矩阵同时对角化_赵俊锋

矩阵对角化的方法
嘿，咱今儿就来说说矩阵对角化这档子事儿哈！你说矩阵对角化，就好像给一个复杂的大拼图找到最简洁明了的解法。

咱先唠唠啥是矩阵对角化。

简单说呢，就是把一个矩阵变成一个特殊的形式，就像把一团乱麻理得顺顺溜溜的。

那怎么个弄法呢？这可得好好琢磨琢磨。

咱就拿个例子来说吧，就好比你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们摆成整齐的一排，这就是对角化的过程。

第一步呢，你得找到矩阵的特征值。

这特征值就好比是积木的关键节点，找到了它们，你就有方向啦！怎么找呢？这可得有点小技巧，算呀算呀，别嫌麻烦。

找到特征值之后呢，就得找对应的特征向量啦。

这特征向量就像是给每个关键节点配上合适的小零件，让整个结构更稳固。

然后呢，把这些特征向量按规矩摆好，嘿，就有点样子啦！就好像你把积木一块一块地摆到位。

你想想看，要是没这对角化的方法，面对那些密密麻麻的矩阵，咱不得晕头转向呀！但有了这方法，咱就有了头绪，有了方向。

比如说，在解决一些实际问题的时候，对角化就能派上大用场啦。

好比你要修一座桥，你得先搞清楚结构吧，这矩阵对角化就像是帮你
看清这座桥的关键部位，让你知道该从哪儿下手。

再比如说，在计算机图形学里，对角化能让图像的处理变得更简单
高效。

这不就像给图像来了个魔法变身嘛！
总之呢，矩阵对角化这方法可太重要啦！它就像一把钥匙，能打开
很多难题的大门。

咱可得好好掌握它，把它用得溜溜的！别小瞧了它，它的用处可大着呢！你说是不是？。

傅里叶矩阵与循环矩阵的同时对角化下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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两正定矩阵联合对角化盲分离算法赵青;冶继民;常芳丽【摘要】针对具有时间结构的盲分离问题,提出了一种基于两正定矩阵精确联合对角化的盲分离算法.利用多个不同时延统计量构造了两个正定矩阵,以提取出数据的时间结构;再利用所提算法联合对角化构造的两个正定矩阵,得到分离矩阵,进而估计出源信号.所提算法克服了已有算法因采用多个矩阵联合对角化导致的计算量大和采用单个矩阵导致的分离精度低的缺点.计算机仿真结果表明了在有或无噪声情况下,所提算法性能均优于其他对比算法.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2019(055)007【总页数】6页(P214-219)【关键词】盲源分离;联合对角化;奇异值分解【作者】赵青;冶继民;常芳丽【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,西安 710126;西安电子科技大学数学与统计学院,西安 710126;西安电子科技大学数学与统计学院,西安 710126【正文语种】中文【中图分类】TN911.71 引言盲分离（BSS）是20世纪90年代在信号处理领域中出现的一个热点课题，且已在雷达信号处理、数据分析、生物医学图像处理和神经网络[1]等多个领域得到了广泛应用。

BSS是指在源信号和混合过程未知的情况下，仅从观测到的混合信号中恢复出源信号的过程。

由于在许多实际应用领域中，大部分具有概率特征的各种随机信号的发生均与时间有关。

因此，基于源信号时间结构的盲分离问题就备受学者瞩目。

近年来，矩阵的联合对角化算法[2-13]逐渐成为了基于时间结构盲信号分离的重要方法。

例如有基于高阶累积量的JADE[9]算法、基于二阶统计量的SOBI算法[10]，以及文献[11]算法等等。

前文述及的JADE和SOBI算法，它们都利用大量预白化数据时滞协方差矩阵的联合近似对角化来实现源信号的估计。

算法性能受矩阵数量的影响较大，且矩阵数量越多，运算越复杂。

基于文献[11]的二阶盲辨识方法虽计算简便，但其采用预白化数据固定时延的协方差矩阵均衡化，不能很好地反应数据矩阵特征，因而分离精度不高。

矩阵对角化问题总结矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它在很多数学和工程领域中都有广泛应用。

对角化可以把一个矩阵转化为对角矩阵的形式，简化了计算和分析的过程。

本文将对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行总结。

首先，矩阵对角化的定义如下：对于一个n × n的矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得我们可以得到对角矩阵D，则称矩阵A是可对角化的。

其中，对角矩阵D的非零元素是A的特征值，且按照相应的特征值的重数排列。

为了判断一个矩阵是否可对角化，我们需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵（即行数等于列数）。

2. 矩阵A必须具有n个线性无关的特征向量，对应于n个不同的特征值。

当满足上述条件时，我们可以通过以下步骤进行矩阵对角化：1. 求出矩阵A的特征值，即解A的特征方程det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。

2. 对每个特征值λ，解方程组(A-λI)X = 0，求得对应的特征向量X。

3. 将特征向量按列组成矩阵P。

4. 求出特征值构成的对角矩阵D。

需要注意的是，在实际求解矩阵对角化问题时，可能会遇到以下情况：1. 矩阵A的特征值重数大于1。

在这种情况下，我们需要确保对应于相同特征值的特征向量线性无关。

2. 矩阵A不可对角化。

这意味着矩阵A无法被相似变换为对角矩阵。

这可能发生在矩阵A的特征向量不足以构成一组基的情况下。

矩阵对角化在很多应用中具有重要意义，它简化了矩阵的计算和分析过程。

对角矩阵具有很好的性质，例如幂运算和指数函数的计算变得更加简单。

此外，在线性系统的稳定性和动态响应的分析中，矩阵对角化也起到了关键的作用。

总之，矩阵对角化是一个重要而又广泛应用的概念。

本文对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行了总结，并提到了在实际问题中可能会遇到的情况。

了解矩阵对角化的概念和方法，对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。

两个矩阵同时相似对角化的MATLAB程序摘要:使用Matlab语言设计出实现两个复矩阵同时相似对角化的计算机程序。

关键词:同时相似对角化;Matlab;程序矩阵对角化是重要的数学方法，但因其计算过程繁琐，人们往往望之生畏，尤其是多个矩阵同时对角化问题，因此本文设计出判断及计算两个复矩阵能否同时相似对角化的Matlab程序，用此能够方便地解决两个复矩阵同时相似对角化问题。

1. 理论基础定义[1] :设A 、 B是数域 F上两个n 阶矩阵，若存在f 上的 n-1AT 与T-1BT 同时为对角矩阵，则称A 、 B可同阶可逆矩阵t ，使得T 时相似对角化.定理 [1]: 设A 、B 都是复数域C上的n 阶矩阵，若AB=BA 且 A、B 都可对角化，则存在可逆的T，使得 T-1AT、 T-1BT同时为对角形.证: 因为A 可对角化，所以存在可逆的P，使得其中 ?d1，…， ?d互不相同且n1+...+ns=n .又 AB=BA(P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)，所以是准对角矩阵.其中Bi 是 ni阶方阵( i=1，2，…，s).但因为B可对角化，所以它的初等因子都是一次的，于是Bi 的初等因子都是一次的，所以存在 ni 阶可逆方阵 Qi，使得 Qi-1BiQi( i=1，2，…，s)为对角形，于是令 Q=diag[Q1，...，Qs]，则必有是对角形.于是令T=PQ ，则 T可逆，并且同时都是对角形.2. 算法设计定理给出了判定两个矩阵能否同时相似对角化的条件，定理的证明给出了两个矩阵同时相似对角化的方法，据此设计算法如下:Step1. 依次判定是否AB=BA 、 B是否可以相似对角化、 A是否可以相似对角化，若均是则转，否则输出A与B不能同时相似对角化(在MATLAB中可使用命令"[P，D]=eig(A)"求出一个矩阵P 及对角矩阵 D，再计算P 的行列式的值即可断定A能否相似对角化)。

关于同时对角化问题命题１：A 正定，B 半正定，存在可逆阵P ，使),...,(21n b b b diag BP P EAP P ='='命题２：A,B 为对称阵，其中A 为正定阵，则存在可逆阵P ，使：),...,(21n b b b diag BP P E AP P ='='，注：命题1,2为合同对角化命题３：A ，B 为对称阵，AB=BA ，则存在正交阵T ，使：BT T AT T 11,--同时为对角阵。

命题４：A,B 可对角化，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。

注：A,B 实对称，AB=BA BT T AT T T ''∃⇔，，使正交阵同时为对角阵。

命题５：A 可对角化，A 有互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BTT AT T 11,--同时为对角形矩阵。

命题６：A 有n 个互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。

命题７：i A 可对角化，j i A A ,两两可换，则存在可逆阵T ，使T A T i 1- 同时为对角阵。

n i ,...2,1=命题８：A,B 为对称阵，B 可逆，且0=-B A λ的根n λλλ,...,21互异，则存在可逆阵Q ，使：),...,(),...,(221121n n n b b b diag AQ Q b b b diag BQ Q λλλ='=' 0≠i b （此为合同对角化。

）关于对角化问题A 可对角化⇔A 有n 个无关的特征向量⇔A 的所有的代数重数与几何重数相同。

⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数和等于n ⇔A 的任意k 重根0λ，有k n A E rank -=-)(0λ ⇔A 初等因子全是一次的⇔A 的最小多项式是一次因式的积 ⇔对于),()()(,)(f f f g A E f '=-=λλλλ，有0)(=A g A 可对角化的充分条件是，A 有n 个互异的特征值。

二个矩阵同时对角化
夏璇
【期刊名称】《南昌航空大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(017)003
【摘要】提出矩阵合同对角化概念,对一个矩阵对角化问题进行推广思考,讨论了二个矩阵的同时对角化问题,取得了一些结果,给出了有关算法.
【总页数】7页(P26-32)
【作者】夏璇
【作者单位】南昌航空工业学院信息与计算科学系,江西,南昌,330034
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.将可对角化矩阵进行对角化的一种简洁方法 [J], 高美平
2.友矩阵对角化的变换矩阵及其逆矩阵的求法 [J], 王莲花;鞠红梅;李珍萍
3.反U矩阵和次U矩阵,次H矩阵的次对角化 [J], 赵鸣霖
4.实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法 [J], 陈亮;杜翠真;高勤
5.矩阵的次对角化和正交次对角化的条件及实现 [J], 谢文昊;曲小钢;丁小丽
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多个线性算子可同时对角化的充要条件张巧卫（榆林学院数学与统计学院，陕西榆林719000）摘要：研究有限维希尔伯特（Hilbert ）空间多个正规算子的同时对角化问题。

利用希尔伯特空间分解及算子分块表示方法，证明了多个正规算子可以同时对角化的充分必要条件是两两可交换。

并把这一结论应用于量子信息理论中一组量子态关于同一个正规正交基的同时不相干性的判断。

关键词：希尔伯特空间；正规算子；同时对角化；交换性；量子相干中图分类号：O151.2文章编号：1006-8341（2022）02-0104-05文献标志码：ADOI ：10.13338/j.issn.1006-8341.2022.02.015A necessary and sufficient condition for several linear operatorsto be simultaneously diagonalizableZHANG Qiaowei（School of Mathematics and Statistics ，Yulin University ，Yulin 719000，Shaanxi,China ）Abstract:The aim of this paper is to discuss the problem of simultaneous diagonalization of many normal operators on a finite dimensional Hilbert space.By using the methods of space decomposition and operator block representation ，it is proved that a necessary and sufficient condition for the simultaneous diagonalization of a finite number of normal opera-tors is that they are mutually commutative.This conclusion is used to judge whether a finite number of quantum states are simultaneously incoherent under a fixed orthonormal basis.Key words:Hilbert space;normal operator;simultaneous diagonalization;commutativity;quantum coherence0引言对角矩阵作为一种特殊的矩阵，有重要的理论意义及实际应用价值。

第四讲矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax= b时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。

以前我们学习过相似变换对角化。

那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量1. 定义：对n阶方阵A，若存在数，及非零向量(列向量)x，使得Ax=兀x,则称入为A的特征值，x 为A 的属于特征值的特征向量。

☆特征向量不唯一；☆特征向量为非零向量；☆ C I A)x= 0有非零解，则detC I - A)= 0，称3detf \ A ）为A 的特征多项式例 1 A= 222, 1求其特征值和特征向量。

【解】det （ \ A)二（12）（5)特征值为 1 对于特征值1,22 2 11112 2 2 2 22 2 1 3,( I A)x 二0 , + + 211 0可取基础解系为X-I = 0, X 2 = 1 ,IL " 1IL " 1所以属于特征值=1的全部特征向量为 匕乂厂k ?X 2 ,其中k“k 2为不全为零的数.对于特征值 =5，由1可取基础解系为 x 3 = 1 ，11\所以属于特征值 一T 的全部特征向量为(51 A)x 二 0， 4 12 2 “■ 1 g 1 24 -2 2 2 IL" 2 2 4 30，匕=匕 =E123，k3X3，其中k3为非零的数.2. 矩阵的迹与行列式3nnnA(X i , X 2 丄,X n )(Ax i , AX 2 ,L , AX n )3. 两个定理(1)设A 、B 分别为m n 和n Km 阶矩阵，则阶矩阵，则det( 1和 AB)…m ndet( I n BA).即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非 零特征值相同。

二、矩阵对角化的充要条件定理：n 阶方阵A 可通过相似变换对角化的充要条 件是它具有n 个线性无关的特征向量。

矩阵对角化的研究文献综述文献综述矩阵对角化的研究一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)(一)写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识,深入理解其基本内容,领会其思想方法,并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外,还要在原有的基础上,得到一些有意义的结果,争取在某些方面有所创新.(二)有关概念首先,我们给出文中常用的符号如下[1]:i表示实数域;ii表示实数域上的阶矩阵的集合;iii表示阶复矩阵的集合;iv表示实矩阵集合;v表示阶实矩阵的集合;vi表示阶的单位矩阵;vii表示矩阵的行列式;viii表示主对角线上为元素的对角矩阵;定义1[2]: 对角线以外的元都等于0,即当时有的方阵称为对角矩阵.记为.如:特别地,称为单位矩阵,简称单位阵,记.定义2[3]: 若阶矩阵与对角矩阵相似,则称可对角化,也称是单纯矩阵.(三)综述范围若一个阶矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件,所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件,根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化,在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法.通常,矩阵可对角化问题与特征值密切相关,除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9].本文结合矩阵的基本知识原理,对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳,并举例进行说明.(四)主要的问题矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵(如对称矩阵,幂等矩阵,对合矩阵)的对角化问题.二、主体部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)(一)历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》(成书于公元1世纪,作者不详)中,就有一个线性方程组的例子:为了使用加减消去法解方程,古人把系数排成如下图所示的方形:古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”,其意思与矩阵相仿.在西方,矩阵这个词是1850年由西尔维斯特(James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人)提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表,与我国“方程”一词的意思是一致.(二)现状和发展方向矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分,目前已经有了丰富的研究成果,其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有:刁成海[10]把判断矩阵是否可对角化与求它的特征向量联系起来,同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法.王新民,孙霞,张景晓[11]给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法,即对特征矩阵施行初等变换.应用这个方法,可同时求出的特征根及特征向量,判断是否可对角化,在可对角化时,可直接写出相应的可逆矩阵,使为对角形矩阵.付立志,杨庆玺[12]对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究,给出了相关定理的证明,以及模型法的操作原则、步骤和应用举例,使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点,从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解线性方程组的繁琐过程.夏银红,赵文菊[13]在给出了次转置矩阵逆矩阵的性质的基础上,根据矩阵对角化理论,给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝[14]讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件,由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件,并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法.姜同松, 魏木生[15] 通过引入友向量的方法,进一步研究了四元数矩阵的对角化问题,构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘[16] 利用矩阵的对角化的方法,对两类具有特殊性质的数列的通项公式.丘维声[17]给出了特征不等于2的域F上两个It级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件;证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来[18]指出特征值出现重根的情形下,需用Schmidt正交方法求正交特征向量,计算较为繁难.他给出另一种解法,即利用向量内积构造齐次线性方程组,求出每个特征值对应的特征向量,从而求出正交矩阵.张伟涛,刘宁,楼顺天[19]针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题,提出两种改进的高效算法.在第一种改进算法中,将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆.另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR分解,由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式.由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆,因此降低了原算法的计算量.仿真结果表明,当目标矩阵个数和维数较大时,两种改进算法的计算量分别为原算法的18.9%和13.5%.其中关于外文文献的引用参见文献[8]和文献[19] 三研究内容1.矩阵是否可对角化,可按下列思路进行:思路1:计算出的特征值,如果得所有特征值两两互异,则可对角化充分条件.如果的特征方程有重根;在计算对应每个特征值的特征向置,如果有个线性无关的特征向量,则可对角化充要条件.思路2:不计算矩阵的特征向量,只需计算的特征值两两互异,则可对角化.思路3:计算矩阵的特征值,不计算的特征向量,只需计算特征矩阵的秩,如果对于每个重特征值的特征矩阵的秩等于.即秩,则方阵可对角化,否则不可对角化.思路4:不计算矩阵的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵和对角矩阵使得,则与相似,即可对角化.对于矩阵分解一般采用思路1,思路2和思路3的方法.2.矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理1[2]阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量;定理2[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为;定理3[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的初等因子是一次的;定理4[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根引理1[12]可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积;引理2[13]对称矩阵一定可对角化;引理3[13] 设都是阶矩阵,则定理5[13]设是实数域上的?个阶矩阵,的特征根全在内,若是的全部不同的特征根,其重数分别为,那么1可对角化的充要条件是秩2当1式成立时.的列空问就是的属于特征根的特征子空间.推论1:设为实数域上的阶矩阵,的特征根全为内.且是的全部不同的特征根,其维数分别为,若秩,秩.,则可以对角化.且的列向量组的极大无关组恰是属于的极大线性无关的特征向量组,的列向量组的极大无关组恰是属于的极大无关的特征向量组.上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来,给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时,这个方法较方便.定理 6 若是的全部不同的特征根.作多项式,则上可以对角化的充要条件是定理9若是的全部不同的特征根.如果,- 则属于的特征子空间就是的列向量空间.定理7若是的全部不同的特征根,如果对每个都有那么,.从上述几个定理可以看出,矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述就矩阵的对角化问题我们可通过正交矩阵实现。

矩阵同时上三角化和同时对角化作者：李凯来源：《学习导刊》2013年第10期摘要：本文介绍了两个矩阵同时上三角化和同时对角化的特殊例子.关键字：矩阵，同时对角化，同时上三角化在高等代数中，我们经常见到单个矩阵的对角化和上三角化.对于两个矩阵同时上三角化和对角化却很陌生，本文给出了几种特殊的例子，以方便大学生对高等代数的学习.定理一若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化.证明利用数学归纳法.时，结论显然成立.假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量将扩充为的一组基令，则；.由可交换不难看出可交换.根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么取即可，就可得出同时上三角化.推广阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题方法与1类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时，可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上三角化即可.定理二在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对角化.证明设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵，使.显然亦可交换，从而此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分块，继而利用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得為对角阵，则取即可.引理一个矩阵幂零的充要条件为.（）证明必要性显然.下证充分性.设的个特征值为，令.由牛顿公式（为初等对称多项式）从而.因此，的特征多项式为所以的特征值全为零；从而幂零.定理三设阶复方阵满足，则可同时上三角化.证明令，则.若，则可交换，因此，可同时上三角化，进而可同时上三角化.若，从而幂零，这样，任取，，则从而也是的不变子空间，将二者限制在上，则必有公共特征向量，再用归纳法不难证明可同时上三角化，进而可同时上三角化.参考文献【1】A.N.柯斯特利金.代数学引论（第二卷）线性代数（第3版）.北京：高等教育出版社，2008.1.【2】许以超.线性代数与矩阵论（第二版）.北京：高等教育出版社，2008.6.。

两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省Ξ(聊城大学数学科学学院,山东聊城　252059)[摘　要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21 [文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03 在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1　两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.定理1[5]　设A ,B 为n 阶实对称方阵,且A 正定,则存在实可逆矩阵P ,使P TA P =E ,P TB P =diag (λ1,…,λn )其中λi ∈R ,i =1,…n.定理2[1]　设A ,B 为n 阶实对称半正定方阵,则存在n 阶实可逆矩阵P ,使P T A P 与P T B P 同时为对角矩阵.定理3　设A ,B 为n 阶实对称方阵,且B 可逆,B -1A 有n 个互异的特征根,则存在可逆阵P ,使P TA P 与P TB P 同时为对角矩阵.证明　设λ1,…,λn 为B -1A 的n 个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn ,即B-1A αi =λi αi ,i =1,…,n.由于α1,…,αn 线性无关,故P =(α1,…,αn )可逆,且B -1A P =Pdiag (λ1,…,λn ),即A P =B Pdiag (λ1,…,λn )上式两端左乘P T 得P TA P =P TB Pdiag (λ1,…,λn )而P T A P 为对称的,故P TB Pdiag (λ1,…,λn )=diag (λ1,…,λn )P TB P又λ1,…,λn 互异,不防设P T B P =diag (b 1,…,b n ),于是有P TA P =diag (b 1,…,b n )diag (λ1,…,λn )=diag (b 1λ1,…,b n λn )可得结论成立.定理4　设A ,B 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵·11·Ξ[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,主要从事最优化理论与算法研究.2005年4月第22卷　第2期枣庄学院学报JOURNA L OF Z AOZHUANG UNIVERSITY Apr.2005V ol.22NO.2的充要条件为AB =BA.证明　必要性.设Q T AQ =diag (λ1,…,λn ),Q TBQ =diag (μ1,…,μn ),则有Q T ABQ =diag (λ1μ1,…,λn μn )=Q TBAQ由Q 为正交矩阵有AB =BA.充分性.由A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵P ,使得P T A P =diag (λ1E n 1,λ2E n 2,…,λs E n s)其中λ1,…,λs 互异,n 1+…+n s =n.由AB =BA 有(P TA P )(P TB P )=(P T B P )(P TA P ),故P TB P =diag (B n 1,B n 2,…,B n s)其中B n i 为n i 阶实对称方阵.而B 为实对称矩阵,可对角化.故B n i 也可对角化,即存在正交矩阵R n i 使得R Tn i B n i R n i (i =1,…,s )为对角矩阵.令Q =Pdiag (R n 1,R n 2,…,R n s)则Q 为正交矩阵,且使得Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵.2　两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A ,B 可交换且满足一定条件,则A ,B 可同时相似对角化.定理5[6]　设矩阵A ,B ∈F n ×n ,A ,B 均可相似对角化,且A 的特征值相等,则A ,B 可同时相似对角化.定理6　设A ,B ∈F n ×n ,且A 在F 中有n 个不同的特征值,AB =BA ,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵.证明　由A 在F 中有n 个不同的特征值,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ).其中λ1,…,λn 为A 的n 个不同的特征值.由AB =BA 有(P -1A P )(P -1B P )=(P -1B P )(P -1A P )从而P -1B P 为对角阵,即结论成立.定理7　设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵的充要条件为AB =BA.证明　与定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.推论1　设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的初等因子全为一次的,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论2　设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的最小多项式无重根,则A ,B 可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故推论3　设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=A ,B 2=B ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论4　设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=B 2=E ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论5　设A ,B ∈C n ×n ,且A k =B k =E ,AB =BA ,其中k 为正整数,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论6　设A ∈F n ×n ,且A 可对角化,A 3表示A 的伴随矩阵,则A ,A 3可同时相似于对角阵.证明　设存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ),利用(AB )3=B 3A3有P 3A3(P -1)3=diag (λ1,…,λn )3又AA 3=A 3A ,故由定理7,结论成立.推论7　设A ∈F n ×n ,且A ±B =AB ,A ,B 相似于对角阵,则A ,B 可同时相似于对角阵.证明　只证A +B =AB 时结论成立,对A -B =AB 类似可证.由A +B =AB 有AB -A -B +E =E ,即(A -E )(B -E )=E ,故(A -E )-1=B - E.·21·枣庄学院学报2005年第2期于是E =(B -E )(A -E )=BA -B -A +E由此可得BA =A +B ,故AB =BA ,由定理7可证.对于一般的可交换的两个矩阵A ,B ,则有如下结论.定理8　设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 的特征值都在F 中,AB =BA ,则存在可逆矩阵T ∈F n ×n ,使得T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.证明　对矩阵阶数n 用数学归纳法.当n =1时,结论显然成立.假设结论对n -1阶矩阵成立.由于AB =BA ,故A ,B 有公共的特征向量([4]),设为α1,将其扩充为F n 的一组基α1,…,αn ,令Q =(α1,…,αn )则Q 可逆,且Q -1AQ =λ1　α0　A 1,Q -1BQ =μ1　β0　B 1,由AB =BA ,可得A 1B 1=B 1A 1,由归纳假设,存在n -1阶可逆矩阵Q 1,使Q 1-1A 1Q 1,Q 1-1B 1Q 1同时为上三角矩阵,令T =Q1　00　Q 1则T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.从而结论成立.参考文献[1]张锦川.实与复方阵的相合标准形和同时对角化[J ].泉州师范学院学报,2002,20(2):21-25.[2]徐利治,等.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,1999.[3]王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[5]王文省,等.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004.[6]夏璇.二个矩阵同时对角化[J ].南昌航空工业学院学报(自然科学版),2003,17(3):26-32.The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Tw o MatricesCHE N X ian -ping ,W ANG Wen -sheng(School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China )Abstract :The conditions of simultaneous diag onalization of tw o matrices are given.K ey w ords :matrix ;symmetric real matrix ;positive definite matrix ;simultaneous diag onalization·31·陈现平,王文省　两个矩阵同时对角化的条件。