高等数学：第七讲 洛必达法则 二

∞+)内单调递增.
n .x
(7) yxe (n>0, x≥0)
=
3
' n.. 1 xn .xn..
解：y=nx e .xe = 1 x( .) ， (n>0, x≥0) ，
xe nx
当x∈(0, n) 时，y' >0 ，当x∈(,n+∞) 时，y' <0 ，
解：取函数() =ln xa, ∈ +∞), fx () = 1 .a，得驻点x= 1,
fx .xx (0, '
x a
4
当0 <<1
时，fx >0 ，因此函数x 在(0, 1
x '( ) f ())内单调增加；
aa
1 <<∞ '
xf ()1
当x +时，f () <0 ，因此函数x 在(, +∞) 内单调减少.
从而f ()为最大值,又lim fx =.∞， lim fx =.∞，故
1+()()(aa)
ax→0 x→+∞
1 1 1
..
当f ..=ln .1 =0 ，即a =时，曲线y =ln x .ax 与x 轴仅有一个交点，这时原方程
..aa e
有惟一实根.
当f ..1 =ln 1 .>0 ，即0 <<1
x 1 = lim
.1 =.
x.>1 x .1 x .1 x.>1 x .1 x.>12x 2
1
(16) lim ( ) tan x
x.>0+ x

在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧

§3. 2 洛必达法则主要内容：洛必达法则；重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件； 难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。

一、00型及∞∞型未定式解法：洛必达法则 定义1 如果当()x a x →→∞时，两个函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限()()()limx ax f x g x →→∞叫做未定式，并简记为00∞∞或。

如重要极限sin lim x x x →就是00型未定式的一个例子。

此时“商的极限等于极限之商”法则失效。

那其极限如何求？ 1：型未定式 定理1(洛必达法则)：设01)lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==2）在点0x 的某个去心邻域0(,)x δ内，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)0()lim()x x f x g x →''存在（或为无穷大）， 那么00()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='。

定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。

证明：利用柯西中值定理推导。

注意:1. .若0()lim()x x f x g x →''仍属0型，且(),()f x g x ''满足定理1条件，则 000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''。

且可以类推下去，直到求出极限。

2.定理1中0x x →换为0,x x +→0x x -→之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。

定理2 设：设1)lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞==2) X ∃当x X >时，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)()lim()x f x g x →∞''存在（或为无穷大）， 那么 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='。

,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题

x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )

e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得

B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1

e
lim
x 1
x 1
e .

则 lim f ( x) lim f ( x) A (或). xa F ( x) xa F ( x)
柯西定理 在(a, x)内至少存在点 ,使
f (x) F(x)
f (x) f (a) F(x) F(a)

f ( ) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a, (3) lim f ( x) A
例
求 lim x
sin 2 x
cos
1 x x
( 1
)
x ln sin
2

cos
1

解 原式 lim e x
x
x
还有别的方法吗?
lim1
1
x

e
x x
lim x ln sin 2 cos 1 (0 )
e x x
ex x2(

)

lim
x
ex
(
2x

)
lim e x x 2
.
例
求
lim
x
x(
2
arctan x).
(
0
)

解
原式
lim
x
2
arctan x 1
(
0 0
)
x

lim

1
1 x
2
x
1
x2
x2

lim x 1
x2
1
2. 型 步骤: 1 1 0 0 0
一、0 型, 型未定式 0
定理1 设函数 f ( x)及F( x)满足条件
(1)lim f ( x) 0(或), lim F( x) 0(或);

简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。

f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0

洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

ln3 abc
1
lx im 0ax
bx 3
cxx
3
abc
高等数学（上）
例12. 确定常数a、b,使极限
lim 1aco2xsbco4xs存在，并求出其值。
x 0
x4
=8/3，其中a
高等数学（上）
课堂练习
一、 用洛必达法则求下列极限：
1、l im(sinx)1c1osx x0 x
;
ln1(1)
x 0
x 0 coxt
co lim x0 cs
tx c2 x
lim (s x 0
ixnc
ox)s
0.
∴
limsinxt
x0
anx
e0
1.
0 0 e 0 ln 0 e 0
高等数学（上）
类似
1 e l1 n e 0
0 e 0 l n e 0
1
例11
求
lxim0
ax
bx 3
cx
x
[ a ,x ]上满足柯西中值定理的条件 .
因而有 f(x)f(x)f(a) f ( ) (在x与a之间 )
F(x) F(x)F(a) F ( )
当 x a 时 , a,limf(x) A,limf() A,
xa F(x)
a F()
lx iam F f((x x))l iam F f(())A .
解 原式＝lxim0 x3lxn1(si2n3xx2)
lxi m 0 3x2sx3in3x
lxi m0336cx2o3sxlxi m0 (43xx)22
Байду номын сангаас
9 4
高等数学（上）
例10 求 limsinxtanx. x0

1 x2
型

lim
x
1
x2 x2
lim
x
1
1 x2
1
1
思考:
如何求 lim
n

2

arctan
1
n
(
n
为正整数)
?
n
例3. 求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式

tan x x
lim
x0
x3

lim
x0
f
( x)


lim
xa


f ( x) 2 F(x)
F ( x) f ( x)


lim xa
f ( x) 2 F(x)
lim
xa
F ( x) f ( x)
1 lim f ( x) lim F ( x) xa F ( x) xa f ( x)
Note: 定理中 x a 换为
x a, x a,
x ,
x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
例4. 求
型

解:
Байду номын сангаас
1
原式

lim
x
x
n x n1

lim
x
1 nxn
0
例5.
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
lim f () 3)
xa F ()
( 在 x , a 之间)

函数F(x)，G(x).
f ( x), x a, F ( x) x a, 0,
仿上述推证可得
g ( x), x a, G ( x) x a. 0,
f ( x) F ( x) F ( x) f ( x) lim lim lim lim . x a g ( x) x a G ( x) x a G ( x) x a g ( x)
1 1 ln(1 ) cos x x 例11 求 lim . x arc cot x
解
0 所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则. 0 1 但是注意到所求极限的函数中含有因子 cos ， x 1 1 且 lim cos 1 ，因此极限不为零的因子 cos x x x 不必参加洛必达法则运算.
当x a时，必有 a，因此
f ( x) f ( ) f ( ) f ( x) lim lim lim lim . x a g ( x) x a g ( ) a g ( ) x a g ( x)
如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新
如果先令 x t，x 0 时， t 0 ,因此
lim ln t 2 ln t x ln x lim 2 lim 1 x 0 x 0 1 t t
2 lim
x 0
x 0
1 t 0. 1 t
2
x 3 例8 求 lim( ). 3 x 1 1 x 1 x
e x lim xa 1 e
a
.
1 cos 1 x . lim 例2 求 x 1 x 0 1 解 为 型，由洛必达法则可解,设 t ,则 0 x 1 cos 1 cos t 1 x lim lim x t 0 1 t x sin t lim t 0 1 0.

例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中

（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
实际问题求最值应注意: (1)建骤: 例11 解
步骤:
例12 解
例13 解
三、小结 洛必达法则
第三节 导数的应用
n 函数的单调性 n 曲线的凹凸性 n 曲线的拐点 n 函数的极值 n 函数的最值
一、单调性的判别法 定理
例1 解
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判 别一个区间上的单调性．
注意:
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例3 解
五、函数的最值
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其 中最大者即为函数在该区间上的最大值，最小者为函 数在该区间上的最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最 大值或最小值)
第二节 洛比达法则
定义 例如,
定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确 定未定式的值的方法称为洛必达法则.
例1 解 例2 解
例3 解
例4 解
洛比达法则失效，条件是充分而非必要的
定理
例6 解
例7 解
例8 解 例9
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .
例题 例4 解 计算
比较得
例5 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元 时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需 花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最 大收入？
解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 每月总收入为

x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x


lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x

n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e

当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )

lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx

y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )

−1
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3

− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2



+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊