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2019-2020高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》综合检测

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高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

综合检测第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1－b i1＋2i＝a＋i (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A．－4 B．4 C．－10 D．10 2．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12n －1 D ．a n ＝13n －14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．85．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( )A．6种B．8种C．12种D．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A.9π4B.94πC.4π9D.49π7．如果执行如图的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a n 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r＝a2＋b22”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝a2＋b2＋c23”，这两位同学类比得出的结论( )A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错9．设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”：x1]x*a))的轨迹是( ) A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．关于函数f(x)＝(e x)*1e x的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( )A ．11B ．20C ．15D ．1612．(2015·延安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．14．若m ＝ʃ20(2x －e x )d x ，则“a ＝m ＋e 2－214”是“函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点”的________条件(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选填)．15．如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，若OP→＝λ1OB →＋λ2OC →，则λ1－λ2＝______.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为1＋52，圆C 是以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 22|ON |2的值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·福州质检)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. (1)求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)设y ＝f (x )的图像与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式．18．(12分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．19．(12分)(2015·淄博模考)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和均值EX.20．(12分)(2015·珠海摸底)在边长为4 cm的正方形ABCD 中，E，F分别为BC，CD的中点，M，N分别为AB，CF 的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥．(1)请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；(2)证明：AB⊥平面BEF；(3)求平面MEF与平面BEF夹角的余弦值．21．(12分)若函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－2 x .(1)求函数φ(x)＝g(x)－kf(x)(k>0)的单调区间；(2)若对所有的x∈[e，＋∞)，都有xf(x)≥ax－a成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·广州普通高中毕业班综合测试)已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2：x22－y2＝1的顶点，直线x＋2y＝0与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为(－2，1)，点P是椭圆C1上异于点A，B的任意一点，点Q满足AQ→·AP→＝0，BQ→·BP→＝0，且A，B，Q三点不共线．(1)求椭圆C1的方程；(2)求点Q的轨迹方程；(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标．答案解析1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D13．503503603 14.充分不必要 15.－3216.5＋1417．解 方法一 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋m .因为f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)由(1)得f (x )＝32sin x ＋12cos x . 所以S ＝ʃt 0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32cos x ＋12sin x t0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32cos t ＋12sin t －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32cos 0＋12sin 0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3＋32.所以S (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3＋32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <2π3.方法二 (1)因为函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＝3sin 512πcos 512π＋cos 2512π＋m＝32sin 56π＋12cos 56π＋12＋m ＝34－34＋12＋m ＝12＋m .所以12＋m ＝0，解得m ＝－12. 以下同方法一．(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.所以S ＝ʃt 0sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝－cos⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6t 0＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π6＋32.所以S (t )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π6＋32(0<t <2π3)．18．解 (1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知得xa ＝360，得a ＝360x.∴y ＝225x ＋3602x－360(x >2)．(2)∵x >2， ∴225x ＋3602x≥2225x ·3602x＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．19．解 (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况． 设甲队以4∶2获胜为事件A 1，则P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×23＝64243， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243. (2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7.P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427. P (X ＝6)＝C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝2881. P (X ＝7)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，则X 的分布列为EX ＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881. 20．(1)解 MN ∥平面AEF .证明：由题意可知点M ，N 在折叠前后都分别是AB ，CF 的中点(折叠后B ，C 两点重合)， 所以MN ∥AF .因为⎩⎪⎨⎪⎧MN 平面AEF ，AF 平面AEF ，MN ∥AF ，所以MN ∥平面AEF .(2)证明 由题意可知AB ⊥BE 的关系在折叠前后都没有改变． 因为在折叠前AD ⊥DF ，由于折叠后AD 与AB 重合，点D 与B 重合，所以AB ⊥BF .因为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，BE 平面BEF ，BF 平面BEF ，BE ∩BF ＝B ，所以AB ⊥平面BEF .(3)解 记EF 的中点为G ，连接ME ，MF ，BG ，MG .因为BE ＝BF ，ME ＝MF ，所以BG ⊥EF 且MG ⊥EF ，所以∠MGB 是平面MEF 与平面BEF 的夹角． 因为AB ⊥平面BEF ，所以∠MBG ＝90°. 在△BEF 中，BG ＝2，由于MB＝2，所以MG＝MB2＋BG2＝6，于是cos∠MGB＝BGMG＝26＝33.所以平面MEF与平面BEF夹角的余弦值为3 3.21．解(1)函数φ(x)＝x－2x－k ln x的定义域为(0，＋∞)．φ′(x)＝1＋2x2－kx＝x2－kx＋2x2，记函数h(x)＝x2－kx＋2，其判别式Δ＝k2－8.①当Δ＝k2－8≤0，即0<k≤22时，h(x)≥0恒成立，∴φ′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，φ(x)在区间(0，＋∞)上递增，②当Δ＝k2－8>0即k>22时，方程h(x)＝0有两个不等的实根x1＝k－k2－82>0，x2＝k＋k2－82>0.若x 1<x <x 2，则h (x )<0，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在区间(x 1，x 2)上递减； 若x >x 2或0<x <x 1，则h (x )>0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递增． 综上可知：当0<k ≤22时，φ(x )的递增区间为(0，＋∞)；当k >22时，φ(x )的递增区间为(0，k －k 2－82)和(k ＋k 2－82，＋∞)，递减区间为(k －k 2－82，k ＋k 2－82)．(2)∵x ≥e，∴x ln x ≥ax －a ⇔a ≤x ln x x －1.令p (x )＝x ln x x －1，x ∈[e，＋∞)，则p ′(x )＝x －ln x －1x －2.∵当x ≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x>0，∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数， ∴x －ln x －1≥e－ln e －1＝e －2>0，p ′(x )>0， ∴p (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴p (x )的最小值为p (e)＝e e －1，∴a ≤e e －1.22．解 (1)∵双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴椭圆C 1的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，∵椭圆C 1过点A (－2，1)，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－(2)2＝2.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点Q (x ，y )，点P (x 1，y 1)， 由A (－2，1)及椭圆C 1关于原点对称可得B (2，－1)，∴AQ→＝(x ＋2，y －1)，AP→＝(x 1＋2，y 1－1)，BQ→＝(x －2，y ＋1)，BP →＝(x 1－2，y 1＋1)． 由AQ →·AP →＝0， 得(x ＋2)(x 1＋2)＋(y －1)(y 1－1)＝0， 即(x ＋2)(x 1＋2)＝－(y －1)(y 1－1)．①同理，由BQ →·BP →＝0， 得(x －2)(x 1－2)＝－(y ＋1)(y 1＋1)．②①×②，得(x 2－2)(x 21－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．③ 由于点P 在椭圆C 1上，则x 214＋y 212＝1， 得x 21＝4－2y 21，代入③式，得－2(y 21－1)(x 2－2)＝(y 2－1)(y 21－1)． 当y 21－1≠0时，有2x 2＋y 2＝5， 当y 21－1＝0时，点P (－2，－1)或P (2，1)，此时点Q对应的坐标分别为(2，1)或(－2，－1)，其坐标也满足方程2x 2＋y 2＝5.当点P 与点A 重合时，即点P (－2，1)，由②得y ＝2x －3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋y 2＝5，y ＝2x －3，得点Q 的坐标为(2，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－2.同理，当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为(－2，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，2.∴点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝5，除去四个点(2，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－2，(－2，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，2. (3)点Q 到直线AB ：x ＋2y ＝0的距离为|x ＋2y |3. △ABQ 的面积为S＝122＋22＋－1－2·|x ＋2y |3＝|x ＋2y |＝x 2＋2y 2＋22xy .而22xy ＝2×(2x )×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 2≤4x 2＋y 22(当且仅当2x ＝y 2时等号成立)，∴S ＝x 2＋2y 2＋22xy ≤x 2＋2y 2＋4x 2＋y 22＝5x 2＋52y 2＝522(当且仅当2x ＝y2时，等号成立)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y 2，2x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2.∴△ABQ 的面积的最大值为522，此时，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，2或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－2.。

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2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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2019-2020学年高三理科数学一轮复习检测卷(附详细答案解析)

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2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。