3.2洛必达法则

第三章
第二节 洛必达法则
三、其他类型未定式
一、 型未定式
二、 型未定式
确定未定式的极限是求极限的主要类型．常见的未定式主要有：在同一极限过程下
由无穷小的商和无穷大的商形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式； 由无穷大与无穷大的差形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大之间的幂形成的 型未定式.
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
一、
存在 (或为 )
定理 1
型未定式
(洛必达法则)
那么
设
(2) 在点a 的某去心邻域内,
都存在,
及
注:
定理 1 中
换为下列过程之一:
(2)
满足定理1的条件,
则
条件 (2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
解 因为
所以，所给极限存在．但由洛必达法则
该极限不存在，于是所给极限不能用洛必达法则求出
三、其他类型未定式:
或
（通分）
例7 求
解:
解:
例8 求
原式
原式
解:
例9 求
原式
例10 求
解:
原式
∴ 原式
例11 求
( n 为正整数)
解:
原式
例12
不存在
内容小结
洛必达法则
如何来求解这些未定式的极限？ 法国数学家洛比达给出了解决这些未定式极限的最有力工具——洛比达法则.
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),

f '( x ) 存在 及 g' ( x ) 都存在且 g' ( x ) ≠ 0; (3) lim x→a g ' ( x ) →
(或为无穷大 , 那么 或为无穷大), 或为无穷大
f ( x) f '( x ) lim . = lim x →a g ( x ) x →a g' ( x )
证 因函数在某点的极限是否存在 与函数在该点 取何值无关, 取何值无关, 故可补充定义 f (a ) = g (a ) = 0. 根据定理的条件, 根据定理的条件, 知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在以 a 与 x
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ' (ξ ) = = (ξ 在 x 与 a 之间 之间), g ( x ) g ( x ) − g (a ) g' (ξ )
又当 x → a 时, 有 ξ → a , 所以
f ( x) f ' (ξ ) lim = A. 证毕. = lim 证毕. x →a g ( x ) ξ → a g' (ξ )
e x − e−x − 2 x . 例3 求 lim x →0 x − sin x
解
e x − e − x − 2 x = lim e x + e − x − 2 lim x →0 x →0 1 − cos x x − sin x
e x − e−x = lim x → 0 sin x e x + e−x = lim x → 0 cos x
故洛必达法则失效, 不能使用. 但原极限是存在的, 使用. 洛必达法则失效, 不能使用 但原极限是存在的, 可用下法求得 求得: 可用下法求得:
1 x sin lim x sin 1 x = lim( x ⋅ x sin 1 ) = x→0 x lim x → 0 sin x x → 0 sin x x lim sin x x →0 x 0 = 0. = 1

0 0
0
取倒数 转化
0
0
取对数 转化
1
0
x tan x) . 例11 求 lim(sec
x 2
型
sin x 1 sin x 1 解 原式 lim lim x 2 cos x cos x x 2 cos x
cos x lim 0 x 2 sin x
1 3 9 2
x
2
④
2(a 2 1)
1 x sin x. 例4 求 lim x 0 sin x
2
x ~ sin x 解 当 x → 0 时， 1 2 x sin 1 x lim x sin 0 原式 xlim 0 x 0 x x f ( x) 说明 利用洛必达法则求极限 lim 时，如果 g ( x) f ( x) lim 不存在且不等于 ∞ 时，只表明洛必达法则 g ( x) 失效，并不意味着该极限不存在，此时改用其它方法.

例5 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
1 2 2 x 1 x lim 1 解 原式 xlim 2 1 x 1 x 2 x

思考 如何求 lim 2
n
arctan n 1 n
( n 为正整数 ) ?
ln cot x . 例6 求 lim x 0 ln x 1 2 ( csc x) x cot x lim 解 原式 lim x 0 x 0 sin x cos x 1 x 1 lim 1 x 0 cos x ln x 例7 求 lim n (n 0) . x x 1 1 x 0 lim 解 原式 lim n 1 n x nx x nx

2 22 2
2 22 2 2 22 2
2
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结束

应注意的问题： 1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最 好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽 可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时， 应尽可能应用，这样可以使运算简捷。
tan x x 例 10．求 lim 2 。 x 0 x sin x sec 2 x 1 tan x x tan x x lim lim 解： lim 2 3 x 0 x 0 x sin x x 0 3x 2 x 2 sec 2 x tan x 1 tan x 1 2 lim limsec x 。 x 0 6x 3 x 0 x 3
sin x x sin x lim 1 lim 1 。 x x x x
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“无穷比无穷”型未定式的定值法： ln x 例 5．求 lim n (n>0)。 x x 1 ln x x lim 1 0 解： lim n lim n 1 。 n x nx x x x nx
x 例 6． lim x (n 为正整数，>0)。 x e n(n 1) x n 2 xn nx n 1 lim 解： lim x lim x 2 x x e x e x e n! lim n x 0 。 x e
xn lim 0。 x 0 n
lim x x 。 例 8．求
x 0 x
解： lim x lim e
x 0 x 0
x ln x
e 01(根据例 7)。