最新高等数学洛必达法则

在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧

由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y x

y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0

步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )

nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
13
例7.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
f (x)
0型
0
F
1 2 ( x)
F
(
x)
lim
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)

lim
xa


f (x) 2
F (x)
F ( x) f (x)

lim xa
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F ( x) f (x)
1 lim f (x) lim F(x) xa F (x) xa f (x)
xk ex

xn ex

xk 1 ex
lim
x
xk ex

lim
x
xk 1 ex
0

lim
x
xn ex

0
用夹逼准则
14
说明:
1) 例6 , 例7 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
例6.
lim

ln x xn
从而
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
12
例6. 求
型

x ( 1)
lim x
x
x
1
1 x2

1 x2
x2

lim x 1
x2
lim x
1 1 x2 1

1.
4
例3 求 lxim 1 x3x3x23xx21 . 解 lxi m 1 x3x3x23xx21 00 lxim 1(x(3x3x23xx2)1)
lnsinax xl im0 lnsinbx,(

)
1
定理 设 limf(x)0，limg(x)0，
xa
xa
在 U(aˆ,) 内，f(x)，g(x)都存在，且 g(x)0，
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)

lim
xa
g( x)
存在（或无穷大），
则 limf(x)limf(x) xa g(x) xa g(x)
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
10
例9
求
tanxx lx i m 0 x2 tanx
.
解
0
原式 lx i0 m taxx n3x 0 lxim0 s
e
c2 x 1 3x2
0

lim
x0
tan2 x 3x2
0 l i m2sec2 xtanx
x0
6x
1
1x
lim( 3x0 c
2.每次使用前都应检查是否为
0 0
，其它两个条件在计算
中可得到检验（是否可导，lim xa
f F
( (
x) x)
是否存在）.
3.当x a，x a，x， x ， x 时，
该法则仍然成立.
4.xa，x时的未定式

与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。

2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
,
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
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注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．
2
1 ln(1 + ) x ； 2、 2、 lim x → +∞ arctan x
3、lim x cot 2 x ；
x →0
2 1 )； 4、 − 4、lim( 2 x →1 x − 1 x −1
1 tan x 6、 6、 lim ( ) ； x → +0 x
5、 lim x
x → +0
sin x
；
解 原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
= lim e
1 ln x
=e
ln x x →11− x lim
=e
1 lim x x → 1 −1
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
.
1 ln x
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 运用对数恒等式得 (cot x)

第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。

§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。

例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。

在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。

下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。

一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。

证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。

注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。

（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。

2e xe
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤

，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x

0
x
x
1
e x e x 2

则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，

lim
x→0+
ex2－x 1＝xl→ im0+
e2x＝12，故 a≤12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，12.
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
由洛必达法则知
lim
x→0+
ex－xx2－1＝
gf′′xx＝A(可连续使用).
例 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围.
解 方法一 由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，
当x＝1时，不等式成立，
当 x>1 时，a≤xx22－ln 1x， 令 g(x)＝xx22－ln 1x(x>1)，则 g′(x)＝xx2－ x21－－122ln x，
因为 x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－2x>0，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，
故
g′(x)＝xx2－ x21－－122ln
x >0.
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
则 g(x)>g(1)，由洛必达法则知lim x→1
x2ln x x2－1
2 a 1
所以f(x)min＝f( e 2 )
2 a 1
＝(e 2
)2·2a2－1－a[( e
2a1 2

() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2

2
→0+

=
=
(
−
→0+ 2

1
)2
1
2
−
=
= .

2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类

x 0
x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 解 解 lim 3 2 x 3x
x 0
6x
6
下页
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 2x 1 ( 型) 例3.2.1 求 lim . 0 x 0 x
解
2x 1 lx 1 6 x 2 62 2
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
注意
每次运用洛必达法则之前应检查极限是否为
0 型或 型，如果不是就不能使用. 0
ln x ( n 0) . ( 型) 例3.2.3 求 xlim x n
第3章 中值定理 与导数的应用
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 一． 型和 型未定式 0
定理（洛必达法则）设
§3.2 洛必达法则
(1) 当 x a 时,函数 f ( x ) 和 F (x )都趋于零;
(2) 在
a 点的某去心邻域内, f ( x ) 和 F ( x)
解
1 ln x lim n lim x x x x nx n 1
1 lim 0. n x nx
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
例3.2.4
求
3 x sin 3 x lim . x 0 (1 cos x )ln(1 2 x)
），但当法则条件不满足时，
f ( x ) 的极限不存在时（等于 F ( x )
无穷大的情况除外），
f ( x) F ( x ) 的极限仍可能存在.

x x
x 1
lim
x sin x
lim
(1
sin
x )
1.
x x
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
本节课完结
x
1 x2 1
x2
x2
lim
x
1
x2
lim
x
1
1 x2
1
1.
二、
型未定式
定理3. 设 (1) lim f ( x) , lim F( x) ;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x)
(3)
lim
xa
F
(
x)存在
(或为∞),
则 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
x
x0 x
2
lim (secx 1 ).
x
1 sin x
2
问题: 这些极限是否存在?是什么数值?
一、0 型未定式
0 定理1. 设函数 f (x), F (x) 满足:
(1) lim f ( x) 0, lim F( x) 0;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
F(x)
(2)
f (x) F(x)
F( x) .
1
0
f (x)
例9. 求
lim xn ln x
x0
(n 0).
(0 )

Thank you
பைடு நூலகம்
同济大学高等数学洛必达法则
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。

法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。

例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用

x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x


lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x

n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e

当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )

lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx

y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )

−1
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3

− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2



+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊