ⃗ ||b ⃗ |，当且仅当|a ⃗ |=2|b ⃗ |时，取等号；所以2|a ⃗ ||b ⃗ |⩽|a ⃗ |2+4|b ⃗ |2−2|a ⃗ ||b ⃗ |=4，即|a ⃗ ||b ⃗ |⩽2； 因此，．即a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为1． 故选B ．4.答案：D解析：解：点M(x,y)是圆C ：x 2+y 2−2x =0的内部任意一点，对应区域面积为则点M 满足y ≥x 的区域如图阴影部分，由几何概型的公式得到14π×12−12×12π×12=π−24π；故选：D ．由题意，本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率．本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度，利用面积比求概率是关键．5.答案：A解析： 【分析】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．由三视图得到几何体是一个放倒的四棱柱与圆锥的组合体，根据图中数据计算体积即可． 【解答】解：由题意，几何体如图：由特征数据得到体积为：1+22×2×1+13×(12)2×π×1=3+π12．故选A ．6.答案：B解析： 【分析】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式.由a 4+a 11=16，可得a 4+a 11的值，然后结合等差数列的性质及前n 项和公式即可求解． 【解答】解：∵a 4+a 11=16， 则S 14=14(a 1+a 14)2=14(a 4+a 11)2=14×162=112．故选B ．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了等比数列的应用、等比数列的通项公式及求和，属于基础题．根据题意知每日行走的里程构成等比数列，根据等比数列的求和公式求得a 1，再由等比数列的通项公式求得a 4． 【解答】解：设第一天走a 1里，则每日行走里程构成以a 1为首项，以12为公比的等比数列{a n }. 由题意得S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1=192．则a 4=a 1×(12)3=192×18=24． 故选D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数图象的应用，利用特殊点排除即可． 【解答】解：，故排除B、C;又，，所以f(1)>0>f(4)，故排除D．故选A．9.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线和椭圆的性质与几何意义，属于基础题．由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，得4b2=a2，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，得：a2+b2a2=54，即4b2=a2，∴椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e=√a2−b2a2=√3b24b2=√32．故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查程序框图的循环结构，模拟运行即可求解．【解答】解：执行程序框图，第一次循环，S=5，k=4；第二次循环，S=20，k=3;第三次循环，S=60，k=2;满足条件k<m−n，退出循环，输出S的值为60．故选C．11.答案：D解析：【分析】利用辅助角公式化积，求出单调减区间，结合已知可得{−m2≥−π42m≤3π4，由此求得m的最大值．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是中档题．【解答】解：f(x)=cosx−sinx=√2cos(x+π4)，由2kπ≤x+π4≤π+2kπ，k∈Z．得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ，k∈Z．取k=0，得−π4≤x≤3π4．又f(x)=cosx−sinx在[−m2,2m]上是减函数，显然m>0，∴{−m2≥−π42m≤3π4，解得0<m≤3π8．∴m的最大值是3π8．故选D．12.答案：C解析：【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．利用直线2kx−y+1=0恒过的定点在椭圆x29+y2m=1内或椭圆上，计算即得结论．【解答】解：∵直线2kx−y+1=0恒过定点P(0,1)，∴直线2kx−y+1=0与椭圆x29+y2m=1恒有公共点，即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上，∴09+1m≤1，即m≥1，又m≠9，否则x29+y2m=1是圆而非椭圆，∴1≤m<9或m>9，故选：C．13.答案：80解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．答案：解：设全校应一共抽取n人，则用分层抽样的方法可得6002400=20n，∴n=80．故答案为：80．14.答案：−72解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．【解答】解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y=3x−z，则z的最小值即为动直线在y轴上的截距的最大值．通过平移可知在A点处动直线在y轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72． 15.答案：32解析：【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，属于基础题．【解答】解：f (52)=−52+3=12，f(f(52))=f (12)=12+1=32． 故答案为32．16.答案：[23,√22]解析：【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量中的取值范围问题，属于中档题．由题意可知BE ⊥AB ，从而以B 为坐标原点，AB ，BE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，分别写出DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用坐标运算解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD 中，AB =1，∠BAD =60°，E 是边CD 的中点，所以BE ⊥AB ，所以以B 为坐标原点，AB ，BE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，因为菱形ABCD 中，AB =1，∠BAD =60°，E 是边CD 的中点，所以A(−1,0)，C(12,√32)，D(−12,√32)， 设P(x,√32)，其中x ∈[0,12]， 则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +12,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,√32)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,√32)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+x +34，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|x +12|， 所以|DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x+12x 2+x+34=x+12(x+12)2+12=2(2x+1)+22x+1≤√22，当且仅当2x +1=22x+1，即x =√2−12时等号成立． 当x =0时，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AP ⋅BP |=23，当x =12时，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AP ⋅BP |=23， 所以|DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为[23,√22]， 故答案为：[23,√22]. 17.答案：解(Ⅰ)记AB =c ，AC =b ，BC =a∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴bccosA =3cacosB∴bcosA =3acosB由正弦定理得：sinBcosA =3sinAcosB∴sinB cosB =3sinA cosA∴tanB =3tanA ．(Ⅱ)∵a 2+b 2−c 2=2√55ab 由余弦定理得：cosC =√55∴1+tan 2C =5∴tanC =2(tanC =−2舍去)tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B)=tanA+tanB tanAtanB−1=2解得：tanA =−13(舍去)，或tanA =1∴A =π4．解析：(Ⅰ)记AB =c ，AC =b ，BC =a 由已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得bccosA =3cacosB 由正弦定理化简得tanB =3tanA ；(Ⅱ)由余弦定理和已知得：cosC =√55，即可求出1+tan 2C =5解得tanC =2(tanC =−2舍去)结合(Ⅰ)即可求得角A 的大小．本题主要考察了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题． 18.答案：证明：(1)∵E ，F 分别为线段AD ，PA 的中点，∴EF//PD ，∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴EF//平面PCD ，∵AD//BC ，又BC =12AD ，E 中AD 的中点，∴DE =12AD ，BC//DE ，BC =DE ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵BE//CD，BE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BE//平面PCD，∵EF∩BE=E，∴平面PCD//平面BEF．(2)连接CE，四边形ABCE为平行四边形，又AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，又AP⊥平面ABCD，BE⊂面ABCD，∴BE⊥AP，∴AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．解析：本题考查面面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)推导出EF//PD，从而EF//平面PCD，进而AP//BC，BC//DE，BC=DE，BCDE是平行四边形，推导出EF//平面PCD，BE//平面PCD，由此能证明平面PCD//平面BEF;(2)连接CE，四边形ABCE为平行四边形，四边形ABCE是菱形，BE⊥AC，BE⊥AP，由此能证明BE⊥平面PAC．19.答案：解：(1)由抛物线的定义可得3+p2=4，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x；(2)设l：x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2).将x=my+4代入y2=4x得y2−4my−16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=−16．∴x1+x2=4m2+8，x1x2=16．∴k1⋅k2=y1x1+4⋅y2x2+4=−1m2+4，∴m=0时，k1⋅k2取得最小值−14．解析：(1)由抛物线的定义可得3+p2=4，求出p，即可求抛物线方程；(2)设直线方程为x=my+4，代入抛物线方程得出交点的坐标关系，利用韦达定理，结合斜率，即可求k 1⋅k 2的最小值．本题考查了抛物线的方程与性质，直线的斜率，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 20.答案：解：(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为：1−0.1−0.3−0.3−0.1=0.2，故x =0.02．故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分)．由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中，设中位数为t 分，则有(t −70)×0.03=0.1，所以t =2203，即所求的中位数为2203分．(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6=1200．(3)由(1)可知，样本中成绩不低于70分的三组学生的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1．记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]这组的1名学生为f ，则从中任意抽取3人的所有可能结果为(a,b ，c)，(a,b ，d)，(a,b ，e)，(a,b ，f)，(a,c ，d)，(a,c ，e)，(a,c ，f)，(a,d ，e)，(a,d ，f)，(a,e ，f)，(b,c ，d)，(b,c ，e)，(b,c ，f)，(b,d ，e)，(b,d ，f)，(b,e ，f)，(c,d ，e)，(c,d ，f)，(c,e ，f)，(d,e ，f)，共20种．其中[80,90)，[90,100]两组中没有人被抽到的可能结果为(a,b ，c)，只有1种，故[80,90)，[90,100]两组中至少有l 人被抽到的概率为P =1−120=1920．解析：本题主要考查古典概率的应用，求平均数和中位数的方法，分层抽样，属于中档题．(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1−0.1−0.3−0.3−0.1=0.2，故x =0.02，再运用求中位数的方法化简即可求解；(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，化简即可求解；(3)由(1)可知，样本中成绩不低于70分的三组学生的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，再运用古典概率公式即可求解．21.答案：(1)证明：a =1时，f(x)=x 2−1−2lnx(x >0)，f(1)=0．f′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x ，可得：x =1时，函数f(x)取得极小值即最小值，∴f(x)≥f(1)=0，即f(x)≥0；(2)解：f′(x)=2ax −2x ，(x >0)．a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，至多有一个零点，不符合题意． a >0时，f′(x)=2ax −2x=2a(x+1√a )(x−1√a )x ， 可得x =√a 时，函数f(x)取得极小值即最小值．x →0+时，f(x)→+∞；x →+∞时，f(x)→+∞．∵函数f(x)有两个零点，∴f(x)min =f(√a )=1−1−√a =lna <0，解得0<a <1．∴实数a 的取值范围是(0,1)．解析：(1)a =1时，f(x)=x 2−1−2lnx(x >0)，f(1)=0.f′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x ，利用单调性求出极小值，即可证明．(2)f′(x)=2ax −2x，(x >0).对a 分类讨论，a ≤0时，f′(x)<0，不符合题意．a >0时，f′(x)=2ax −2x =2a(x+1√a )(x−1√a)x ，根据函数f(x)有两个零点，可得f(x)min <0，解得实数a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程是{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2sinα．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程是ρ(√3cosθ−sinθ)=4，曲线C 2的极坐标方程是θ=π6， C 2与C 的一个交点为M(点M 异于点O)，则：{ρ=2sinαα=θ=π6，解得：ρ1=1，与C 1的交点为N ，则：{θ=α=π6ρ(√3cosα−sinα)=4,解得：ρ2=4，所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅰ)利用极径建立方程组，进一步求出|MN|的长．23.答案：解：(1)f(x)⩾|2x −1|，即|x +a|⩾|2x −1|，平方整理得3x 2−(2a +4)x +1−a 2⩽0， 所以0，2是方程3x 2−(2a +4)x +1−a 2=0的两根，即{2a+43=0+21−a 23=0×2，解得a =1．(2)因为f(x)+|x −a|=|x +a|+|x −a|⩾|x +a −x +a|=2|a|，所以要使不等式f(x)+|x −a|⩾3a −2恒成立只需2|a|⩾3a −2.当a ≥0时，2a ⩾3a −2， 解得0≤a ≤2，当a <0时，−2a ⩾3a −2，显然成立，综上，可知实数a 的范围是．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{3}B.{1, 4, 6}C.{2, 5}D.{2, 3, 5}2.命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是（）A.∀x∉(0, +∞)，lnx＝x−1B.∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1C.∃x0∈(0, +∞)，lnx0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，lnx0＝x0−13.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√24.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝（）A.7B.6C.5D.45.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF→⋅BC→的值为（）A.−58B.18C.14D.1186.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+ y2=2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2, 6]B.[4, 8]C.[√2, 3√2]D.[2√2, 3√2]7.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)8.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90∘，则球O的体积为（）A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中正确的是（）2A.AC⊥BEB.EF // 平面ABCDC.三棱锥A−BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等11.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m(−1<m<1)与椭圆相交于点A、B，则（）A.当m＝0时，△FAB的面积为√3B.不存在m使△FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA面积最大D.存在m，使△FAB的周长最大12.函数f(x)在[a, b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a, b]，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]则称f(x)在[a, b]上具有性质P．设f(x)在[1, 3]上具有性质P，则下列说法错误的是（）A.f(x)在[1, 3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1, √3]上具有性质PC.若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝l，x∈[1, 3]D.对任意x1，x2，x3，x4∈[1, 3]，有f(x1+x2+x3+x44)≤12[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）14.已知a，b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为________．15.已知椭圆M:x2a +y2b=1(a>b>0)，双曲线N:x2m−y2n=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．π，在18.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；(Ⅱ)若c=√3，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，M 是CD^上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A(−12, 14)，B(32, 94)，抛物线上的点P(x, y)(−12<x <32)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． (Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围； (Ⅱ)求|PA|⋅|PQ|的最大值．21.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑ 7i=1y i ＝9.32，∑ 7i=1t i y i ＝40.17，√∑ 7i=1(y i −y)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑ n i=1(t i −t )2∑ n i=1(y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2，a ^=y −b ^t ．22.已知函数f(x)＝x2−2xlnx，函数g(x)＝x+ax−(lnx)2，其中a∈R，x0是g(x)的一个极值点，且g(x0)＝2．（1）讨论f(x)的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明∑n k=1√2>12ln(2n+1)(n∈N∗)．2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{3}B.{1, 4, 6}C.{2, 5}D.{2, 3, 5}【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，∴∁U B＝{2, 5}，则A∩(∁U B)＝{2, 5}，2.命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是（）A.∀x∉(0, +∞)，lnx＝x−1B.∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1C.∃x0∈(0, +∞)，lnx0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，lnx0＝x0−1【解答】命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是“∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1”3.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√2【解答】解：z=1−i1+i +2i=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i=−i+2i=i，则|z|=1．故选C．4.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝（）A.7B.6C.5D.4【解答】∵二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，∴C n2=15，即n(n−1)2=15，解得n＝6，5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ） A.−58B.18C.14D.118【解答】 解：如图，∵D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF →⋅BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC→2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60∘+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选B ．6.直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是() A.[2, 6] B.[4, 8] C.[√2, 3√2] D.[2√2, 3√2]【解答】解：∵直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x =0，得y =−2，令y =0，得x =−2， ∴A(−2, 0)，B(0, −2)，|AB|=√4+4=2√2， ∵点P 在圆(x −2)2+y 2=2上， ∴设P(2+√2cosθ, √2sinθ)， ∴点P 到直线x +y +2=0的距离：d=√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin(θ+π4)∈[−1, 1]，∴d=|2sin(θ+π4)+4|√2∈[√2,3√2]，∴△ABP面积的取值范围是[2, 6]．故选A．7.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)【解答】解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞)，故选C．8.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90∘，则球O的体积为（）A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π【解答】如图，由PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，可知三棱锥P −ABC 为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 1为底面三角形的中心，连接BO 1并延长，交AC 于G ， 则AC ⊥BG ，又PO 1⊥AC ，PO 1∩BG ＝O 1，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ，∵E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF // PB ，又∠CEF ＝90∘，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，得PB ⊥平面PAC ， ∴正三棱锥P −ABC 的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√6． 半径为√62，则球O 的体积为43π×(√62)3=√6π．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．10.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中正确的是（）A.AC⊥BEB.EF // 平面ABCDC.三棱锥A−BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD // B1D1，∴AC⊥BE，EF // 平面ABCD，三棱锥A−BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．11.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m(−1<m<1)与椭圆相交于点A、B，则（）A.当m＝0时，△FAB的面积为√3B.不存在m使△FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA面积最大D.存在m，使△FAB的周长最大【解答】对于B选项：当m＝0时，可以得出∠AFE=π3，当m＝1时，∠AFE<π4，根据椭圆的对称性，存在m使△FAB为直角三角形，故选项B错误（1）对于C 选项：根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，四边形FBEA面积最大，故选项C正确（2）对于D选项：由椭圆的定义得，△FAB的周长＝AB+AF+BF ＝AB+(2a−AE)+(2a−BE)＝4a+AB−AE−BE，∵AE+BE≥AB，∴AB−AE−BE≤0，当AB过点E时取等号，∴AB+AF+BF＝4a+AB−AE−AF≤4a，即直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大，此时直线AB的方程为x＝m＝c＝1，但是−1<m<1，所以不存在m，使△FAB的周长最大，故选项D错误（3）故选：AC．12.函数f(x)在[a, b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a, b]，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]则称f(x)在[a, b]上具有性质P．设f(x)在[1, 3]上具有性质P，则下列说法错误的是（）A.f(x)在[1, 3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1, √3]上具有性质PC.若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝l，x∈[1, 3]D.对任意x1，x2，x3，x4∈[1, 3]，有f(x1+x2+x3+x44)≤12[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]【解答】对于A ，函数f(x)={x 2,1≤x <311,x =3 在[1, 3]上满足性质P ，但f(x)在[1, 3]上不是连续函数，故不成立；对于B ，反例：f(x)＝−x 在[1, 3]上满足性质P ，但f(x 2)＝−x 2在[1, √3]上不满足性质P ，故B 不成立； 中f(x)在x ＝2处取得最大值1，对于C ，由性质p 可得，∵1＝f(2)≤12（f(x)+f(4−x)），∴f(x)+f(4−x)≥2，∵f(x)≤1，f(4−x)≤1，∴f(x)＝1，x ∈[1, 3]，故正确； 对于D ，有f(x 1+x 2+x 3+x 44)=f(x 1+x 22+x 3+x 422)≤12[f(x 1+x 22)+f(x 3+x 42)]≤14[f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)]，故错．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 【解答】方法一：直接法，1女2男，有C 21C 42＝12，2女1男，有C 22C 41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C 63−C 43＝20−4＝16种， 14.已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为________． 【解答】解：由题知a −3b =−6，因为2a >0，8b >0， 所以2a +18≥2×√2a +18=2×√2a−3b =14．当且仅当2a =18，即a =−3b ，a =−3，b =1时取等号． 故答案为：14．15.已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 【解答】 解：椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(c, 0)，正六边形的一个顶点(c2, √3c2)，可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0, 1)， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即nm =√3， 可得：n 2m =3，即m 2+n 2m =4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m =2．故答案为：√3−1；2．16.已知函数f(x)=2sinx +sin2x ，则f(x)的最小值是________． 【解答】解：由题意可得T =2π是f(x)=2sinx +sin2x 的一个周期，故只需考虑f(x)=2sinx +sin2x 在[0, 2π)上的值域， 先来求该函数在[0, 2π)上的极值点， 求导数可得f′(x)=2cosx +2cos2x =2cosx +2(2cos 2x −1) =2(2cosx −1)(cosx +1)，令f′(x)=0，可解得cosx =12或cosx =−1， 可得此时x =π3,π或5π3；∴y =2sinx +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点中取到，计算可得f( π3)=3√32， f(π)=0，f( 5π3)=−3√32，f(0)=0，∴函数的最小值为−3√32.故答案为：−3√32．四、解答题：本题共6小题，共70分解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解答】数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n−1+n−1＝4(a n+n)，故数列b n+1b n =4(a n+n)a n+n=4（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以b n=a n+n=b1⋅4n−1=22n−1．所以a n=22n−1−n，故T n＝a1+a2+...+a n＝(21+23+...+22n−1)−(1+2+...+n)=2(4n−1)4−1−n(n+1)2=22n+1−23−n(n+1)2．18.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；(Ⅱ)若c=√3，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】（1）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a＝c−4、b＝c−2．又∵∠MCN=23π，cosC=−12，∴a2+b2−c22ab =−12，∴(c−4)2+(c−2)2−c22(c−4)(c−2)=−12，恒等变形得c2−9c+14＝0，解得c＝7，或c＝2．又∵c>4，∴c＝7．（2）在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，∴ACsinθ=BCsin(π3−θ)=√3sin2π3=2，AC＝2sinθ，BC=2sin(π3−θ)．∴△ABC的周长f(θ)＝|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(π3−θ)+√3=2[12sinθ+√32cosθ]+√3=2sin(θ+π3)+√3，又∵θ∈(0,π3)，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，f(θ)取得最大值2+√3．19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，M 是CD^上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【解答】证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM＝D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．∵△ABC的面积为定值，∴要使三棱锥M−ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2，∴A(2, −1, 0)，B(2, 1, 0)，M(0, 0, 1)，则平面MCD的法向量m→=(1, 0, 0)，设平面MAB 的法向量为n →=(x, y, z) 则AB →=(0, 2, 0)，AM →=(−2, 1, 1)，由n →⋅AB →=2y ＝0，n →⋅AM →=−2x +y +z ＝0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝2，即n →=(1, 0, 2)， 则cos <m →，n →>=m →⋅n→|m →||n →|=1×√1+4=√5，则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα=√1−(√5)2=2√55．20.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A(−12, 14)，B(32, 94)，抛物线上的点P(x, y)(−12<x <32)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． (Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围； (Ⅱ)求|PA|⋅|PQ|的最大值．【解答】（1）由题可知P(x, x 2)，−12<x <32， 所以k AP =x 2−14x+12=x −12∈(−1, 1)，故直线AP 斜率的取值范围是：(−1, 1)； （2）由(I)知P(x, x 2)，−12<x <32， 所以PA →=(−12−x, 14−x 2)，设直线AP 的斜率为k ，则k =x 2−14x+12=x −12，即x ＝k +12，则AP:y ＝kx +12k +14，BQ:y =−1k x +32k +94， 联立直线AP 、BQ 方程可知Q(3+4k−k 22k 2+2, 9k 2+8k+14k 2+4)，故PQ →=(1+k−k 2−k 31+k2, −k4−k 3+k 2+k1+k 2)，又因为PA →=(−1−k, −k 2−k)，故−|PA|⋅|PQ|=PA →⋅PQ →=(1+k)3(k−1)1+k +k2(1+k)3(k−1)1+k =(1+k)3(k −1)，所以|PA|⋅|PQ|＝(1+k)3(1−k)， 令f(x)＝(1+x)3(1−x)，−1<x <1，则f′(x)＝(1+x)2(2−4x)＝−2(1+x)2(2x −1)， 由于当−1<x <12时f′(x)>0，当12<x <1时f′(x)<0， 故f(x)max ＝f(12)=2716，即|PA|⋅|PQ|的最大值为2716．21.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑ 7i=1y i ＝9.32，∑ 7i=1t i y i ＝40.17，√∑ 7i=1(y i −y)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑ n i=1(t i −t )2∑ n i=1(y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2，a ^=y −b ^t ．【解答】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r =7i=1i i √∑ 7i=1(t i −t )2∑ 7i=1(y i −y)2=∑−i=17 tiyi 7t y√∑ 7i=1(t i −t )2∑ 7i=1(y i −y)2≈2√7⋅0.55≈2.892.9106≈0.993，∵0.993>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；(2)b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2=∑−i=17 tiyi 7t y ∑−i=17 ti 27t 2≈2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴y 关于t 的回归方程y ^=0.10t +0.92， 2016年对应的t 值为9， 故y ^=0.10×9+0.92＝1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．22.已知函数f(x)＝x 2−2xlnx ，函数g(x)＝x +ax −(lnx)2，其中a ∈R ，x 0是g(x)的一个极值点，且g(x 0)＝2． （1）讨论f(x)的单调性； （2）求实数x 0和a 的值；（3）证明∑n k=1√4k 2−1>12ln(2n +1)(n ∈N ∗)．【解答】函数f(x)的定义域(0, +∞)，f′(x)＝2x −2lnx −2， 令ℎ(x)＝2x −2lnx −2，则ℎ′(x)=2(x−1)x，由ℎ′(x)＝0可得x ＝1，当x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故当x ＝1时，函数取得极小值也是最小值ℎ(1)＝0， 所以ℎ(x)≥0即f′(x)≥0， 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增； g(x)的定义域(0, +∞)，g ′(x)=1−ax 2−21nx x，由题意可得，g′(x 0)＝0即x 02−2x 0lnx 0−a =0①， 由g(x 0)＝2可得x 02−x 0(lnx 0)2−21nx 0−2=0②， 联立①②消去a 可得，2x 0−(lnx 0)2−21nx 0−2=0， 令t(x)＝2x −(lnx)2−2lnx −2，则t ′(x)=2−21nx x−2x =2(x−lnx−1)x，由（1）知x −lnx −1≥0，故t′(x)≥0， 故t(x)在(0, +∞)上单调递增，又t(1)＝0， 故方程③有唯一的解x 0＝1，代入①可得a ＝1， 所以x 0＝1，a ＝1，证明：由（1）f(x)＝x 2−2xlnx 在(0, +∞)上单调递增， 故当x >1时，f(x)>f(1)＝1，g ′(x)=x 2−2xlnx−1x 2=f(x)−1x 2>0，所以g(x)在(1, +∞)上单调递增，因此当x >1时，g(x)>g(1)＝2，即x +1x −(lnx)2>2， 故(√x −√x )2>(lnx)2， ∴√x −√x >lnx ，取x =2k+12k−1，k ∈N ∗，可得√2k+12k−1−√2k−12k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1)，化简可得，√2k+12k−1−√2k−12k+1=√2，故∑n k=1√4k 2−1>∑ nk=1[ln(2k +1)−ln(2k −1)]=(ln3−ln1)+(ln5−ln3)+...+ln(2n +1)−ln(2n −1)＝ln(2n +1)，所以∑n k=1√4k 2−1>12ln(2n +1)(n ∈N ∗)．。
