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2-123 谓词逻辑(Predicate Logic)

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数学中英名词对照表

数学中英名词对照表

数学中英名词对照表以下是一些常见的数学中英名词对照表：1.数学(Mathematics):2.代数(Algebra):•代数方程(Algebraic equation)•多项式(Polynomial)•因子(Factor)•等式(Equation)•变量(Variable)•系数(Coefficient)3.几何(Geometry):•图形(Figure)•角度(Angle)•直线(Line)•圆(Circle)•面积(Area)•体积(Volume)•对称(Symmetry)4.统计学(Statistics):•数据(Data)•平均数(Mean)•中位数(Median)•众数(Mode)•标准差(Standard deviation)•概率(Probability)•抽样(Sampling)5.微积分(Calculus):•导数(Derivative)•积分(Integration)•极限(Limit)•微分方程(Differential equation)•曲线(Curve)•点斜式(Point-slope form)6.线性代数(Linear Algebra):•矩阵(Matrix)•行列式(Determinant)•向量(Vector)•特征值(Eigenvalue)•线性方程组(System of linear equations)•范数(Norm)7.数论(Number Theory):•质数(Prime number)•最大公约数(Greatest common divisor, GCD)•最小公倍数(Least common multiple, LCM)•同余(Congruence)•素因数分解(Prime factorization)8.逻辑学(Logic):•命题(Proposition)•范式(Normal form)•谓词(Predicate)•推理(Inference)•命题逻辑(Propositional logic)•谓词逻辑(Predicate logic)这只是数学中的一小部分术语对照表，数学领域非常广泛，涵盖了许多分支和专业术语。

逻辑学划分的概念

逻辑学划分的概念

逻辑学划分的概念
逻辑学是研究推理和论证规则的学科，它对思维和推理过程进行系统化的分析和研究。

以下是逻辑学中常见的一些重要概念：
1. 命题逻辑（propositional logic）：研究命题之间的逻辑关系，通过符号表示命题，研究它们之间的真值和推导规则。

2. 谓词逻辑（predicate logic）：在命题逻辑的基础上引入量词和谓词，用于描述量化关系，更加复杂和丰富。

3. 演绎推理（deductive reasoning）：通过逻辑推理从前提中得出结论的过程，是逻辑学的核心内容之一。

4. 归纳推理（inductive reasoning）：根据具体事实、观察或经验推断出普遍规律的推理方式。

5. 假言推理（hypothetical reasoning）：基于假设条件进行推理，探究假设条件下的可能结果。

6. 范畴论（category theory）：研究抽象结构和范畴之间的关系，广泛应用于数学和计算机科学领域。

7. 形式逻辑（formal logic）：逻辑学中关注逻辑规则和结构本身，而非具体内容的分支，强调逻辑形式和推理结构。

8. 非经典逻辑（non-classical logic）：包括模糊逻辑、多值逻辑、模态逻辑等，拓展了传统命题逻辑和谓词逻辑的范围。

9. 推理规则（rules of inference）：逻辑学中用于推导结论的规则，如假言三段论、构造规则等。

这些概念是逻辑学中重要的基础知识，有助于理解和运用逻
辑原理进行思维分析和推理。

第二章 谓词逻辑

第二章 谓词逻辑

同理可证, x(A(x)⋁B(x)) x A(x)⋁x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 21
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
(5)量词分配的蕴含关系
Predicate Logic 谓词逻辑
x A(x) ⋁ x B(x)x(A(x)⋁B(x))
x(A(x)⋀B(x))x A(x) ⋀ x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 13
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例4】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题：
(1)所有的病人都相信医生。
(2)有的病人相信所有的医生。 (3)有的病人相信某些医生。 (4)所有的病人都相信某些医生。 解: 设F(x)：x是病人，G(y)：y是医生，H(x，y)：x相信y。
4/16/2014 5:10 PM chapter2 19
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
Predicate Logic 谓词逻辑
x(A(x)→B) x A(x) → B 不成立(×)
x(A(x)→B) x(┒A(x)⋁B)
x ┒A(x)⋁B ┒x A(x)⋁B x A(x) → B 同理, x(A(x)→B) x A(x) → B
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
全总个体域
全总个体域
要死的
人
活一百岁以上
人
4/16/2014 5:10 PM
chapter2
12
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例2】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题 (a) 没有不犯错误的人。

谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)

谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)
P1: 代表“杭州是一个城市”
P2: 代表“上海是一个城市”
P3: 代表“北京是一个城市”
………
ห้องสมุดไป่ตู้
事实上，上述命题只要用一个谓词CITY(X) 即可表示，其中X能够是杭州、上海、北京……，
上述三个命题变为：
P1: CITY(杭州)
P2: CITY(上海)
P3: CITY(北京)
（2）谓词能够代表变化着的情况，而命 题只能 代表某种固定的情况。
对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如：
P：杭州是一个城市 P之值恒真
Q：鸵鸟会飞
Q之值恒假
然而，谓词值的真假却可因参数而异。例如：
P1：CITY(杭州)
P1之值为真
P2：CITY(鸵鸟)
P2之值为假
（3）能够利用谓词在不同的知识之间建立联系。
例如：
HUMAN(X) X是人
LAWED(X) X受法律管制
谓词逻辑（第一部分） （Chapter3PredicateLogic）
一阶谓词演确实是一种形式语言， 其全然目的在于把数学中的逻辑论证 符号化，之因此有用是其给出了一种
数学演绎方法：
旧知识 ——数学演绎— 新知识
参考书：
[1]俞瑞钊. 数理逻辑. 浙江大学出版社.
[2]Chang, C. L., Lee, R.C.T. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press, 1973.
最重要的三类谓词演算的相互关系：
命题演算 一阶谓词演算 二阶谓 词演算 【注】：本课程对二阶谓词演算不予 讨论。
3.1 谓词演算
3.1.1 命题逻辑及其局限性

(逻辑学课程课件)谓词逻辑

(逻辑学课程课件)谓词逻辑
例如：在F（x）和G（x，y）中，x，y都是自由个体变项； 在∀x F（x）和∃x ∀yG（x，y）中，x，y都是约束个体变项；∀xG（x，y）中，x是约束个体变项，y是 自由个体变项。
这样，为了确定一个个体变项是自由的还是约束词的辖域】。我们约定紧靠量词的括号内的符号表达式 是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，靠近量词的不包 含逻辑联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。例如：
命题形式经过解释，就成为命题。
一个命题形式的解释自然不是惟一的，而是无穷的。在不同的解释下，从命题 形式得到的命题可以出现不同的真假情况。
一个命题形式，如果在任一解释下都得到一个真命题，则称为【普遍有效式】。 一个命题形式，如果在至少一种解释下能得到真命题，则称为【可满足式】。
一个命题形式，如果在任一解释下都不能得到一个真命题，则称为【不可满足 式】。
二、量词
一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。例如，例句（1）F（x）断定“x是 红的”，但由于x是个体变项，因而F（x）没有真假，不是命题。如何使F（x）这样 的表达式具有真假呢？有两种方法：
第一，用个体常项取代个体变项。例如令a表示“这朵牡丹”，那么F（a）就表 示“这朵牡丹是红的”，这是命题，有真假。这种方法称为解释，后面将对此进一步 解释。
上述各式的逻辑性质是直观的。但对较复杂的命题形式，难以凭直观作出断定， 这就需要新的方法。这正是谓词逻辑所要研究的。
有了谓词和量词的抽象以后，我们就获得了对自然语言及其表达的思维进行逻 辑分析和符号刻画的更有力的工具。
第二节 自然语言的谓词表达式
一、直言命题的表达式
将下列语句符号化： （1）所有的人都是要死的。 （2）有的天鹅是黑的。 （3）所有的宗教都不是科学。 （4）有的新闻报道不是真实的。 在（1）中，令P（x）表示“x是人”，D（x）表示“x是要死的”。则（1）式的 符号表达式是： ∀x （P（x）→ D（x）） 它的含义是，对所有客体x而言，如果x是人，那么x是要死的。注意，这里的含义 仅仅是：对所有客体x而言，如果x是人，那么x是要死的；至于作为人的x是否存在， 没有得到断定，即也可能存在，也可能不存在。 这样的表达是否反映了自然语言中全称命题的原意呢？确实，自然语言中当我们 断定“所有的人都是要死的”，除了断定上述符号式所断定的含义外，事实上我们还 断定“人是存在的”。但这不具有一般性。例如：“所有不受外力作用的物体都保持 匀速直线运动。”这个命题仅仅断定：对所有物体而言，如果它不受外力作用，那么 它保持匀速直线运动；至于不受外力作用的物体是否存在，没有得到断定。事实上， 这样的物体是不存在的。这说明，全称命题的语言形式自身并不包含主项存在的断定； 有的全称命题所包含的主项存在的断定，是语境附加的，例如，在词项逻辑中就是这 样。但是，为了不失一般性，全称命题的符号表达式不应包含主项存在的形式刻画。

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义谓词逻辑（PredicateLogic）是一门用来描述和研究语言中最根本的组成部分的逻辑学。

它属于高等数学中的一门分支，自古以来便被认为是一种实用的语言，用来描述数学结构。

其被广泛地应用于科学和计算机科学领域，也常常用来作为基础，以表达更复杂的逻辑概念。

谓词逻辑由大量的典型符号组成，有些是该领域最早采用的元素，而有些则是用来表达更复杂的概念的。

一般来说，谓词逻辑的核心元素包括变量、函数、正则表达式、关系以及动词。

每一个元素都有其特定的含义，它们构成了谓词逻辑的基础。

变量是谓词逻辑的重要元素，通常以字母（X，Y，Z等）开头，用来指代任意可能的值。

函数也是一种重要的元素，它是由变量和常数组成的关系，其结果是一个特定的值。

正则表达式用来定义特定类型的变量，而关系则是把变量之间连接起来，形成了一种特殊的关系。

最后，动词从句就是用来表达这种特定关系的，它通常以“动词+物体”的格式出现，为变量之间的关系进行解释。

谓词逻辑的最终目的，是研究在不同的语言环境中，哪些元素能够结合起来组成真正有意义的句子，以及怎样读取和理解更复杂的句子。

为了达到这一目的，谓词逻辑的术语和符号分析经常用到，以研究不同语言的特点，提出各种有效的结构和概念，以实现各种自然语言操作。

谓词逻辑在大规模应用方面，也有着延伸的实用价值。

它们被广泛使用在人工智能系统、语音识别、推理机和知识表示等领域，为这些系统提供解决问题的方法和解决方案。

此外，谓词逻辑还被广泛应用于程序设计上，以便编写出更复杂的程序来表达更复杂的语言概念。

总之，谓词逻辑提供了一种既有趣又实用的方法来理解和描述语言的核心结构，并且有许多实用价值。

通过对谓词逻辑系统的认识和了解，可以更好地掌握不同语言的特点，从而更好地掌握其它领域的知识。

离散数学(2.3谓词公式与翻译)

离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &

数学逻辑中的一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑的语义

数学逻辑是研究数学推理和证明方法的学科。

在数学逻辑中，谓词逻辑是一种非常重要的形式系统。

谓词逻辑用符号和符号之间的关系表示命题，并用符号中的“谓词”来描述对象的性质和关系。

在谓词逻辑中，一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑是两个重要的分支。

一阶谓词逻辑（First-order Predicate Logic）是最基础的谓词逻辑系统。

一阶谓词逻辑的语义是通过解释来给出的。

解释是对语言中的符号赋予具体含义的规则集合。

在一阶谓词逻辑中，可以定义一个解释为一个二元组I = (D,I_P)，其中D是指定解释领域的非空集合，I_P是一个函数符号I_P：P→P_D，其中P是谓词集合，P_D是P在解释下的解释集合。

解释同样给出了变量的赋值方式，将变量映射到解释领域中的元素。

谓词逻辑的公式由语言中的常量、变量、谓词和逻辑符号组成，通过一组递归定义的规则来构建。

一阶谓词逻辑的语义可以通过“模型”来描述，模型是一个三元组〈D, I_P, I_FS〉，其中D是一个非空集合，I_P是P在模型下的解释集合，I_FS是F在模型下的解释集合。

一阶谓词逻辑中的命题公式的语义是通过赋值和解释进行定义的，一个公式在模型M中是真的，当且仅当它在M中对应的赋值结果是真的。

二阶谓词逻辑（Second-order Predicate Logic）是一阶谓词逻辑的扩展。

在二阶谓词逻辑中，除了一阶逻辑中的常量、变量、谓词和逻辑符号外，还引入了一个新的概念：谓词变元（Predicate Variable），表示谓词的参数是谓词变元。

在二阶逻辑中，谓词可以作为参数进行量化。

与一阶谓词逻辑不同，二阶谓词逻辑的语义需要通过解释和“代入”来给出。

解释在二阶谓词逻辑中同样包括解释领域和函数符号的解释，但还需要对谓词变元进行解释。

二阶逻辑中的公式的语义是通过赋值和代入来进行定义的，一个公式在给定的解释、代入和赋值下是真的，当且仅当它对应的代入和赋值的结果是真的。

总而言之，一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑在语义上有一些差别。

谓词逻辑(第一部分)(Chapter 3 Predicate Logic)....ppt

注：上述连字符，只是为了便于阅读，可有可无。
由上述可知，表示知识的陈述性 形式称为命题。
2019-12-2
谢谢你的观看
5
带有参数的命题叫谓词，比起命 题来，谓词有更强的表达能力。谓词 逻辑可以表达那些无法用命题逻辑表 达的事实。因为：
（1）命题没有概括能力。
为了表达：“XX是一个城市”，则有多少个城市 就要用多少个命题来表示：
步1. For (x) SET(x), then (y) SET(y), |y| > |x|
存在量词 x：表示“存在一个x，至少有 一个x”
(x)[ROBOT(x) COLOR(x, GRAY)]
(x) INROOM(x, R1)
2019-12-2
谢谢你的观看
19
(8) 约束变量：经过量化的变量
自由变量：未经量化的变量
我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
谢谢你的观看
13
(1) 原子公式：由若干谓词符号和项组成。
(2) 常量符号（项）：表示论域内的物体或实
体，可以是物、人、概念或事情。
(3) 变量符号（项） ：允许不必明确涉及是哪
一个实体，如INROOM(X, Y), X, Y即为变量。
(4) 函数符号：表示论域内的函数。例如函数
符号MOTHER可表示某人与他或她母亲的映射。
P（加上划线）
Conjunction(and) P Q
P&Q P·Q PQ P,Q
Disjunction(or) P Q
P|Q P;Q P+Q
Implication(if) PQ PQ P Q
Equivalence(iff) PQ PQ PQ

经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释

经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释经典命题逻辑（Classical Propositional Logic，CPL）和谓词逻辑（Predicate Logic，PL）是常见的两种逻辑。

下面将分别对它们的语义解释进行简要说明。

一、经典命题逻辑的语义解释经典命题逻辑是一种用于判断正确性的逻辑，基于“命题（proposition）”的概念来描述逻辑结构。

命题是一个具有真假性的陈述，例如“太阳从东方升起”。

CPL可以用逻辑符号来表示命题，如“∧”表示逻辑与，“∨”表示逻辑或，“¬”表示逻辑非等。

下面是CPL语义解释的基本概念：• 模型（Model）：对于一组命题，在逻辑上称为“命题系统”，如果存在一组真值赋值（True/False Assignment），使得对于系统中的所有命题，每个命题都能够被赋予相应的真假值，则称这个真值赋值是模型。

也就是说，模型是对命题系统的一种真值解释，通过模型可以判断命题系统的真伪性。

• 句子（Sentence）：CPL中的句子由一个或多个命题构成，并由逻辑符号组合而成。

例如，P∧Q就是由P和Q组成的一个句子。

句子的真假性取决于其中每个命题的真伪性以及逻辑符号的作用。

如果一个句子是真的，那么我们就说它是“可满足的”。

• 命题公式（Propositional Formula）：命题公式是指由命题和逻辑符号组成的复杂语句。

命题公式可以被看做是一种特殊的句子，句子是命题公式的实例。

例如，P∧(Q∨R)就是一个命题公式。

二、谓词逻辑的语义解释谓词逻辑是经典命题逻辑的扩展，用步骤更加精细的方式来描述命题的结构。

谓词逻辑是一种用于描述命题关系的逻辑。

它使用“命题变量（variable）”和“谓词（predicate）”这两个概念来构建命题。

命题变量代表某种对象，谓词则代表这些对象的性质或关系。

例如，如果我们有一个谓词“有色彩（colored）”，那么我们就可以将一个命题变量“x”替换为具体对象，如“苹果”，称得到的命题为“苹果有色彩”。

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前言
在谓词逻辑中，如果 设： H(x)： x是人。 M(x)： x是要死的。 a： 苏格拉底。 前提：(x)(H(x) →M(x))，H(a) 结论：M(a) (x)(H(x)→M(x))∧H(a)M(a)
前言
主语 客（个）体 谓语 谓词
客体可以独立存在，它可以是具体的，也可 以是抽象的。
2-2.1 命题函数
定义1：简单命题函数(simple propositional function)： 由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称 为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)， L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一 个特殊情况。
H(x,y): x相信y
原命题符号化成:
(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
例8: “存在唯一的对象满足性质P”。 解: 设: P(x): x满足性质P 原命题符号化成: (!x)P(x) 或: 设: P(x): x满足性质P; E(x,y):x和y是同一个个体 原命题符号化成: (x)( P(x) (y)( P田径运动员， B(x):x是球类运
P59 (1) a),b),c)
a) 设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示
动员，h:他，则原命题表示为： S(h) B(h)
c) 设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小
莉，则原命题表示为： C(a) B(a)
注意：命题函数不是一个命题，只有客 体变元取特定客体时，才能成为一个命题。 但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命 题函数以下两方面有极大影响： (1) 命题函数是否能成为一个命题；
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
前言
在命题逻辑中，如果 设： P：凡人都是要死的； Q：苏格拉底是人； R：苏格拉底是要死的。 前提：P,Q，结论：R。 则(P∧Q)→R表示上述推理， 这个命题公式不是重言式。
(1) 在讨论有量词的命题函数时如果事先没有
给出个体域，那么都应以全总个体域为个 体域。
(2) 对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。
对存在量词，特性谓词常做合取项。
举例说明：
例1．“有些人是要死的”.
解1：
设:
采用全体人作为个体域.
G(x): x是要死的.
原命题符号化成: (x)G(x) 解2： 采用全总个体域.
例3: “存在最小的自然数”。
解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: 注意量词顺序: (x)(y)G(x,y)
(y)(x)G(x,y):
“没有最小的自然数”.
解2: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x<y;
原命题符号化成: (x)(F(x) ∧ (y)(F(y) →G(x,y)))
而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。 为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究 谓词逻辑（Predicate Logic）。
前言
比如： P：张三是大学生 Q：李四是大学生 以上这些命题都具备有一个共同的特征就是： x是大学生。 P(x)就可以代表这一类的命题。 P(x) ： x是大学生，a：张三， b：李四， P(a)：张三是大学生 P(b)：李四是大学生
2-2.1 命题函数
定义3：谓词填式
单独一个谓词不是完整的命题，把谓词 字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。 例如：P(x)表示x>3，则P(1)、 P(2)、 P(5)分别表示1大于3，2大于3，5大于3， P(1)、 P(2)、 P(5)即是谓词填式。
2-2.1 命题函数
定义4：谓词表达式 简单命题函数与逻辑联结词组合而成。 示例分析 为：W(z)
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表 示“2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单 命题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定 义 2： 复 合 命 题 函 数 （ compound propositional function）： 由一个或n个简单命题函数以及逻辑联 结词组合而成的表达式。 命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含 义完全相同。 举例说明：P56例１，例２
2-2 命题函数与量词
2-2.1 命题函数 一般来说，当谓词P给定， x1,x2,…,xn 是客体 变元 ，P(x1,x2,…,xn) 不是一个命题，因为他的真 值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常 项代替n个客体变元。 P(x1,x2,…,xn) 就是命题函数。 比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了 一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个假命 题“5小于1”
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符 号化之前必须确定个体域。 第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。 G(x)： x活百岁以上。 则有 和 (x) F(x) (x) G(x)
2-2.2 量词
定义2．存在量词(existential quantifier) 用符号“”表示。x表示存在个体域里的个体。 (x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”， “存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values:（x）P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-1.2 谓词的表示：
用大写英文字母 A,B,C,D,…,表示谓词， 用小写字母表示客体。 前面的例子可表示为： (1) A(x): x是三好学生，h:他， A(h): 他是三好学生 (2) G(x,y): x大于y， G(5,3): 5大于3
2-1.3如何利用谓词表达命题：
用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体 两个部分。比如： A(x)可以表示“x是A”类型的命题，表达了 客体的性质，称为一元谓词 。 B(x,y) 可以表示“x小于y”类型的命题，表 达了客体之间的关系，称为二元谓词， 。 L(x,y,z) 可以表示“点x在y与z之间”类型 的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓 词。 用P(x1,x2,…,xn)表示n元谓词，在这里n个 客体变元的顺序不能随意改动。
这两个命题都是真命题
2-2.2 量词
第二种情况．个体域D为全总个体域。 不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，因 为: (x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的， 这与原命题不符。 (x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百 岁以上，这与原命题不符。
2-2.2 量词
因此必须引入一个新的谓词，将人分离 出来。在全总个体域的情况下，以上两个命 题叙述如下： (1) 对于所有个体而言，如果它是人，则 它要死去。 (2) 存在着个体，它是人并且活过百岁以 上。 于是，再符号化时必须引入一个新的谓 词 M(x)：x是人。 称这个谓词为特性谓词。
(2) 命题的真值是真还是假。
2-2.1 命题函数
个体域(universe of discourse)： 在命题函数中，命题变元的论述范围称 为个体域。 全总个体域： 个体域可以是有限的，也可以是无限的， 把各种个体域综合在一起，作为论述范围的 域，称为全总个体域。
2-2.2 量词
例题：符号化以下命题 (1) 所有人都要死去。 (2) 有的人的年龄超过百岁。 以上给出的命题，除了有个体词和谓词 以外，还有表示数量的词，称表示数量的词 为量词。量词有两种： 全称量词(universal quantifier) 存在量词(existential quantifier)
例6: “有的汽车比火车快”。
解: 设: F(x): x是汽车; G(x): x是火车;
H(x,y): x比y快
原命题符号化成:
(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
或:
(x)(y)(F(x)G(y)H(x,y))
例7: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生;
设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”.
解1: 采用全体人作为个体域.
设:
G(x): x是要死的.
(x)G(x)
原命题符号化成: 解2:
采用全总个体域.
设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))