(整理)数值分析计算方法超级总结

大学数学易考知识点数值分析的基本方法和应用大学数学易考知识点：数值分析的基本方法和应用一、引言数值分析是现代数学在科学计算和工程实践中的应用研究领域，是研究数值计算方法和数值算法的理论与实践的学科。

在大学数学课程中，数值分析是一个重要的知识点，它涉及到数值计算的基本方法和应用。

本文将介绍数值分析的基本方法和应用，以帮助学生更好地理解和掌握这一易考的知识点。

二、数值分析的基本方法1. 插值和逼近插值与逼近方法是数值分析中常用的方法之一，它们用于通过已知数据点构造一个近似函数，以在给定范围内估计未知数据点的值。

常见的插值与逼近方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘逼近等。

2. 数值微积分数值微积分方法用于对函数进行数值积分和数值微分。

在实际计算中，往往难以通过解析方法求得函数的积分或导数，这时可以利用数值积分和数值微分方法来近似计算。

其中常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等，数值微分方法包括中心差商法、向前差商法、向后差商法等。

3. 常微分方程的数值解法常微分方程数值解法用于求解无法通过解析方法得到解的常微分方程。

常见的常微分方程数值解法有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，它们根据不同的精度和稳定性要求，选择不同的数值解法来计算常微分方程的近似解。

4. 线性方程组的数值解法线性方程组数值解法是解决线性方程组问题的常见方法。

当线性方程组的规模较大时，无法通过直接求解的方法得到解，此时可以利用数值解法来近似求解。

常见的线性方程组数值解法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

三、数值分析的应用1. 插值与逼近的应用插值与逼近方法在科学计算和工程实践中有广泛的应用。

例如，在地理信息系统中，插值方法可以用于根据已知地理数据点生成等高线图；在图像处理中，逼近方法可以用于图像的平滑处理和边缘检测。

2. 数值积分的应用数值积分方法在物理学、经济学等领域的科学研究中有重要的应用。

例如，在物理学中，数值积分方法可以用于计算物体的质心、面积、弧长等物理量；在经济学中，数值积分方法可以用于计算经济指标、积分收益等。

数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。

本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。

一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。

其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。

数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。

二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。

常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。

三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。

常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。

数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。

常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。

四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。

常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。

同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。

五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。

直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。

高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。

LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。

Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。

六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。

常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

现代数值计算方法公式总结现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。

普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。

在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。

本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。

通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。

一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。

数值逼近可以分为插值和外推。

插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。

而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。

在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。

数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。

插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。

外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。

常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。

它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。

三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。

数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。

在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。

数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。

而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。

四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。

线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。

一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。

为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。

二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。

三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。

四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。

2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。

3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。

4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。

5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x ||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m −n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m −n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x、y 的近似值，且|x ∗−x |≤η(x )、|y ∗−y |≤η(y )1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和 2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y） 3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x ) 4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x )|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。

常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。

2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。

数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。

常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。

3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。

常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。

这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。

4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。

常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。

这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。

5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。

它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。

最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。

6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。

常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。

这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。

7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。

常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。

总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。

通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2)迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3)单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x ϕ满足:①[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛,且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三:设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法:1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理:设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②:[]'()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：12P +=7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r,1'()()i i i i f x x x rf x +=-(平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=,α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。

2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。

4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。

5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

数值分析与计算方法数值分析与计算方法是一门应用数学科学，应对处理数值计算问题的方法与技巧进行研究与应用。

它主要关注如何使用数值方法来近似求解数学问题，特别是那些无法以解析方法解决的问题。

本文将介绍数值分析与计算方法的基本概念、常用算法以及应用领域。

一、数值分析与计算方法的概念数值分析与计算方法是研究如何通过数值计算来解决数学问题的一门学科，它主要包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方程的数值解、线性方程组的数值解等内容。

数值分析与计算方法的研究对象包括数值算法和数值方法，并通过计算机软件和硬件来实现数值计算。

二、常用数值分析与计算方法算法1. 数值逼近：数值逼近是通过有限个已知的点来近似一个函数的值，常用的数值逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。

2. 插值与外推：插值与外推是通过已知点列的函数值来确定一个函数，以便在给定区间上任意点处计算函数值。

常用的插值与外推方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

3. 数值微积分：数值微积分是通过数值方法进行微积分运算，包括数值积分和数值微分。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。

4. 常微分方程的数值解：常微分方程的数值解是通过数值方法求解微分方程的近似解。

常用的数值解法包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法等。

5. 线性方程组的数值解：线性方程组的数值解是通过数值方法求解线性方程组的近似解。

常用的数值解法有高斯消元法、LU分解法和迭代法等。

三、数值分析与计算方法的应用领域数值分析与计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域具有广泛的应用。

以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：数值计算在物理学、化学、生物学等自然科学领域中具有重要的应用，例如在偏微分方程的数值解、数值模拟等方面。

2. 工程计算：数值计算在工程设计、结构分析、电力系统仿真等工程领域中发挥重要作用，例如在有限元分析、流体力学计算等方面。

数值分析重点公式数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何在实际问题中获取精确或近似数值解的方法。

在数值分析中，有许多重要的公式和方法用于解决各种数学和科学问题。

下面是一些数值分析中的重点公式：1.泰勒展开公式：泰勒展开公式可以将一个函数表示为无限级数。

对于一个无穷可微的函数f(x)，其泰勒展开可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...2. 拉格朗日插值公式：拉格朗日插值公式是一种用于通过已知数据点构造一个多项式函数的方法。

对于n个已知点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = Σ yi * l(i)(x)其中l(i)(x)是拉格朗日基函数，定义为：l(i)(x) = Π (x-xj)/(xi-xj) for j ≠ i3.数值微分公式：数值微分公式用于计算函数的导数。

常用的数值微分公式包括前向差分、后向差分和中心差分。

前向差分公式如下：fd'(x) = (f(x+h) - f(x))/h后向差分公式如下：bd'(x) = (f(x) - f(x-h))/h中心差分公式如下：cd'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/(2h)其中h是一个小的非零常数，用于控制近似的精度。

4.数值积分公式：数值积分公式用于计算函数的定积分。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法则。

梯形法则可以表示为：T(f) = h/2 * [f(x0) + 2Σf(xi) + f(xn)]其中h是区间宽度，n是等分的子区间数，xi是区间的分点。

5.龙格-库塔法：龙格-库塔法是解常微分方程组的一种常用方法。

常见的龙格-库塔法有四阶和五阶，其中四阶龙格-库塔法可表示为：yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6其中：k1 = hf(xn, yn)k2 = hf(xn + h/2, yn + k1/2)k3 = hf(xn + h/2, yn + k2/2)k4 = hf(xn + h, yn + k3)以上只是数值分析中的一些重点公式，这些公式是解决各种数学和科学问题的基础。

C （阶码）是整数，L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数；1230.t a a a a ⋅⋅⋅称为尾数；数x 称为t 位β进制浮点数。

计算机对数的运算处理 1.加减法先对阶，后运算，再舍入；2.乘除法先运算，再舍入。

定义1.1 设x是准确值，x*是x 的一个近似值，称差 x*－x 为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e (x*) ，x 定义 1.2 称满足ε *为近似值x*的误差限。

****x x x εε-≤≤+该范围常用**x x ε=±表是x 的近似值，称，记为e*r 或r ε*为x*的相对误差限。

()()****()e x y e x e y ±=±()()******()e x y y e x x e y⋅≈+()()()*****2**()y e x x e y x e y y -≈*120.10mk x a a a =±⋅⋅⋅⨯{}10,0,1,2,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅，x*有n5位有效数字，试求其相对误差限。

解 因为x*有5位有效数字，可以设*12510.10,1m x a a a a =±⋅⋅⋅⨯≥于是有n=5和*50.510m x x --≤⨯考虑x*的相对误差*5544*125110.5105101110100.1022m mx x a a a a a x-----⨯⨯≤≤≤⨯<⨯⨯故有x*相-4相对误差x*有n 位x*的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。

解先将写成浮点数。

因为23<<123232.0.210a a a a ==⨯得到a 1=2。

假设x*至少要取n 位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的1.5式1111110100.1%222n na --⨯=⨯<⨯的最小整数n 即可。

由11100.1%22n-⨯<⨯得4104n -<，有4n ≥，故x*至少要取4位有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要求。

数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。

下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。

1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。

常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。

其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。

2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。

常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。

其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。

3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。

4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。

常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。

而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。

5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。

6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。

常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。

7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。

其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。