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知识表示的形式逻辑谓词
逻辑谓词是知识表示的一种重要形式，主要用于描述对象之间的关系。
在人工智能和计算机科学中，逻辑谓词被用来构建形式化的知识表示系统，例如一阶谓词逻辑。
谓词通常表示为一个函数，该函数在某些对象上取值，并返回一个布尔值（真或假）。
例如，谓词“P(x) 表示x 是一个学生”中，P 是一个谓词，x 是其参数，当x 是一个学生时，P(x) 返回真，否则返回假。
通过组合和嵌套谓词，可以表示复杂的关系和事实。
例如，谓词“Q(x, y) 表示x 喜欢y”和“R(x, y) 表示x 和y 是朋友”可以组合成新的谓词“S(x, y) 表示x 喜欢y 并且x 和y 是朋友”，即S(x, y) = Q(x, y) ∧ R(x, y)。
逻辑谓词具有以下优点：
精确性：逻辑谓词可以精确地描述对象之间的关系，避免了自然语言中的模糊性和歧义性。
形式化：逻辑谓词提供了一种形式化的语言，使得知识表示可以被计算机处理和理解。
可扩展性：通过组合和嵌套谓词，可以构建更复杂的知识表示系统。
然而，逻辑谓词也存在一些局限性，例如难以处理不确定性和模糊性等问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的知识表示形式。
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
谓词逻辑表示法是把一些知识表示为经典逻辑中的谓词表示式。
它只能表示出精确的知识，而对不确定的知识无法有效表示，同时这种表示方式也不能很好地体现知识的内在联系。
在进行教学时，首先需要通过实例让学生了解什么是命题和命题公式，什么是谓词和谓词公式，然后用实例来分析讲解将知识表示为谓词公式的过程：1）定义谓词和个体例：王先生是李文的老师。
首先定义谓词：TEACHER(X,Y):X 是Y 的老师，而后定义个体：王先生(Wang)，李文（LiWen ）；2）为每个谓词中的变元赋以特定的值：TEACHER(Wang,LiWen)；3）根据所要表达的知识语义，以适当的连接词和量词符号将各个谓词连接起来，得到知识的谓词公式：TEACHER(Wang,LiWen)。
在理解连接词∧(逻辑与)、∨（逻辑或）、┐（逻辑非）时可以参考我们平时的语言中的“并且”、“或者”、“不”，对P →Q 的理解可以参考┐P ∨Q 。
在此节只要求学生对谓词表示法有了解，命题的证明等内容不做要求，可以将相关内容放在辅助教学网站的拓展篇，以满足不同学生的需求。
在教学中除了书本中介绍的例子之外，还可以使用以下例子。
例1：用谓词逻辑和公式表达意境。
分析如下命题和谓词逻辑，并尽可能正确表达它的含义：（1） 蓝的（天）∧飘（白云）∧奔跑（马儿）∧飞翔歌唱（鸟儿）；答：这是一个由“与”关系连接起来的谓词逻辑公式，它表达了一种大自然的景观：蓝色的天上白云飘飘，马儿在奔跑，鸟儿在飞翔歌唱。
（2） )(x {好姑娘（x ）∧居住的地方(z,x) ∧遥远的(z) ∧(y)[人(y) ∧行走经过(y,z) →回头留恋地张望(y)]}答：这是一个既有谓词表示，又有命题逻辑表达，既有连接词，又有全称量词和存在量词的较复杂的谓词公式，它表达的意思是：在那遥远的地方，有位好姑娘，人们经过她的身旁，都要回头留恋地张望。
这就是青海民歌《在那遥远的地方》（王洛宾词曲）中的意境。
一阶谓词逻辑的例子一阶谓词逻辑是数理逻辑的一种重要分支，用来描述命题逻辑中不可分解的具体对象和其属性之间的关系。
下面将列举10个例子，以便更好地理解一阶谓词逻辑的应用。
1. 人类学科的分类命题：所有人类学科都是社会科学。
谓词：学科是社会科学。
量化：∀x 学科(x) → 社会科学(x)2. 数学定理的证明命题：如果一个数是偶数，则它的平方也是偶数。
谓词：数是偶数，数的平方是偶数。
量化：∀x 偶数(x) → 偶数(x^2)3. 学生成绩评定命题：如果一个学生的考试成绩高于60分，则他及格。
谓词：学生的考试成绩高于60分，学生及格。
量化：∀x 考试成绩高于60分(x) → 及格(x)4. 飞机航班延误命题：如果一个航班的起飞时间晚于计划起飞时间，则它延误。
谓词：航班的起飞时间晚于计划起飞时间，航班延误。
量化：∀x 起飞时间晚于计划起飞时间(x) → 延误(x)5. 车辆交通违规行为命题：如果一辆车闯红灯，则它违规。
谓词：车辆闯红灯，车辆违规。
量化：∀x 闯红灯(x) → 违规(x)6. 数学集合运算命题：如果一个元素属于集合A并且不属于集合B，则它属于A-B。
谓词：元素属于集合A，元素属于集合B，元素属于集合A-B。
量化：∀x (属于(A,x) ∧ ¬属于(B,x)) → 属于(A-B,x)7. 人类语言学命题：如果一个词是名词，则它可以被复数化。
谓词：词是名词，词可以被复数化。
量化：∀x 名词(x) → 可以被复数化(x)8. 物理学中的牛顿第二定律命题：如果一个物体受到力的作用，则它会产生加速度。
谓词：物体受到力的作用，物体产生加速度。
量化：∀x 受力作用(x) → 产生加速度(x)9. 金融投资策略命题：如果一个投资组合的回报率高于市场平均回报率，则它具有优势。
谓词：投资组合的回报率高于市场平均回报率，投资组合具有优势。
量化：∀x 回报率高于市场平均回报率(x) → 具有优势(x)10. 生物学中的进化理论命题：如果一个物种的适应度高于其他物种，则它在进化中具有优势。
第三章谓词逻辑第三章谓词逻辑例3.2.1 在谓词逻辑中将下列命题符号化：（1）每个人都有心脏。
（2）有的狗会飞。
解：（1）若将个体域取为人的集合，且H(x)：x有心脏，则该命题符号化为：?x H(x)。
如果将个体域取作所有生物的集合，则需要引入表示人的集合的特性谓词P.P(x)：x是人。
这时，该命题可符号化为：?x(P(x)→H(x))。
例3.2.2 将命题“并非A中的每个数都小于或等于B中的每个数”按以下要求的形式表达出来：（1）出现全称量词，但不出现存在量词；（2）出现存在量词，但不出现全称量词。
解：（1）??x（x∈A →?y(y∈B → x≤y)）.（2）?x（x∈A ∧?y(y∈B ∧ x>y)）.说明：可以证明二者是等价的：x（x∈A →?y(y∈B → x≤y)）= ?x?（?（x∈A）∨?y(?（y∈B）∨ x≤y)）= ?x（??（x∈A）∧??y(?（y∈B）∨ x≤y)）= ?x（x∈A∧?y(??（y∈B）∧?( x≤y)) = ?x（x∈A ∧?y(y∈B ∧ x>y)）3.2.2 求谓词公式在解释下的真值设P(x)是一元谓词，D是个体域，由?x P(x)和?xP(x)的真值指定知，当D={x0，x1，…}是可数集合时，xP(x)的真值为P(x0)∧P(x1)∧…xP(x)真值为P(x0)∨P(x1)∨…这时，判断一个谓词公式在某一解释下的真值可通过按上面两个等价式先将该公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式，再进行判断。
例3.2.4 设个体域D={1，2，3}，P(x) ：x>2。
试判断下列公式的真值：(1) ?xP(x) →P(2)；(2) P(3) →?xP(x).解：（1）?xP(x) →P(2)等价于(P(1) ∨P(2) ∨P(3)) →P(2)所以真值为(0∨0∨1) →0=1 →0=0(2) P(3) →?xP(x)等价于1→( P(1) ∧P(2) ∧P(3))所以真值为1→( 0 ∧0 ∧1)=1 →0=0例3.2.5 构造解释I（假设个体域D={a,b}），使得I弄假如下公式：（2）??xP(x) →?x?P(x)；(2)??xP(x) →?x?P(x)= ?xP(x) ∨?x?P(x)= ( P(a) ∧ P(b)) ∨(? P(a) ∧?P(b))(3)= ( P(a) ∨?P(b)) ∧( ?P(a) ∨P(b))由此可见，若取P(a)=1，P(b)=0，则该解释弄假( P(a) ∨?P(b)) ∧( ?P(a) ∨P(b))，亦即弄假??xP(x) →?x?P(x)。
例1 证明下面诸命题推得的结论是有效的: 如果今天是星期三, 那么我有一次离散数学或数字逻辑测验; 如果离散数学课老师有事, 那么没有离散数学测验; 今天是星期三且离散数学老师有事, 所以, 我有一次数字逻辑测验。
证明先将各命题形式化。
设A: 今天是星期三。
B: 我有一次离散数学测验。
C: 我有一次数字逻辑测验。
D: 离散数学课老师有事。
则本题要求证: A→B∨C , D→┐B , A∧D C。
(1) A∧D（前提）
(2) A ((1),Ｉ1）
(3) A→B∨C（前提）
(4) B∨C ((2), (3), Ｉ11）
(5) D ((1), Ｉ2）
(6) D→┐B（前提）
(7) ┐B（(5), (6), Ｉ11）
(8) C（(4), (7),Ｉ10）
例2 证明三段论方法的正确性：
凡人要死。
苏格拉底是人。
苏格拉底要死。
令H(x): x是人。
M(x): x要死。
a: 苏格拉底。
则本题要证明：x(H (x)→M (x )) , H (a ) M (a )
证明
(1) H (a ) （前提）
(2) x (H (x )→M (x ))（前提）
(3) H (a )→M (a ) （(2),US）
(4) M ( a ) （(1), (3), Ｉ11
例3 用形式证明的方法证明“任何人如果他喜欢步行, 他就不喜欢乘汽车,每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱跨自行车, 所以
有的人不爱步行。
”
证明设个体域为全体人的集合。
P (x): x喜欢步行。
Q (x): x喜欢搭车。
R (x): x喜欢骑自行车。
则本题要证明:
x (P (x)→┐Q (x )), x (Q (x )∨R (x )) , x┐R (x ) x┐P (x )本题证明树如图2―2。
其证明过程如下:
(1) x ┐R (x)（前提）
(2) ┐R (c ) （(1), ES）
(3) x (Q (x )∨R (x)) （前提）
(4) Q (c )∨R (c ) （(3), US）
(5) Q (c)（(2), (4),Ｉ10）
(6) x (P (x )→┐Q (x )) （前提）
(7) P (c )→┐Q (c)（(6), US）
(8) ┐P (c ) （(5), (7), Ｉ12）
(9)x┐P (x) （(8), EG）
例4 将下列推理符号化, 并推证其结论:
所有有理数是实数, 某些有理数是整数, 因此某些实数是整数。
解：设
R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
I(x)：x是整数。
则上述推理可符号化为：x(Q(x)→R(x))，x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。
结论推证如下：
① x(Q(x)∧I(x)) (前提)
②Q(a)∧I(a) (①，ES)
③Q(a) (②，I1)
④I(a) (②，I2)
⑤x(Q(x)→R(x)) (前提)
⑥Q(a)→R(a) (⑤，US)
⑦R(a) (③，⑥，I11)
⑧R(a)∧I(a) (④，⑦，I9)
⑨ x(R(x)∧I(x)) (⑧，EG)
∴x(Q(x)→R(x))， x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。
