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(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用

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一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）
法则1 设函数
f x ()和
g x ()在点a 的某个去心邻域o
U a ,d ()内有定义，且满足：
(1) lim x ®a
f x ()=0 及lim x ®a
g x ()
=0；
(2)
f x ()和
g x ()在
o
U a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；
(3) lim
x ®a ¢f x
()¢g x ()
=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()
()lim x a
f x
g x →=lim x ®a
¢f x ()¢g x ()
=A 。

法则2 设函数
f x ()和
g x ()在点a 的某个去心邻域o
U a ,d ()内有定义，且满足：
(1)()lim x a
g x →=∞； (2)
f x ()和
g x ()在o
U a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；
(3) lim
x ®a
¢f x
()¢g x ()
=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()
()lim x a
f x
g x →=lim x ®a
¢f x ()¢g x ()
=A
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+
a
，x ®-a
洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理
00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型
定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

0⋅∞型： lim x ®0+
x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞
∞
型)
=lim x ®0+1
x 1ln x
(化为00
型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®
p 2
tan x -sec x ()=lim x ®
p
2sin x -1cos x =lim x ®p 2
cos x
-sin x =0(通分后化为00型)
1
∞
型： lim x ®0cos x (
)1
x 2
=e lim
x ®0lncos x
x 2=e
lim
x ®0-sin x
cos x ×2x
=e
-
12
(化为
0型) 0
∞型： lim x ®+¥
x sin
1
x
=e
lim x ®+¥sin 1x ×ln x =
e
lim
x ®+¥ln x
x
=e
lim
x ®+¥1x
=1(化为∞∞
型) 0
型：
lim x ®0
+
x sin x
=e
lim
x ®0+ln x csc x e
lim
x ®0+1
x
-csc x cot x ()
=e
lim x ®0+
-
sin x
x
×tan x =1(化为
∞∞
型)
变形举例: lim
x ®-
lim x ®-¥
-1(不变形求导无法求出)
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数2
()1x
f x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 原解：（1）0a =时，()1x
f x e x =--，'()1x
f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞ 单调减，在(0,)+∞单调增 （II ）'()12x
f x e ax =--
由（I ）知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)
f x x ax a x ≥-=-，
从而当120a -≥，即1
2
a ≤
时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x
e x x >+≠可得1(0)x
e
x x ->-≠.从而当1
2
a >
时，
'()12(1)(1)(2)x
x
x x x f x e a e
e e e a --<-+-=--，
故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时， ()0f x <.
综合得a 的取值范围为1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥； 当0x >时，()0f x ≥等价于2
1
x
x a e
x
--≤
令()2
1
x
x g x e
x
--=
(x>0),则3
22
()x
x
x x g x e e x
-++'=
，
令()()220x
x
h x x
x x e
e =-++>，
则()1x
x h x x
e
e '=-+，()0x
h x x e ''=>，
知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=； 知()h x 在()0,+∞上为增函数，()()00h x h >=； ()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。

由洛必达法则知，
2
0001
1
22
2lim
lim lim x
x x
x x x x x e
e e x
+
++→→→--===，
故1
2
a ≤
综上，知a 的取值范围为1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭。

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高中阶段导数题中洛必达法则的讲解及应用

高中阶段导数题中洛必达法则的讲解及应用

高中阶段导数题中洛必达法则的讲解及应用导入：我们学要以致用，那么在高中我们为什么要学洛必达法则呢？因为在高中，涉及到求参数的取值范围时，分参后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。

这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。

定义：在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值得方法，称为洛必达法则。

用洛必达法则求极限值，需要满足一定条件，有以下几种基本类型：基本类型一：零比零( 00)型，即x趋向于某数时，分子f（x）、分母g（x）趋向于零。

若函数f(x)和g(x)满足下列条件：（1）limx→a f(x)=0，limx→ag(x)=0（2）在点a的某去心邻域内两者都可导，且g(x)’≠0（3）limx→a f′(x)g′(x)=A(A可为实数，也可为±∞)，那么：lim x→a f(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)= A备注：（1）a可以是常数如0，也可以是正负无穷。

（2）去心邻域：由a附近的点，而没有点a的点组成的集合。

例：limx→0sin xx=limx→0cos x1=1limx→1x3−3x+2x3−x2−x+1=limx→13x2−33x2−2x−1=limx→16x6x−2=32基本类型二：无穷比无穷( ∞∞)型,即x 趋向于某数时，f （x ）、g （x ）趋向于无穷。

若函数f(x)和g(x)满足下列条件： （1）lim x→af(x)=∞,lim x→ag(x)=∞（2）在点a 的某去心邻域内两者都可导，且g(x)’≠0 （3）limx→a f ′(x)g ′(x)=A (A 可为实数，也可为±∞)，那么：lim x→af(x)g(x) =limx→a f ′(x)g ′(x)= A例：lim x→∞(ln xx 2)=lim x→∞(1x2x )=lim x→∞(12x 2)=0 除以上两种基本类型外，洛必达法则还适用于0·∞,∞−∞,1∞,00,∞0, 5种衍生类型。

洛必达法则求导

洛必达法则求导

洛必达法则求导是高等数学中一种常见的求导方法，其可以解决一些特殊函数的导数计算问题。

在本文中，我们将向读者详细介绍洛必达法则的概念及其应用。

一、洛必达法则的含义洛必达法则又称为洛必达-夹逼定理，它是对不定型（即在求极限时出现 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式）极限的一种求法。

当 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式出现时，我们可以利用洛必达法则将其转化为可求得的极限。

二、洛必达法则的公式在理解洛必达法则的基本思想后，我们可以了解其公式：假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且当$x→a$ 时，$f(x)$ 和$g(x)$ 同时趋于 $0$ 或$±∞$，则：$$\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别表示 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数。

三、洛必达法则的应用下面，我们就来看一下几个应用洛必达法则的例子。

例1：计算 $\lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^2}$由于 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式，我们可以利用洛必达法则将其转化为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2x}$$继续利用洛必达法则，得到其极限为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2}=∞$$例2：计算 $\lim_{x→0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}$在这个例子中，当$x→0$ 时，$\frac{0}{0}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。

将其分子分母求导，得：$$\lim_{x→0}\frac{1-\cos{x}}{3x^2}=\frac{1}{6}$$例3：计算 $\lim_{x→∞}\frac{\ln{x}}{x}$当$x→∞$ 时，$\frac{\infty}{\infty}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。

洛必达法则及其应用

洛必达法则及其应用

洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。

它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。

在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。

一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。

例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题8页word文档

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题8页word文档

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题河南省偃师高中 高洪海2019年和2019年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。

一．洛必达法则法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='，那么 ()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a+→，x a-→洛必达法则也成立。

○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。