欧氏几何的公理化方法 PPT

欧氏几何的原理和应用1. 欧氏几何的概述欧氏几何，是指由希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中所提出的一套基本原理和公理，被广泛应用于平面和空间的几何学中。

它以点、直线和平面为基础，通过定义距离、角度等几何概念，建立了一套完整的几何理论体系。

2. 欧氏几何的基本原理和公理欧氏几何的基本原理和公理包括以下几个方面：•公理1：点线度量公理。

欧氏几何中，可以用长度表示的线段具有可加性，即两个线段的长度之和等于这两个线段连在一起的线段的长度。

•公理2：等距传递性公理。

如果两个线段等距，且一个线段和另一个线段等距，则这两个线段之间的所有线段都等距。

•公理3：等角传递性公理。

如果两个角等对顶角，且一个角和另一个角等对顶角，则这两个角之间的所有角都等对顶角。

•公理4：一致性公理。

如果点A在线段BC上，点B在线段CD上，则点A、B、C、D四个点在同一条直线上。

3. 欧氏几何的应用欧氏几何的原理和公理在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：3.1 建筑设计在建筑设计中，欧氏几何的原理和公理被用于确定建筑物的尺寸和布局。

设计师根据欧氏几何的原理进行空间规划，确保建筑物的各个部分符合几何比例和美学原则。

例如，在设计一座居住建筑时，设计师可以利用欧氏几何的原理来确定房间的大小、窗户的位置等，让整个空间更加协调和谐。

3.2 测量和地理学欧氏几何的原理被广泛应用于测量和地理学领域。

地理学家和测量工程师使用欧氏几何的原理来确定地球表面上的距离、角度和面积。

他们通过测量线段长度、角度大小等来绘制地图，并计算出地图上不同地点之间的距离和位置关系。

3.3 计算机图形学欧氏几何在计算机图形学中也扮演着重要的角色。

计算机图形学是一门研究如何利用计算机来生成、处理和显示图像的学科。

在三维计算机图形学中，欧氏几何的原理被用来计算和描述三维空间中的物体和场景。

例如，在计算机游戏开发中，设计师可以利用欧氏几何的原理来实现物体的运动、相机的视角变换等效果。

第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。

2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。

由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。

Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。

每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。

公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。

这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。

6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。

在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。

公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。

2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。

公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。

第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。

”一般由4部分组成：(1)原始概念的列举(2)定义的表达(3)公理的列举(4)定理的表达和证明4个部分不是独立地表达和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。

原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。

如欧氏几何、罗氏几何等。

原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。

原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：◆一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；◆两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；◆过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理是“在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。

一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。

因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。

2．公理系统的三个基本问题(1) 相容性 (无矛盾性)假设由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。

靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。

要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。

先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。