确定二次函数的表达式l

确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。

第二讲确定二次函数的表达式目录必备知识点 (1)考点一顶点式求表达式 (2)考点二两点式求表达式 (3)考点三一般式求表达式 (4)知识导航必备知识点知识点1 二次函数的解析式的常见形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。

知识点2 二次函数与一元二次方程关系（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c ＝0根的情况）①抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。

知识点3 待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．考点一顶点式求表达式1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+32．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣43．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△P AB的面积为9，求点P的坐标．考点二两点式求表达式4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P 点的坐标．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点三一般式求表达式7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A 和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．。

2.3 确定二次函数的表达式类型一：顶点和另外一点用顶点式一个二次函数的图象过点〔0，1〕，它的顶点坐标是〔8，9〕，求这个二次函数关系式．练习：抛物线的顶点是〔－1，－2〕，且过点〔1，10〕，求其解析式类型二：图像上任意三点〔现一般有一点在y轴上〕用一般式二次函数的图象过〔0，1〕、〔2，4〕、〔3，10〕三点，求这个二次函数的关系式．练习：抛物线过三点：〔－1，2〕，〔0，1〕，〔2，－7〕．求解析式类型三：图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式二次函数的图象过〔-2，0〕、〔4，0〕、〔0，3〕三点，求这个二次函数的关系式．练习：抛物线过三点：〔－1，0〕、〔1，0〕、〔0，3〕．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？稳固练习：1.二次函数的图象过〔3，0〕、〔2，-3〕二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．2..二次函数的图象过〔3，-2〕、〔2，-3〕二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．3.二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。

假设AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式4.一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点〔0，1〕,求这个二次函数的关系式．小测：1.二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，那么解析式为。

2.假设一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为〔1, 5〕，那么它们的解析式为。

3.一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。

4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．5．二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．8.抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，假设存在，求出C点的坐标；假设不存在，请说明理由．。

第二章 二次函数2.3 确定二次函数的表达式（1）一、知识点用待定系数法求解二次函数表达式二、教学目标知识与技能：1.能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式.2.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感与态度：1.能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念.2.养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.三、重点与难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.四、引入新课(放幻灯片2、3、4）1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)设计意图：利用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式.五、探究新知1.初步探究(放幻灯片5）（1）如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为3)4(2+-=x a y ,又∵图象过点（10，0）,∴03)410(2=+-a ,解得 121-=a , ∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . （2）想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？(放幻灯片6）小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.设计意图：以一个推铅球的实际情境引入，教学时要引导学生观察图象中隐含的信息，鼓励他们尝试确定二次函数的表达式.2.初步探究例1 (放幻灯片7）已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.5,2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.3.深入探究（1）已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. (放幻灯片8、9）解法1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，∵图象经过点(2,5)和(-2,13)∴⎩⎨⎧=+-=++,13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y设计意图：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c=1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.（2）想一想(放幻灯片10）在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？六、课堂练习(放幻灯片11)七、课堂小结(放幻灯片12、13）1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.2.用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.3.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）八、课后作业(放幻灯片14)。

二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。

2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章第3节的内容。

本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。

教材通过实例引导学生探究二次函数的解析式，让学生在实际问题中体会数学的应用价值。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本概念，并了解了一次函数和正比例函数的解析式。

因此，学生在学习本节课时，具备了一定的数学基础。

但部分学生对于待定系数法求解二次函数解析式的理解可能存在困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和讲解，帮助他们理解和掌握待定系数法的运用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。

2.过程与方法：通过探究二次函数的解析式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式及其求解方法。

2.难点：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生探究二次函数的解析式；以实际案例为例，讲解待定系数法的运用；小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生探究二次函数的解析式。

2.准备PPT，展示二次函数的图像和解析式。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。

然后提出问题：“如何表示这个二次函数？”引发学生的思考。

2.呈现（15分钟）通过PPT呈现二次函数的解析式，解释二次函数的各个系数代表的意义。

同时，引导学生观察解析式与图像之间的关系。

3.操练（20分钟）以实际案例为例，讲解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。

求二次函数解析式的三种方法二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$。

它是数学中的基本函数之一，广泛应用于物理学、经济学、工程学等学科中。

解析式是指能够明确表达函数关系的数学表达式。

下面将介绍三种常用的方法来确定二次函数的解析式。

第一种方法是使用差值法。

差值法是通过给定的点来确定二次函数的解析式。

假设已知二次函数过三个不同的点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，那么可以将这三个点带入二次函数的解析式中，得到如下的方程组：$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\ax_3^2+bx_3+c=y_3 \\\end{cases}$$解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。

第二种方法是使用顶点法。

顶点法是通过二次函数的顶点坐标来确定解析式。

二次函数的顶点坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来求得。

将这个顶点坐标代入二次函数的解析式中，可以得到一个等于顶点对应的函数值的方程。

结合另外一个给定点的坐标，可以得到一个方程组。

解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。

第三种方法是使用因式分解法。

因式分解法是将二次函数的解析式进行因式分解，从而得到函数的解析式。

对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以将其写成$y=a(x-p)(x-q)$的形式，其中$p$和$q$是实数。

展开右边的乘积，可以得到如下的方程：$$ax^2+bx+c=a(x^2-(p+q)x+pq)$$通过比较系数，可以得到以下等式：$$\begin{cases}p+q=-\frac{b}{a} \\pq=\frac{c}{a}\end{cases}$$解这个方程组可以得到$p$和$q$的值，从而确定二次函数的解析式。

以上就是三种常用的方法来确定二次函数解析式的介绍。

二次函数共存问题是指在一个数学模型中，存在两个或多个二次函数图像（抛物线）相交或重叠的情况。

这种问题通常涉及到求解方程、图像分析和函数性质等内容。

在解决二次函数共存问题时，我们可以采取以下步骤：
确定二次函数的表达式：首先，确定参与共存的两个二次函数的表达式。

一般而言，二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次函数的系数。

确定共存条件：通过分析题目给出的条件，确定存在共存的条件和要求。

这可能包括函数取值范围、函数值的关系、图像的交点等等。

求解方程：根据共存条件，建立相应的方程并求解。

方程的求解可能需要用到一元二次方程求根公式，也可能需要进行因式分解、配方法等。

分析图像：通过绘制函数图像，分析二次函数的图像特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。

根据共存条件和图像特征，确定二次函数的共存情况。

总之，解决二次函数共存问题需要从方程求解和图像分析两个角度入手，综合考虑共存条件和函数性质。

通过运用数学知识和分析能力，可以找到二次函数共存问题的解答。