人教课标版高中数学选修2-1拓展训练：双曲线及其标准方程

能力拓展提升一、选择题11．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) [答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)．12．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.13．已知双曲线x 2－y22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.43 B.53 C.233 D. 3[答案] C[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20－y 202＝1.∴y 20＝43，∴y 0＝±233，故选C.14．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||FA |的值为( )A.25B.52C.54D.45[答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)，|FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||FA |＝810＝45，选D. 二、填空题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________.[答案] 56[分析] 由正弦定理可将sin A －sin Csin B 转化为边的比，而△ABC 的顶点A 、C 已知，故边AC 长可求，B 在双曲线上，由定义可求|BC |－|BA |.[解析] 由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56.[点评] 圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决．16．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．[答案] x 24－y 212＝1(x ≥2)[解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．三、解答题17．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 18．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形．[解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎨⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．。

数学人教A 选修2-1第二章2.3.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.会求双曲线的标准方程.1.双曲线的概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_________)的点的轨迹叫做___________.(2)双曲线的焦点与焦距双曲线定义中的两个定点F 1，F 2叫做_________，两个焦点间的距离叫做_________.双曲线的定义中，在0＜2a ＜|F 1F 2|的条件下，当|PF 1|－|PF 2|＝2a 时为双曲线的一支(含F 2的一支)；当|PF 2|－|PF 1|＝2a 时为双曲线的另一支(含F 1的一支).当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 不表示任何图形.【做一做1】 动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________，焦点F 1_________，F 2_________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________，焦点F 1_________，F 2_________. (3)在双曲线中，a ，b ，c 的关系为____________________.给定双曲线的标准方程，如果含x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；如果含y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上.【做一做2－1】 双曲线x 23－y 22＝1的焦点坐标是( )A.(±5，0)B.(0，±5)C.(±1,0)D.(0，±1)【做一做2－2】 以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点，且经过点M (3，15)的双曲线的标准方程为__________.答案:1.(1)|F 1F 2| 双曲线 (2)焦点 焦距 【做一做1】 C2.x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2【做一做2－1】 A【做一做2－2】 x 24－y 212＝1 焦点在x 轴上可设标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝|72＋(15)2－(－1)2＋(15)2|＝|8－4|＝4＝2a ，∴a ＝2. 又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12. 故双曲线的标准方程为x24－y 212＝1.1.求双曲线的标准方程的方法剖析：求双曲线方程一般可采用待定系数法，其解题方法是先定位，再定量.“定位”是指除了中心在原点之外，还要判断焦点在哪条坐标轴上，以便使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程，就是要求出a 2和b 2这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，并按条件列出关于a 2和b 2的方程组.解得a 2和b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a ，b ，c 等数值的确定.解题步骤分为：首先判断焦点的位置，其次求出关键数据，最后写出双曲线方程.因此，确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a ，b ，一个定位条件：焦点坐标.求双曲线的标准方程的方法还有轨迹方程法. 2.椭圆和双曲线的比较 剖析：方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时，m ，n 应满足m ＞n ＞0或n ＞m ＞0.当方程表示双曲线时，m ，n 应满足mn ＜0，且m ＞0，n ＜0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线.知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)(或mx 2＋ny 2＝1，mn ＜0).题型一 双曲线的定义【例题1】 若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是什么？分析：由双曲线的标准方程可知，若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则(2－m )(|m |－3)＜0.解此不等式即可得m 的取值范围.反思：由方程判断曲线类型，主要看其分母，再结合双曲线、椭圆的不同要求，构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.题型二 求双曲线的标准方程【例题2】 (1)求与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点且过点(32，2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程. 分析：第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标，可求得c 值，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)，用待定系数法可求得a ，b ；第(2)题可先设出标准方程，然后把点P 1，P 2的坐标代入方程，联立方程组，求出a 2，b 2的值.反思：求解双曲线的方程主要是依据题目给出的条件确定a 2，b 2的值，要注意焦点在哪个坐标轴上；求解过程中也可以用换元思想.题型三 双曲线定义的应用【例题3】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积.分析：如图所示，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|.结合双曲线的定义可求出|PF 1|·|PF 2|的值，面积即可求得.反思：此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决，要注意“设而不求”、“整体思想”的应用.题型四 易错辨析【例题4】双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距为6，求k 的值.错解：方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝32k ，∴2×6k 2＝6，即k ＝6.答案: 【例题1】 解：若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则(2－m )(|m |－3)＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0， m |－3<0①或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0， |m |－3>0，② 由①，解得－3＜m ＜2；由②，解得m ＞3. ∴实数m 的取值范围为(－3,2)∪(3，＋∞).【例题2】 解：(1)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝20.又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1.综上可得a 2＝20－210，b 2＝210，∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1.(2)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).①∵点P 1，P 2在双曲线上，∴点P 1，P 2的坐标适合方程①.将(3，－42)，⎝⎛⎭⎫ 94，5分别代入方程①中， 得方程组22222222(319541,a b a b ⎧--=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪-=⎪⎩ 将1a 2和1b 2看作整体，解得⎩⎨⎧1a 2＝116， 1b 2＝19，∴a 2＝16，b 2＝9，即双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.【例题3】 解：在双曲线的方程中，a ＝3，b ＝4， ∴c ＝5.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m ＞n )， 由双曲线的定义可知，m －n ＝2a ＝6， 两边平方，得m 2＋n 2－2mn ＝36. 又∵∠F 1PF 2＝90°，∴由勾股定理得m 2＋n 2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100. ∴mn ＝32.∴S △F 1PF 2＝12mn ＝16.【例题4】 错因分析：误认为k ＞0，忘记讨论k 的符号.正解：当k ＞0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝32k .∴2×6k 2＝6.∴k ＝6.当k ＜0时，方程化为y 2－k －x 2－k 2＝1，c 2＝－32k ，∴2×－6k2＝6，解得k ＝－6. 综上所述，k ＝－6或6.1 (2010安徽高考，理5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为() A.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭0) 答案:C 双曲线方程化为标准式为x 2－212y ＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32. ∴c.2 若双曲线22215x y a -=与椭圆2212516x y +=有共同的焦点，且a ＞0，则a 的值为( ) A.2D.6答案:A ∵椭圆2212516x y +=的焦点坐标为(±3,0)， ∴a 2＋5＝9，a 2＝4. ∵a ＞0，∴a ＝2.3 F 1，F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__________.答案:90° 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. ∴r 1r 2＝32，|r 1－r 2|＝2a ＝6. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝2212r r +－2r 1r 2co s α，∴cos α＝2221212(2)2r r c rr +-＝22121212()243664100264r r rr c r r -+-+-=＝0. ∴α＝90°.4 求适合下列条件的双曲线的标准方程：a ＝4，且经过点A ⎛ ⎝⎭. 答案:解：若设所求双曲线方程为22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得22216x y b -＝1.又∵点A 在双曲线上， ∴211601169b -=. 由此得b 2＜0，∴不合题意，舍去.若设所求双曲线方程为22221y x a b -=＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得222116y x b -=，代入点A ，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为221169y x -=. 5 动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9，C 2：(x －3)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.答案:解：如下图，由题意，得定圆圆心C 1(－3,0)，C 2(3,0)，半径r 1＝3，r 2＝1，设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，则|CC 1|＝r ＋3，|CC 2|＝r ＋1.两式相减，得|CC 1|－|CC 2|＝2，∴点C 的轨迹为以C 1，C 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支. ∵a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴方程为x 2－28y ＝1(x ≥1).。

双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=-__________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．（3））的双曲线。

案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。

（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。

（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。

(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。

(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。

知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。

对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。

焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。

(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。

能力拓展提升一、选择题11．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13[答案] A[解析] 设M 为(x ，y )， ∵PM →＝2MA →，A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)．∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1， ∴y ＝6x 2－13.故选A.12．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π [答案] B[解析] 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π.13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析]由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，∴AB1⊥BD1.又AP⊥BD1，∴BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，∴平面APC与平面APB1重合，∴P 点在线段B 1C 上， 故P 点的轨迹为线段B 1C .14．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且AM →＝4MB →，则M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8[答案] B[解析] 设M (x ，y )，因为AM →＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又|AB |＝10所以(5x )2＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B.二、填空题15．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．[答案] x ＋y ＝0或x －y ＝0[解析] 设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x －3y |＝|3x －y |，∴x －3y ＝±(3x －y )， ∴x －3y ＝3x －y 或x －3y ＝－(3x －y )， ∴x ＋y ＝0或x －y ＝0.∴所求角平分线方程为x ＋y ＝0或x －y ＝0.16．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．[答案] y 2＝－8x[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．∴|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)．由已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 三、解答题17．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |.[解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．18．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→成公差小于0的等差数列，则点P 的轨迹是什么曲线？[解析] 设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(1＋x )＋2(1－x )]2(1－x )－2(1＋x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3x >0， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)．。