(完整版)八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

一、选择题1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）A 13B 32C 40D 20解析：A【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】解：∵D 是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，∴ED 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∴∠ECD=∠A ，∵∠A=36°，∴∠ECD=36°，∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠B=12（180°-36°）=72°， ∵∠ECD=∠A=36°，∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，∴∠B=∠BEC ，∴BC=CE ，∵AE=CE ，ED ⊥AC ，∴CD=12AC =3， 在Rt △CED 中， 22222313DE CD ++∴13故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．2．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm D解析：D【分析】 根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB 即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠BAD=30°，∵BD ⊥AC ，∴∠BDA=90°，∴AB=2BD ，点B 到边AC 的距离是3cm ，即BD=3cm ，∴AB=2BD=6cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质把已知的15°角转化为30度角．3．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10B解析：B【分析】 通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．【详解】解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒∴AMB ∠=MDC ∠∵AM DM =∴AMB MDC △≌△∴AB MC =,MB CD =∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =∴=1046BC MB MC -=-=故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3D解析：D【分析】写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．【详解】解：根据题意吧，如图：由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，易证△ABD ≌△ACE ；命题1：若AB=AC ，AD=AE ，则BD=CE ，此命题为真命题；命题2：若AB=AC ，BD=CE ，则AD=AE ，此命题为真命题；命题3：若AD=AE ，BD=CE ，则AB=AC ，此命题为真命题．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．5．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．6．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3B解析：B【分析】由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．7．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ）A ．ABC ∠=∠=∠B ．,60AB AC B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ D 解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．8．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法比较1S 、2S 的大小关系B解析：B【分析】 分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；【详解】分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，又AB=A′B′，∴△ABD ≅△A′B′E ，同理△ACD ≅△A′C′E ；∴ABD A B E SS ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，∴12S S故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．9．以下说法正确的是（ ）A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线D 解析：D【分析】对每个选项一一分析即可得到正确答案．【详解】解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，故选：D ．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB 与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②BP垂直平分CE；③PG＝AG；④CP平分∠DCB；其中，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，∴∠ACB＝2∠APB．故①正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一）．故②正确；∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴PG＝AG．故③正确；如图，过点P 作PM ⊥AE 于点M ，PN ⊥AD 于点N ，PO ⊥BC 于点O ，∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，∴PM=PN ，PM=PO ，∴PN =PO ，∴CP 平分∠DCB ．故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE 所以点C 和点B关于直线DE 对称所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB 的长即可【详解】解：如图∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一解析：18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE ，所以点C 和点B 关于直线DE 对称，所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB 的长即可．【详解】解：如图，∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP 的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA 3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边解析：12n -【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°∴OA 1=A 1B 1=12OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =∴OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．故答案为2n-1．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．15．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对解析：14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．【详解】由折叠得：AD=BD ，∵6cm AC =，8cm BC =，∴ACD △的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm ，故答案为：14．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．16．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E 交AD 于F 连接BF 则BF+EF 最小证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b 即BF+EF=b 再根据等边三角形的性质可得BE=a 从而可得结论【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E 交AD解析：+a b【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b ，即BF+EF=b ，再根据等边三角形的性质可得BE=a ，从而可得结论．【详解】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴BE=12AB a=∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵ADB CEBABD CBE AB CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=b，即BF+EF=b，∴BEF的周长的最小值为BE+CF=a+b，故答案为：a+b．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内解析：70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 如图1，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．故答案为70°或110°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．18．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°，∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．19．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关 解析：()4,3-或()4,2-【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，∵点A 、B 在y 轴上，∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，∵C （4,3），∴D （-4,3）；当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，∴△ADE ≌△BCF ，∴AE=BF=4-3=1，∴OE=OA+AE=1+1=2，∴D （-4,2），故答案为：()4,3-或()4,2-．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．20．如图①，点D 为一等腰直角三角形纸片的斜边AB 的中点，E 是BC 边上的一点，将这张纸片沿DE 翻折成如图②，使BE 与AC 边相交于点F ，若图①中AB ＝2，则图②中△CEF 的周长为______________．【分析】如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 连接DF 首先证明△DFB ≌△DFC 推出CF=BF 可得再利用勾股定理求解即可得到答案【详解】解：如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 2【分析】如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．首先证明△DFB ≌△DFC ，推出CF=BF ，可得()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=，再利用勾股定理求解B C '即可得到答案．【详解】解：如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．∵,90CA CB ACB ''=∠=︒，AD B D '=，∴CD DB AD DB '===，45DCB DCA '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒．∴DH DM =，,B DE BDE '≌,DH DN ∴=,DH DM DN ∴==∴DFM DFN ∠=∠，∵∠BFM=∠EFC ，∴∠DFB=∠DFC ，在△DFB 和△DFC 中，B DCF DFB DFC DF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFB ≌△DFC ，∴CF=BF ，∵()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=， ∵2AB '=，∴224B C AC '+=，,B C AC '=2.B C '∴= （负根舍去）2.CEF C ∴= 2.【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1，并写出点E1，F1的坐标；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．解析：（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF 交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．（1）求证：∠ACE＝∠CBF；（2）若PG ＝1，求EP 的长度．解析：（1）见解析；（2）PE ＝2【分析】（1）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），即可得到∠ACE ＝∠CBF ；（2）利用由（1）知∠ACE ＝∠CBF ，求出∠BPE ＝60°，又EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，得到∠GEP ＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ＝60°，AB ＝AC ，在△ACE 与△BCF 中，AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ，AE ＝CF ，∴△ACE ≌△CBF （SAS ），∴∠ACE ＝∠CBF ；（2）解：∵由（1）知，∠ACE ＝∠CBF ，又∠ACE ＋∠PCB ＝∠ACB ＝60°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°，∴∠BPE ＝60°，∵EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，∴∠GEP ＝30°，∴在Rt △PGE 中，PE ＝2PG ，∵PG ＝1，∴PE ＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE ≌△CBF ．23．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．解析：（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．解析：（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析【分析】（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；【详解】解：（1）∵AD 是中线，∴BD=CD ，又∵∠ADC=∠BDE ，∵//BE AC ，∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），故答案为：SAS 或AAS ；（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC=BE=8，在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，∴4＜2AD ＜20，∴2＜AD ＜10，故答案为：2＜AD ＜10；（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠∵AD 是中线，∴BD CD =在ADC 和GDB △中∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，∴ADC GDB ≌△△∴BG CA =∵AE EF =∴EAF AFE ∠=∠又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠∴BGD BFG ∠=∠∴BG BF =，又∵BG CA =，∴BF AC =；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．如图，在ABC ∆中，,36,AB AC BAC BD =∠=︒平分ABC ∠交AC 于点,D 过点A 作//,AE BC 交BD 的延长线于点E ．()1求ADB ∠的度数﹔()2求证：ADE ∆是等腰三角形．解析：（1）108ADB ∠=︒；（2）证明见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质求解；（2）根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解 ．【详解】()1解：,36AB AC BAC =∠=︒，()1180722ABC C BAC ∴∠=∠=︒-∠=． BD 平分,ABC ∠136,2DBC ABC ∴∠=∠=︒ 7236108ADB C DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=()2证明：//,AE BC72,EAC C ∴∠=∠=︒72,36C DBC ∠=︒∠=︒，180723672,ADE CDB ∴∠=∠=︒-︒-︒=︒,EAD ADE ∴∠=∠,AE DE ∴=ADE ∴∆是等腰三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的综合运用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质是解题关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．解析：15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．28．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）用尺规作出BAC ∠的平分线，并标出它与边BC 的交点D （保留作图痕迹，不写作法）；（2）若30B ∠=︒，1CD =，求BD 的长．解析：（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤进行画图，即可得到答案；（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，由角平分线的性质定理，得到1DE CD ==，再由含30度直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】（1）解：如图所示：（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ． AD 为BAC ∠的平分线，90C AED ∠=∠=︒．1DE CD ∴==．在Rt BED △中，30B ∠=︒，22BD DE ∴==．【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，以及含30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形．。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的,轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然.（三）线段的垂直平分线（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y)关于x轴对称的点的坐标为(-x，y)；2、点(x，y）关于y轴对称的点的坐标为(x，—y）;(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y,x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是(－y,－x）(六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y)关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y)；（七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

轴对称（复习一讲义）课前预习1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？2.做一做，想一想在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP（填“>”，“<”或“=”）．3.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM=4 cm，则PN=______cm．PNMBOA知识点睛1.如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形__________，这条直线叫做_________．2.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________，这条直线叫做_______．3.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________．4.垂直平分线性质定理：___________________________________________________．5.角平分线性质定理：___________________________________________________．精讲精练1. 如图，在10×10的正方形网格中作图：作出△ABC 关于直线l 的对称图形△A 1B 1C 1．lC BA2.3. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是_________，EF 的对应线段是_________，∠A 的对应角是______．连接CE 交l 于点O ，则_____⊥_____，且________=________．lB D F HGE OCA A EB D C第4题图 第5题图5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F处．若∠BAF =60°，则∠AEF =_____．6. 如图，先将正方形纸片ABCD 对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样得到的△ADH 中（ ） A ．AD DH AH ≠= B ．AD DH AH == C ．DH AD AH ≠=D ．AD DH AH ≠≠HN M ED CAA EBDC第6题图 第7题图7. 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，连接AD ．若AC =4 cm ，BC =8 cm ，则△ADC 的周长为__________．8. 已知：如图，在△ABC 中，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，且△ADE 的周长为32 cm ，则BC =__________．A GEDBF CP DNOMCA B第8题图第9题图9. 已知：如图，点P 关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D ，连接CD ，交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长为8，则CD 的长为_________．10. 如图，MD ，ME 分别为△ABC 的边AB ，BC 的垂直平分线，若MA =3，求MC 的长度．MBC DE11. 如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =3，则PQ 的最小值是____________．QP MNAOE DC第11题图 第12题图 第13题12. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为_________．13. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S△ACD=_________．14. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ．求证：MB =MC ．ABCD MABCD【参考答案】课前预习1.都是左右两边对称的图形2.（1）相等（2）垂直（3）=3. 4知识点睛1.成轴对称，对称轴2.轴对称图形，对称轴3.垂直平分，相等，相等4.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等5.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等精讲精练1.作图略2.作图略3. C4.GH，CD，∠GCE，l；OC，OE5.75°6. B7.12cm8.32cm9.810.MC=3提示：连接ME，由垂直平分线定理可得结论11. 312.15cm213.3:214.证明略提示：过点M作ME⊥AD于点E，由角平分线定理可得结论轴对称（复习二习题）例题示范例1：已知：如图，AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，垂足分别为点F ，G ，DE 是BC 的垂直平分线． 求证：BF =CG ．【思路分析】 读题标注：① 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，可得EF =EG ；② 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE ，CE（如图所示），得到BE =CE ；③ 题目所求为BF =CG ，证明△BEF ≌△CEG 即可． 【过程书写】证明：如图，连接BE ，CE ∵AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴EF =EG∵DE 是BC 的垂直平分线 ∴BE =CE∵EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴∠BFE =∠CGE =90° 在Rt △BEF 和Rt △CEG 中BE CE EF EG =⎧⎨=⎩（已证）（已证）∴Rt △BEF ≌Rt △CEG （HL ） ∴BF =CG （全等三角形对应边相等）GFDCB A巩固练习1.下列是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（）A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．C EDBODC BA第3题图第4题图4.已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则∠ACB=__________．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．EDCBA6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．O DBAEDCA7. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线DE 对称的图形△A 1B 1C 1．EC BAD8. 已知：如图，P 为∠ABC 内一点，请在AB ，BC 边上各取一点M ，N ，使△PMN 的周长最小．9. 已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别连接AC ，BC ，AE ，BE ．求证：∠CAE =∠CBE ．ED C10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点O ．OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ． 求证：OD =OE ．OE DA11.已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．O E DCBA思考小结1.轴对称的思考层次：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；对称轴上的点到对应点的距离_____________．③应用：奶站问题等．如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl【参考答案】巩固练习1. B2. B3.60°4.80°5. 36.327.作图略8.作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．9.证明略提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE10.证明略提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论11.证明略提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD ≌△AOE思考小结1.①相等、相等②垂直平分；相等④作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点轴对称（复习三随堂测试）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，若△ABC 和△EBC 的周长分别为60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰长为____________，底边长为____________．2. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，且∠DEA +∠DF A =180°．求证：DE =DF ．【思路分析】（1）读题标注：（2）梳理思路：①从条件出发：看到角平分线考虑角平分线上的点到角两边的距离相等，可作________________，________________，可得②题目所求为DE =DF ，证明____________________【过程书写】 证明：如图，【参考答案】1.22cm，16cm2.思路分析：①DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DM=DN过程书写略。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。

第十三章 轴对称知识点总结及常见题型1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：底角顶角⨯-=2180顶角顶角底角21-902180︒=-︒=可见，底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。

第十三章轴对称、知识框架:二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形•⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称 •铀对称图形AA\L区別只对f —冲-)ft-fKmr150对裤轴CF 一佥只冇一舉>(“轴对称旳睛(WK 予秤瓚的俭M 工菲.矗麹»JSt :t 鹽个、曲擢： 心)只有1一頭〉对務柄联系却晁把射对材囲宼泊对禅轴 曲卿撷甘"么卿牛曲癣 轶夭于迭条 W 鑽處抽对耕-如杲把.阿十庇抽对秤的国招 拼& — 妊呑虑一* 益林.外 也亡赣足一亍轴对STSJ 搭-(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线• (5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 •相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(6) 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.基本性质：⑴对称的性质：① 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称， 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.② 对称的图形都全等•③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

④ 两个图形关于某条直线成轴对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上。

⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点(x, y )关于x 轴对称的点的坐标为(x, -y ).②点（x, y ）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y ）.③点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y ）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等•②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合•④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等•②等边三角形三个内角都相等，都等于60 °③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.（6）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形•②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）•⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形•②三个角都相等的三角形是等边三角形•③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短•常考例题精选1. （2015 •三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（）2. （2015 •日照中考）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABC3. （2015 •杭州中考）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）4. （2015 •凉山州中考）如图，/ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/ 1的度数为（）A.30 °B.45 °C.60 °D.755. （2015 •德州中考）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）771 ~1 ~2 ~~ ~~6 ~7 d F A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4）D.（8，3）6. （2015 •南充中考）如图，△ ABC中, AB=AC Z B=70，则/A的度数是（）A.70 ° B.55C.50 °D.407. （2015 •玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8,贝尼的周长为（）A.12B.16C.20D.16 或208. （2014 •海门模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ ABC向右平移两个单位长度得到△ A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）A.（0，-1） B.（1，1） C.（2，-1）D.（1，-1）9. （2015 •绵阳中考）如图，AC BD相交于O, AB// DC AB=BC / D=40，/ ACB= 35°，则/ AOD= ______ .10. （2015 •丽水中考）如图，在等腰厶ABC中，AB=AC Z BAC=50，/ BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则/ CEF的度数1. （2015遵义）观察下列图形，是轴对称图形的是（）2. 点P（5，—4）关于y轴的对称点是（）A. （5，4）B. （5，—4）C. （4，—5）D. （—5，—4）3. 如图，△ ABC与厶ADC关于AC所在的直线对称，/ BCD= 70° ，/ BA B C D=80°，则/ DAC的度数为（）D. 854. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° ，/ B = 15° ，DE 垂直平分AB 交BC于点E，BE = 4，则AC长为（），第4题图）A. 2B. 3C. 4 D .以上都不对6. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图 所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是8. 如图，D ABC 内一点，CD 平分Z ACB ，BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点 E ，Z A ABE ，AC = 5，BC = 3，贝U BD 的长为（）9.如图，已知S A ABC = 12, AD 平分Z BAC ，且AD 丄BD 于点D ，则S ^ADC的值是（ ）5. 如图，AB = AC = AD ,若/ BAD = 80则/ BCD =(C. 140 D . 1607. （2015玉林）如图，在厶ABC正确的是（ ）EC C . 中，AB = AC ，DE // BC ，则下列结论中不 Z ADE = Z C D . DE = *BC，第5题图）(A . 10 B. 8 C . 610. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A , E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD 与BE交于点O, AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：①AD = BE;②PQ// AE ;③AP= BQ; ④DE= DP;⑤/ AOB = 60° .其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，D, E ABC两边AB , AC的中点,将厶ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若/ B = 55° ,则/BDF等于____________ .A「，第12题图）13. ____________________________________________________________ 如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________________________ 种.14. 如图，在厶ABC中，AB = AC , AB的垂直平分线交BC于点D ,垂足15. _______ 在厶ABC中，AC = BC,过点A作厶ABC的高AD ,若/ ACD = 30 贝B = __________ .16. ____ 如图，△ ABC中，D, E分别是AC , AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①/ EBO = /DCO;②/ BEO = /CDO:③BE = CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：.，第16题图）17. _________________________ 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2,则六边形的周长是 .' ，第17题图）18. __ 如图，已知/AOB = 30° ，OC平分/ AOB，在OA上有一点M，OM =10 cm,现要在OC, OA上分别找点Q，N，使QM + QN最小，则其最小值为.，第18题图）19. 如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P.不写作法，保留作图痕迹）23.如图，△ ABC，△ ADE是等边三角形，B，求证：(1)CE=AC + DC; (2)Z ECD = 60° . C，D在同一直线上.20. 如图，在平面直角坐标系中，A( —2, 2), B( —3, —2).(1) 若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__________ ;(2) 将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为________ ;(3) 求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积.■I r厂m ! I I_ ■i == = Ji1 l:-一十一4二* t： 1 ER I r21. 如图，在厶ABC 中，AB = AC, D 为BC 为上一点，/ B = 30° ，/ DAB45(1) 求/ DAC的度数；(2)求证：DC = AB.22. (2015潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB = CB，AD = CD，角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.请你写出与筝形ABCD的24. 如图,在等腰Rt A ABC中,/ ACB = 90° , D为BC的中点,DE丄AB , 垂足为E,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF ,试判断△ ACF的形状，并说明理由.25. 如图，已知AE丄FE,垂足为E,且E是DC的中点.(1) 如图①，如果FC丄DC, AD丄DC,垂足分别为C, D,且AD = DC,判断AE是/ FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图②，如果(1)中的条件“ AD = DC”去掉，其余条件不变，⑴中的结论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③，如果⑴的条件改为“ AD // FC” , (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.。

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第十三章《轴对称》考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例1．下列几何图形中，错误!线段错误!角错误!直角三角形错误!半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个2．图9—19中,轴对称图形的个数是（ )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称(1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x，—y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（—x,y）考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°,BC=8,D为AB中点，P为BC上一动点,连接AP、DP，则AP+DP的最小值是2、已知等边ABC,E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连图（2）B接AP 、PQ.若AP=PQ ，求证∠APQ 是多少度考点四、线段垂直平分线的性质典例1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC,E 度数.2、 如图，△ABC 中,AB=AC ，PB=PC,连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BC3、如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）A 。

第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, y) .②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P " ( x, y) .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.。

一、选择题1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）A 13B 32C 40D 20解析：A【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】解：∵D 是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，∴ED 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∴∠ECD=∠A ，∵∠A=36°，∴∠ECD=36°，∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠B=12（180°-36°）=72°， ∵∠ECD=∠A=36°，∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，∴∠B=∠BEC ，∴BC=CE ，∵AE=CE ，ED ⊥AC ，∴CD=12AC =3， 在Rt △CED 中， 22222313DE CD ++∴13故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．3．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度 A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C 解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.5C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．6．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 7．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°A解析：A【分析】 由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．8．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．9B解析：B【分析】 先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．9．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）A．3B．4C．5D．6B解析：B【分析】首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BCD的周长是9cm，∴BD＋DC＋BC＝9（cm），∴AD＋DC＋BC＝9（cm），∵AD＋DC＝AC，∴AC＋BC＝9（cm），又∵AC＝5cm，∴BC＝9−5＝4（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．下列图案是轴对称图形的是有（）A．①②B．①③C．①④D．②③C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．二、填空题11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．10【分析】使△AOP为等腰三角形只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰当OA是底边时有2个点；当OA是腰时有8个点即可得出答案【详解】∵A（80）∴OA=8设△AOP的边OA上的高是h则×8×h解析：10【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 12．在平面直角坐标系中，将点(3,2)P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为________．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x 轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P （3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x 轴的对称点解析：(7,2)【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P '的坐标，再根据关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【详解】解：∵将点P （3，-2）向右平移4个单位得到点P '，∴点P '的坐标是（7，-2），∴点P '关于x 轴的对称点的坐标是（7， 2）．故答案为：（7， 2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x 轴、y 轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．13．如图，等腰ABC 的周长为36，底边上的高12AD =，则ABD △的周长为________．30【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18再结合AD=12即可求得的周长【详解】∵△ABC 为等腰三角形AD 为底边上的高∴AB=ACBD=DC ∵△ABC 的周长等于36∴AB+BD+DC+A解析：30【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得ABD △的周长．【详解】∵△ABC 为等腰三角形，AD 为底边上的高，∴AB=AC ，BD=DC ，∵△ABC 的周长等于36，∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，∵AD=12，∴△ABD 的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30．故答案为：30．【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高线，顶角的平分线重合）是解题关键．14．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．30【分析】由等边三角形三线合一可知：点B 和点C 关于AD成轴对称连接BE 交AD 于点F 此时取得最小值进而求出的度数即可【详解】∵是等边三角形是边上的中线∴AD ⊥BCAD 平分∠BAC ∴点B 和点C 关于AD 解析：30【分析】由等边三角形三线合一，可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，此时，EF CF +取得最小值，进而，求出ECF ∠的度数即可．【详解】∵ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴点B 和点C 关于AD 所在直线成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，则BF=CF ，∴EF CF +=EF+BF=BE ，即：此时，EF CF +取得最小值，∵等边ABC ∆的边长为4，2AE =，∴E 是AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，∵点F 是角平分线AD 与BE 的交点，∴CF 平分∠BCA ，即：∠FCA=12∠ACB=12×60°=30°， ∴∠ECC=30°．故答案是：30．【点睛】本题主要考查等边三角形中，两线段和最小时，求角的度数，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键．15．如图，在Rt ABC中，BAC90︒∠=，AB2=，M为边BC上的点，连接AM．如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________．【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2解析：4 3【分析】过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．【详解】如图，设点B的对应点为N，由题意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，则MP＝MQ，设MP＝MQ=x，∵AN＝NC，∴AC＝2AN＝4；∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，∴12AB•AC＝12AB•MQ＋12AC•MP，∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝43，故答案为43．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．16．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．（1）△ABC的周长等于_____；（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点F连接EF交AB于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．【详解】（1）△ABC的周长等于4312⨯=，故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连结CD．请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为____．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD解析：30°【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数．【详解】解：根据题意，如图：∵BC=DC，∠ABC=100°，∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，根据题意得：MN是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A，∴∠A=1(18080)502⨯︒-︒=︒，∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12a 【分析】作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，∵15DBE BDE ∠=∠=︒∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==∴DH=11=22DE a ， ∵DE ∥BC ，∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH=12a ， 故答案为：12a ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.【分析】如图，延长BE ，交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==，1 4.2BE BG ∴==故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．解析：（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．22．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且 BD CE =．（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；A ．DF EF =B ． BF CF =C ．ABE ACD ∠=∠D ．BCD CBE ∠=∠E ． ADC AEB ∠=∠（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．解析：（1）,C E ；（2）见解析【分析】（1）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；（2）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解．【详解】解：（1）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形而其余选项均无法证明△ABC 为等腰三角形故答案为：C ；E（2）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质和判定，掌握AAS 定理证明三角形全等是解题关键．23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点,A C 的坐标分别为()()3,5,0,3.A C -（1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系并作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆ （2）写出点1B 的坐标并求出111A B C ∆的面积．解析：（1）见解析；（2）()11,1B ；面积4【分析】（1）根据A ，C 两点的坐标确定坐标系，分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A 1，B 1，C 1′即可；（2）由平面直角坐标系可得B 1的坐标，运用分割法可得111A B C ∆的面积．【详解】解：（1）如图所示，（2）点1B 的坐标为（1，1）111A B C ∆的面积=11134122324222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =12-1-3-4=4【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 24．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）， 如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点坐标分别为()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）画出ABC ，并求出ABC 的面积；（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，并写出2B 、1C 两点的坐标．解析：（1）画图见解析；5 （2）画图见解析；()11,1B -，()14,1C --【分析】（1）先根据A 、B 、C 三点坐标描点，再顺次连接即可得到ABC ，再运用割补法即可求出ABC 的面积；（2）分别作出A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可，根据作图即可写出2B 、1C 两点的坐标．【详解】解：（1）ABC 如图所示： 111341422235222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△；（2）111A B C △如图所示：()11,1B -，()14,1C --．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． 26．如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：DBC ECB △△≌；（2）求证：OD OE =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由“AAS”即可证明△BDC ≌△CEB ；（2）由△BDC ≌△CEB ，推出BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，得到OB=OC ，即可证明结论．【详解】（1）∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDC=∠BEC=90︒，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，在△BDC 和△CEB 中，90BDC BEC ABC ACB BC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△BDC ≌△CEB ，∴CD=BE ，∠BCD=∠CBE ，∴OB=OC ，∴OD=OE ．【点睛】本题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△BDC ≌△CEB ． 27．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.解析：（1）见解析；（2）详见解析.【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）逆用角的平分线性质定理证明.【详解】(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,∴∠CAF=∠BAE,∴△CAF ≌△BAE;(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,由（1）知，△CAF ≌△BAE ，∴CF=BE ，CAF BAE SS =, ∴1122CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，∴DA 平分∠CDE.【点睛】本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.28．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）解析：（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。

一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．114．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 5．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等6．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 7．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④ 8．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒ 11．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 12．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．10314．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 15．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒ 二、填空题16．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）17．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．18．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．19．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．20．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．21．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．22．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．23．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．24．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．25．如图，在22⨯的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC 为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC 成轴对称．26．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．三、解答题27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标； （3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．28．在等边ABC ∆中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP AQ =，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数； （2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．①依题意将图2补全；②求证：PA PM =．29．已知：点A 在直线DE 上，点B 、C 都在PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD ∠，且ABC BAC ∠=∠．（1）如图1，求证：//DE PQ ；（2）如图2，点K 为AB 上一点，连接CK ，若2EAC ACK ∠=∠，求AKC ∠的度数； （3）在（2）的条件下，点F 在直线DE 上，连接FK ，且DAB AFK KCB ∠=∠+∠，若13FKA AKC ∠=∠，则ACB ∠的大小为_________．（要求：在备用图中画出图形，并直接写出答案） 30．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______） （2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △． （3）求ABC 的面积．。

轴对称知识点总结及练习1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够 ；这条直线叫做 。

互相重合的点叫 。

2、成轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与 完全重合；这条直线叫做对称轴。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是两图成轴对称；把成轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：如图（1）成轴对称的两个图形 。

（2）连结“对应点的线段” 被对称轴 。

（3）对应点到对称轴的距离 。

（4）（4）对应点的连线互相 或在同一直线。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且 的直线，叫做线段的垂直平分线。

符号语言：如图 ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质： 。

∵直线m 垂直平分AB ，点P 是直线m 上的点。

符号语言：如图 ∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的 上。

如图，∵PA=PB ，∴点P 在 上 。

6、等腰三角形： （1）定义：有两边 的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做 。

第三条边叫做 。

②两腰的夹角叫做 。

③腰与底的夹角叫做 。

说明：底角顶角⨯-=2180 顶角顶角底角21-902180︒=-︒= （2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 ，一般有 条。

②等腰三角形的两个底角 ；简称 。

符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C （等边对等角）。

③三线合一：顶角平分线、 和 相互重合。

符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC AD ⊥BC ∴（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中，∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称 垂直平分线的性质与判定 尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线 上截取 ，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段 ，（设）．如图，在 中，，， 边上的垂直平分线 交 、 分别于点 、，则 的周长等于（ ）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知 ，所以 的周长等于 的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有 、、 三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在 ， 两边高线的交点处B. 在 ， 两边中线的交点处C. 在 ， 两边垂直平分线的交点处D. 在 ， 两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和 的和，记作段 就是线段 与 ③ 连接 ，则此时角 等于 ．③ 过 ， 两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出 的平分线．② 过 、 两点作直线 ∠DCE M N 已知线段 ，，作一条线段，使其长为 即线段 为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点 ，使 ，则点 一定在线段 的垂直平分线上，又点 到 两边的距离相等，则点 也在 的平分线上，所以作线段 的垂直平分线和 的平分线，两线的交点即为点 ．解：分别作线段 的垂直平分线 和 的平分线 ， 与 相交于点 ，则点 即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在 中 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若 ，则 的周长为 ．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第十三章 轴对称知识点总结及常见题型1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：底角顶角⨯-=2180顶角顶角底角21-902180︒=-︒=可见，底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。

八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结归纳单选题1、如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B,B′,C′在同一条直线上，∠BAC=∠α，则∠CB′B=（）A．2αB．αC．90°−αD．90°−2α答案：A分析：由翻折的性质可得∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，再根据角的和差解答即可．解：由翻折的性质可知：∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，∴∠AB′B=90°−∠B′AC=90°−∠α，∴∠AB′C′=180°−∠AB′B=180°−(90°−∠α)=90°+∠α，∴∠AB′C=90°+∠α，∴∠CB′B=∠AB′C−∠AB′B=90°+∠α−(90°−∠α)=2∠α，∴∠CB′B=2∠α．故选：A．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是掌握翻折的性质．2、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）答案：D分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，点A第二次关于x轴对称后在第四象限，点A第三次关于y轴对称后在第三象限，点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2020÷4＝505，∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．故选：D．小提示：本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．3、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．小提示：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4、过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )A．B．C．D．答案：C分析：根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．5、在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−1,2)D．(−1,−2)答案：D分析：直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A2点坐标，即可得出答案．解：∵点A1的坐标为（1，2），点A与点A1关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A2关于y轴对称，∴点A2的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．小提示：此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．6、一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里答案：C分析：根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB 即可．解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．7、如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条答案：B分析：根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．小提示：本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8、山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．9、下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形答案：B分析：分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．小提示：此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．10、如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2B．3C．4D．5答案：A分析：连接OP1，OP2，P1P2，点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，即得OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，根据OP1＋OP2＞P1P2，可知0＜P1P2＜2.6，即可得答案．连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．小提示：本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．填空题11、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为______cm．答案：12分析：根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP=NP2，MP=MP1，∴△PMN的周长=PN+MN+MP=P2N+NM+MP1=P1P2=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．12、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．答案：④×180°=90°，分析：根据全等三角形的性质可得∠AOB=∠AOD，根据平角的定义可得∠AOB=∠AOD=12即可判断①，根据全等三角形的性质得出AB=AD，BO=DO，结合①可得AC是BD的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD，AB=AD，BO=DO∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠AOB=∠AOD=1×180°=90°，2∴①AC⊥BD正确；∵AB=AD，BO=DO∴AC是BD的垂直平分线，∴②CB=CD正确；∵AB=AD,BC=DC,AC=AC，∴③△ABC≌△ADC正确；由已知条件不能判断④DA=DC．所以答案是：④．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．13、在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）答案：180°﹣α．分析：根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，{AE=EM∠AEC=∠DEMCE=DE，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，{AB=DMBF=DF AF=FM，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，所以答案是：180°﹣α．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14、如图，∠A=∠C=90°，且AB=AC=4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD=CE，当BD+ BE有最小值时，则ΔBDE的面积为________．答案：6分析：延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，得AC=CG．连接AE、GE、BG，ΔADB≅ΔCEA≅ΔCEG，得BD=AE=GE，当点B，E，G三点在一条直线，BD+BE=GE+BE距离最短．过点E′作E′H∥AC交BA于点H，得ΔBHE′≅ΔE′CG，得BH=E′C=AH，BE′=E′G，D′，E′为中点时BD+BE值最小．又根据S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G，即可求出ΔBDE的面积．延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，连接AE、GE、BG∴AC=CG，AD=CE又∵AD=CE，BA=AC=CG∴RtΔADB≅RtΔCEA≅RtΔCEG∴BD=AE=GE∴BD+BE=GE+BE由图可知，当点B，E，G在一条直线上，距离最短过点E′作E′H∥AC交BA于点H∴E′H∥AC∴∠BE′H=∠E′GC又∵AC=HE′=CG，∠BHE′=∠E′CG=90°∴ΔBHE′≅ΔE′CG∴CE′=BH=AH=12AB=2∴S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G∴S△BD′E′=12×8×4−12×4×2−12×6×2=6所以答案是：6．小提示：本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．15、如图，CD垂直平分线段AB，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．答案：3分析：由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得AC=BC，AM=BM，AD=BD，从而求得答案．∵CD垂直平分线段AB，∴AC=BC,AM=BM,AD=BD．∴图中一定相等的线段有3对．所以答案是：3．小提示：此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．解答题16、△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB= PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．答案：(1)证明见解析(2)图②结论：PB=PA+PC，证明见解析(3)图③结论：PA+PB=PC分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△CAP≌△BAF（SAS），得∠CAP=∠BAF，AF=AP，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论；（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△BAP≌△CAF（SAS），得出∠CAF=∠BAP，AP=AF，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；（2）解：图②结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AC=AB，CP=BF，∴△CAP≌△BAF（SAS），∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PC=PF+BF=PB；（3）解：图③结论：PA+PB=PC，理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（SAS），∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC．小提示：本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．17、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．(1)如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG＋DC＝AD；(2)如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．答案：(1)①见解析；②见解析(2)FG＝DC+AD分析：（1）①可以证明△ABD为等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．小提示：本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．18、已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM；(2)如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等．答案：(1)见解析(2)见解析分析：(1)作BC的垂直平分线交AC于M点，根据线段垂直平分线的性质可判断M点满足条件；(2)延长BA、CD，它们相交于点P，再作∠BPC的平分线交AC于N，利用角平分线的性质得到N点到AB和CD的距离相等，则根据三角形面积公式得到△ABN和△CDN的面积相等．（1）解：点M即为所求；（2）如图，点N即为所求．小提示：此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．。

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题单选题1、如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处答案：C分析：根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．2√3C．3.5D．3√3答案：A分析：作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+ PN的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3、若点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．a >−1B ．a <1C ．−1<a <1D ．a <−1答案：C分析：根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐标符号为（+，-），据此列不等式解答．解：∵点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点坐标为（a +1，2a -2），且在第四象限，∴a +1>0，且2a -2<0，解得-1<a <1，故选：C ．小提示：此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关键．4、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD=∠C或若∠BFD=∠A，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，∴FD=CF，设CF=x，则FD=CF=x,BF=4−x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则BFBC =FDAC，即4−x4=x3，解得x=127；②若∠BFD=∠A，则BFAB =FDAC，即4−x3=x3，解得x=2．综上，CF的长为127或2，故选：B．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S△ABD，从而得到12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，即可求解．解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC=2S△ABD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC=12AC⋅BF,S△ABD=12AB⋅DE，∴12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，∵BF=8，∴DE=4．故选：C小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°答案：B分析：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．小提示：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．7、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜8、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．9、如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．16B．15C．14D．13答案：B分析：根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．解：∵点P关于OB、OA的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，∴△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15∴△PMN的周长为15．故选：B．小提示：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10、△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ 的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC ＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，∴PG＝GQ，∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，∴AE＝EB＝BH＝HC，∴△EBH是等边三角形，∵EG⊥BH，∴BG＝GH，∴PB＝HQ，∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，∴∠PEB＝∠QEH，∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，又∵EH＝EH，∴△PEH≌△FEH（SAS），∴∠EHP＝∠EHF＝60°，∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，∴EH＝HC，又∵HF＝HF，∴△EHF≌△CHF（SAS），∴FC＝EF，∴FQ＝FC，故②正确；④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；综上，正确的有3个，故选：C．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD=1，则AD的长为________．答案：2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=1，∴AD=BD=2CD=2，所以答案是：2．小提示：此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．12、在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有________个，按对称轴条数由多到少排列是_______________．答案： 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角分析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，所以答案是：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．小提示：本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，在ΔABC中，AB=7cm，BC=5cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则ΔBCF周长的最小值是________cm．答案：12分析：当F点于D重合时，ΔBCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出ΔBCF的周长．∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当F点于D重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴ΔBCF的周长为：CΔBCF=BD+CD+BC，∵DE是垂直平分线，∴AD=CD，又∵AB=7cm，∴BD+AD=BD+CD=7cm，∴CΔBCF=7+5=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．14、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=108°，则图1中的∠DEF的度数是______．答案：24°##24度分析：先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．∵AD∥BC，∴设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．解得a＝24°．即∠DEF＝24°，所以答案是：24°．小提示：本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．15、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=_________°．答案：30分析：根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.解：∵EF垂直平分BC，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.所以答案是：30.小提示：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.解答题16、如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：(1)画出△ABC中BC边上的高AD；(2)画出先将△ABC向左平移5格，再向下平移2格后的△A1B1C1；(3)画一个△BCP（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2分析：（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共（1）解：如图：作BF⊥BC，再过A点作BF的平行线，交BC于点D，（2）解：如图：（3）解：如图符合条件的格点共有4个，小提示：本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．答案：见解析分析：连接AD，首先根据垂直平分线的性质得到∠DAB=∠B=30°，然后根据AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．证明：连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．小提示：此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接AD求出∠DAB=∠B=30°．18、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．。

八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称：如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

二、轴对称的性质1. 对应点性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2. 对应线段与对应角：轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

三、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。

2. 关于y轴对称：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。

五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （三线合一）。

判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

2. 等边三角形：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；等边三角形具有等腰三角形所有的性质。

判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2. 三角形三条边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

八年级数学上册第十三章轴对称知识点汇总单选题1、已知有序数对(a,b )及常数k ，我们称有序数对(ka +b,a −b )为有序数对(a,b )的“k 阶结伴数对”．如(3,2)的“1阶结伴数”对为(1×3+2,3−2)即(5,1)．若有序数对(a,b )(b ≠0)与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．－2B ．−32C ．0D ．−12答案：B分析：根据“k 阶结伴数对”的定义求出有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，再利用(a,b )和(ka +b,a −b )关于y 轴对称，求出{b =a −b a =−(ka +b )，进一步可求出k =−32． 解：由题意可知：有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，∵(a,b )和(ka +b,a −b )关于y 轴对称，∴{b =a −b a =−(ka +b )， 解得：k =−32． 故选：B小提示：本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，掌握坐标轴对称的特点，得到{b =a −b a =−(ka +b )． 2、下列说法正确的是（ ）A ．已知点M （2，﹣5），则点M 到x 轴的距离是2B ．若点A （a ﹣1，0）在x 轴上，则a ＝0C ．点A （﹣1，2）关于x 轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）D ．点C （﹣3，2）在第一象限内答案：C分析：分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x 轴上的点的纵坐标为零；关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．小提示：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．3、如图，在ΔABC中，AC=BC , ∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°答案：C分析：利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数.由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°−40°−40°=100°，∴∠BCG=1∠ACB=50°．2故选C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.4、如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种答案：C分析：将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、下列润滑油1ogo标志图标中，不是．．轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6、下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据轴对称图形的定义分析即可求解，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．7、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B分析：根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B小提示：本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．8、如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC B．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC D．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC答案：D分析：根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．9、如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为（）A．4B．3C．5D．6答案：A分析：先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，∵∠ADC=90°，C'D=CD，∴点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，∵∠A=∠ADC=90°∴CD//AB，∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，∵C' D=CD，∠ADC=90°∴CC' =2CD，∵BC=2CD，∴CC' =BC，∴∠C'=∠CBC'，∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，则BE=AD=2，在Rt△BEC'中，∠C'=30°，BE=2，∴BC' =2BE=4，即PB+ PC的值最小值为4，故选∶A．小提示：此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键．10、如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（）A．(40,−a)B．(−40,a)C．(−40,−a)D．(a,−40)答案：B分析：直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．小提示：此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．填空题11、仔细观察图1，体会图1的几何意义．用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或······，OC，OD均是折痕，当B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∠A'OB'的度数是___________．答案：30°分析：由折叠的性质知，∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，再利用∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°，即可得出答案．解：由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，所以答案是：30°．小提示：本题主要考查了翻折的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．12、如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为_____________．答案：60°##60度分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，△CEF的周长最小，根据等边三角形性质求出∠CME，∠FEM,即可求出答案．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∴∠AMN=∠ABC,∵等边三角形ABC的边长为4，E是边AC的中点．∴AC=AB=BC=4，AE=2，∠ABC=60°=∠AMN,∠AEM=∠ACB=60°,∴EC=2=AE，△AME为等边三角形，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，△CEF的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC=AB，∵AM=BM，CM⊥AB,∠ACB=30°，∠AMC=90°,．∴∠ECF=12∴∠CME=90°−60°=30°,由轴对称的性质可得：∠MEF=∠FME=30°,∴∠CFE=30°+30°=60°.所以答案是：60°小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练想利用轴对称的性质确定F的位置是解本题的关键．13、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN 的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．答案：84分析：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME=MP，∠MPO=∠OEM；作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN=FN，∠OPN=∠OFN；根据PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度．作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；∴EM=MP，∠MPO=∠OEM，∠EOM=∠MOP作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，∴PN=FN，∠OPN=∠OFN，∠PON=∠NOF∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF∠AOB=∠MOP+∠PON∴∠EOF=2∠AOB又∵∠AOB=48°∴∠EOF=96°∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°∴∠OEM+∠OFN=180°−96°=84°∵∠MPO=∠OEM，∠OPN=∠OFN∴∠MPO+∠OPN=84°∵∠MPN=∠MPO+OPN=84°所以答案是：84．小提示：本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．14、在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将△PCQ,△ADQ，分别沿PQ,AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为_________；（2）线段CD与QR的数量关系为__________．答案：AD∥BC CD=2QR分析：（1）由同旁内角互补，两直线平行即可得出；（2）由折叠的性质即可得出．（1）由折叠性质可得：∠D=∠QRA,∠C=∠QRP，∵∠QRA+∠QRP=180°，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC；（2）由折叠性质可知：DQ=QR,CQ=QR，∴CD=DQ+CQ=2QR．所以答案是：AD∥BC，CD=2QR．小提示：本题考查了折叠的性质，平行线的判定，掌握折叠的性质是解题的关键，15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC,AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α=________°．2答案：55°．分析：根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出α．如图，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=20°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−20°=70°，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠2=12∠BAC=12×70°=35°，∴PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=90°−∠2=90°−35°=55°，∵∠α与∠1是对顶角，∴∠α=∠1=55°．所以答案是：55°．小提示：此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．解答题16、如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．(1)如图1，当∠BEA＝35°时，∠FAD的度数为．（直接填空）(2)如图2，连BD，若∠CBD＝25°，AF∥BD，求∠BAE；(3)如图3，当AF∥BD时，设∠CBD＝α，请你求出∠BAE的度数．（用α表示）答案：(1)20°(2)57.5°(3)45°+1α2分析：（1）先求出∠BAE的度数，然后根据翻折得出∠FAE的度数，再根据平行线的性质求出∠DAE的度数，即可得出结论；（2）先根据AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度数，由平行线的性质得出∠BEF的度数，根据翻折变换的性质得出∠BEA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论；（3）同（2）的证明过程即可．（1）解：由题意知AD∥BC，∠B=90°，又∠BEA＝35°，∴∠BAE=55°，∵翻折，∴∠FAE=∠BAE=55°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠BEA=35°．∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°所以答案是：20°；（2）解∶如图2，∵AD∥BC，∠CBD=25°，∴∠ADB=25°．∵AF∥BD，∴∠FAD=25°，∴∠AGF=90°-25°=65°．∵AD∥BC，∴∠BEF=∠AGF=65°．∵△AEF由△AEB反折而成，∠BEF=32.5°，∴∠BEA=12∴∠BAE=90°-32.5°=57.5°；（3）解∶如图3，∵AD∥BC，∠CBD=α，∴∠ADB=α．∵AF∥BD，∴∠FAD=α，∴∠AGF=90°−α．∵AD∥BC，∴∠BEF =∠AGF =90°−α．∵△AEF 由△AEB 反折而成，∴∠BEA =12∠BEF =12(90°−α)=45°−12α，∴∠BAE =90°−(45°−12α)=45°+12α．所以答案是：45°+12α． 小提示：本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．17、（1）方法呈现：如图①：在△ABC 中，若AB =6，AC =4，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE =AD ，再连接BE ，可证△ACD ≌△EBD ，从而把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE +CF 与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．答案：（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．分析：（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD ≌△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵{BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；所以答案是：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．小提示：此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．18、如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明答案：(1)证明见解析；(2)AB+AC=2AE，理由见解析分析：（1）连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，即可得证；（2）根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB−AE=AF−AC，从而可得AB+AC=2AE．（1）证明：连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，{BE=CF，BD=CD∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴DE=DF，在Rt△AFD和Rt△AED中，{DF=DE，AD=AD∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，∴∠FAD=∠EAD，∴AD为∠CAB的角平分线；（2）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AF，又∵BE=CF，∴AB−AE=AF−AC，即AB+AC=AE+AF=2AE，∴AB+AC=2AE．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL是解题的关键．。