第三章微分中值定理及导数的应用
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第四章 微分中值定理及导数的应用
一. 单项选择题
4.1设)(x f 在),(b a 上满足0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 上 ( );
(A) 单调递增 (B) 单调递减 (C) 图形凹的 (D) 图形凸的
4.2 曲线1
12-+=x y 的垂直渐近线为 ( ); (A) 2=y (B) 2=x (C) 1=y (D) 1=x
4.3 设)(x f 在),(b a 上满足0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 上 ( );
(A) 图形凸的 (B) 图形凹的 (C) 单调递减 (D) 单调递增
4.4 曲线x
y 11+=的垂直渐近线为 ( ); (A) 1=x (B) 0=x (C) 1=y (D) 0=y
4.5 曲线)
1(122++=x x x y 的铅直渐近线为 ( ); (A) 2=y (B) 1=y (C) 1-=x (D) 1=x
4.6曲线)
1(122++=x x x y 的水平渐近线为 ( ); (A) 2=y (B) 1=y (C) 1-=x (D) 1=x
4.7 函数)(x f 在),(b a 内二阶可导，且()0,()0f x f x '''><，则)(x f 在该区间内为( )；
(A) 单调递增，图形凹的 (B) 单调递减，图形凹的
(C) 单调递增，图形凸的 (D) 单调递减，图形凸的
4.8 函数)(x f 在),(b a 内二阶可导，且()0f x ''>，则)(x f 在),(b a 内为( )；
(A) 单调递增 (B) 单调递减 (C) 图形凸的 (D) 图形凹的
4.9 下列函数中，( )在]2,2[ππ-
上满足罗尔定理条件； (A)x
x f 1sin )(= (B)x x f sin )(= (C)x x f sin 1)(-= (D)x x f 2sin )(= 4.10 0=x 不是函数( )的极值点； (A)132-=x y (B)x x e
e y -+= (C)x x y sin -= (D)x e x y )1(-= 4.11 方程01=--x e x ( ) ；
(A) 没有实根； (B) 有且仅有一个实根；
(C) 有且仅有两个实根； (D) 有三个不同实根。
4.12 函数)(x f 有连续二阶导数且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ，则极限
=-→20)(l i m x
x x f x ( )
(A) 不存在 (B) 0 (C) 1- (D) 2-
4.13设)(x f 在],[b a 上满足0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上 ( );
(A) 单调递增 (B) 单调递减 (C) 无最大值 (D) 无最小值
4.14 函数)(x f 在区间),(b a 内二阶可导，且满足条件0)(,0)(>''>'x f x f ，则函数)(x f
在该区间内的单调性及其图形的凹凸性为 ( )
(A) 单调减少，图形凹的 (B) 单调减少，图形凸的
(C) 单调增加，图形凹的 (D) 单调增加，图形凸的
4.15函数7323+-=x x y 的单调递减区间为( ).
(A) )0,(-∞ (B) ),2(+∞ (C) )2,0( (D) ),1(+∞
二．填空题
4.16 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得
=-)()(a f b f e e
4.17 曲线232
923x x y +-=的拐点为 4.18 函数x e x y 2=的单调减少区间为
4.19 函数)4ln(2x x y ++=的单调增加区间为
4.20 函数21x
x y +=
的单调增加区间为 4.21 =--→x x x x x sin tan lim 0 4.22 =-→22)
2(sin ln lim
x x x ππ
4.23 =+→x x x 4tan ln 3tan ln lim 0
4.24 =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→11sin 1lim 0x x e x 4.25 =+-++→x
x x x x 2sin 11lim 320 4.26求解下列极限：(1)．x
x x e e x x x sin 2lim 0----→; (2)．x x x -→111lim 。
4.27求解下列极限：(1)．)1(lim 1
-∞→x x e x ; (2)．x x x +
→0lim 。
4.28求极限：
0x → 4.29求极限：x
x x x x x sin cos sin lim 0--→ 4.30设函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有 个实根.
4.31设函数()(2)(5)(7)f x x x x =---，则方程()0f x '=有 个实根.
4.32函数5224+-=x x y 在区间]2,2[-上的最大值为
三．计算题与证明题
4.33 求函数1223++-=x x x y 的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.34 求函数x x x y
129223+-=的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.35 求函数x x x y
186223--=的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.36 求函数
14123223+-+=x x x y 的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.37 求函数79323--+=x x x y 的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.38 求函数331y x x =-+的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.39 求函数43112
y x x =-+ 的增减区间和极值，凹凸区间和拐点。
4.40 求函数331y x x =-++的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.41 求函数3239y x x x =--的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.42 求函数3235y x x =--的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.43 求函数7323+-=x x y 的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.44 求函数9323-+=x x y 的增减区间与极值，凹凸区间与拐点。
4.45 设0>x ，求证：x x +>+12
11 4.46 证明：当0x ≠时，1x e x >+
4.47 证明不等式： 0≥x 时，x
x x +≥+1arctan )1ln(。
4.48 证明：(1) 当1x >时，13x >-， (2) 当1x >时，32453ln 33
x x x +>-．
4.49 证明：(1)当02x π<<时，tan x x >， (2)当02x π
<<时，3
tan 3x x x >+． 4.50 证明： 方程133=-x x 在区间)2,1(内有且仅有一个实根.
4.51 证明：方程x e x 3-=在区间)0,1(-内有且仅有一个实根.
4.52 证明：方程1x x e +=在区间(1,1)-内有且仅有一个实根。
4.53 证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞满足关系式)()(x f x f ='，则
x e x f )(在),(+∞-∞恒为常数。
4.54 证明恒等式：arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=
∈-. 4.55 证明不等式：当1,0><<n x y 时，下列不等式成立
)()(11y x nx y x y x ny n n n n -≤-≤---
4.56 若函数d cx bx ax y +++=23在0=x 处有极值0=y ，点（1,1）是其拐点，求常数
d c b a ,,,
4.57 用铁皮做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问底面半径r 和高h 各等于多少时，罐头筒
的表面积最小？
4.58 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌m 20长的墙壁. 问长方形长和宽
分别为多少时，小屋的面积最大?
4.59 用表面积为S 的铁皮做一个圆柱形罐头筒，问底面半径r 和高h 各等于多少时，罐头
筒的体积最大？
4.60 设有正方形纸板每边长为a 2，在四角各剪去一个相等的小正方形，做成一个无盖纸
盒，问剪去的小正方形的边长等于多少时，纸盒的容积最大？。
