人教版数学八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题(无答案)(最新整理)

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

第十三章轴对称知识点常见考点例析一.知识框架图二.轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

三.轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．四.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；五.关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）六.关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；。

第13章 轴对称知识点总结一、定义1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

3.轴对称图形与轴对称的区别和联系：区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4.轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与对应点连结的线段垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

二、.线段的垂直平分线（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）垂直平分线判定：∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上 。

三、等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

注意：等腰三角形底角只能是锐角。

2.等腰三角形性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②等边对等角。

③三线（垂线、中线、角平分线）合一。

3.等腰三角形判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

m CA B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰CBA②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

四、等边三角形1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

第十三章《轴对称》（一）轴对称和轴对称图形1 、有一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形对于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形对于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴一定是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：假如两个图形对于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直均分线。

近似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直均分线。

连结随意一对对应点的线段被对称轴垂直均分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形对于某条直线的轴对称图形步骤：找到重点点，画出关键点的对应点，依据原图次序挨次连结各点。

（二）轴对称与轴对称图形的差别和联系差别：轴对称是指两个图形之间的形状与地点关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个拥有特别形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分红两个图形，这两个图形是全等形，而且成轴对称．联系： 1 ：都是折叠重合2; 假如把成轴对称的两个图形当作一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

线段的垂直均分线经过线段的中点而且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直均分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直均分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直均分线上．（证明是一定有两个点）所以线段的垂直均分线能够当作与线段两个端点距离相等的全部点的会合．（四）用坐标表示轴对称1、点（ x，y）对于 x 轴对称的点的坐标为（-x ，y）2、点（ x，y）对于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y ）；( 五）对于坐标轴夹角均分线对称点 P（x，y）对于第一、三象限坐标轴夹角均分线 y＝x 对称的点的坐标是（ y，x）点 P（x，y）对于第二、四象限坐标轴夹角均分线 y＝－ x 对称的点的坐标是（－ y，－ x）( 六）对于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）对于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）对于直线y＝n 对称的点的坐标是（x，2n－y）；（七）等腰三角形等腰三角形性质：性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边平等角”）性质 2：等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

初二上册数学第13章轴对称复习要点
人教版初二上册数学第13章轴对称复习要点
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

等腰三角形的性质：
等腰三角形的'两个底角相等。

(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(三线合一)(附：顶角+2底角=180°)
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十三章轴对称一、知识框架：二、知识清单：1.轴对称：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.轴对称的性质：对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.3.线段垂直平分线性质①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.③线段垂直平分线的作图a 分别以线段的两个端点为圆心，大于1/2线段的适当长度为半径画弧，两弧交于两个点；b 过两个交点作直线，则直线即为已知线段的垂直平分线.4.画已知图形的轴对称图形（步骤）a 过已知点A 作对称轴l 的垂线，垂足为O ，在垂线上截取OA'，使OA'=OA ，则点A'是点A 的对称点；b 同理分别作出其它关键点的对称点；c 将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.5.关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②关于y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.③关于原点对称的点横纵坐标分别互为相反数；点P (,)x y 关于原点对称的点的坐标为P 1()y ,x --.6.等腰三角形（1）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）等腰三角形的性质（定理）：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.②等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）（3）等腰三角形的判定（定理）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

lA B二、举例：例1：判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ） ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （ ） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（ ） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC 和直线l ，请作出ΔABC 关于直线l 的对称三角形。

第十三章轴对称、知识框架:二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形•⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称 •铀对称图形AA\L区別只对f —冲-)ft-fKmr150对裤轴CF 一佥只冇一舉>(“轴对称旳睛(WK 予秤瓚的俭M 工菲.矗麹»JSt :t 鹽个、曲擢： 心)只有1一頭〉对務柄联系却晁把射对材囲宼泊对禅轴 曲卿撷甘"么卿牛曲癣 轶夭于迭条 W 鑽處抽对耕-如杲把.阿十庇抽对秤的国招 拼& — 妊呑虑一* 益林.外 也亡赣足一亍轴对STSJ 搭-(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线• (5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 •相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(6) 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.基本性质：⑴对称的性质：① 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称， 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.② 对称的图形都全等•③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

④ 两个图形关于某条直线成轴对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上。

⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点(x, y )关于x 轴对称的点的坐标为(x, -y ).②点（x, y ）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y ）.③点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y ）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等•②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合•④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等•②等边三角形三个内角都相等，都等于60 °③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.（6）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形•②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）•⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形•②三个角都相等的三角形是等边三角形•③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短•常考例题精选1. （2015 •三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（）2. （2015 •日照中考）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABC3. （2015 •杭州中考）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）4. （2015 •凉山州中考）如图，/ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/ 1的度数为（）A.30 °B.45 °C.60 °D.755. （2015 •德州中考）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）771 ~1 ~2 ~~ ~~6 ~7 d F A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4）D.（8，3）6. （2015 •南充中考）如图，△ ABC中, AB=AC Z B=70，则/A的度数是（）A.70 ° B.55C.50 °D.407. （2015 •玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8,贝尼的周长为（）A.12B.16C.20D.16 或208. （2014 •海门模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ ABC向右平移两个单位长度得到△ A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）A.（0，-1） B.（1，1） C.（2，-1）D.（1，-1）9. （2015 •绵阳中考）如图，AC BD相交于O, AB// DC AB=BC / D=40，/ ACB= 35°，则/ AOD= ______ .10. （2015 •丽水中考）如图，在等腰厶ABC中，AB=AC Z BAC=50，/ BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则/ CEF的度数1. （2015遵义）观察下列图形，是轴对称图形的是（）2. 点P（5，—4）关于y轴的对称点是（）A. （5，4）B. （5，—4）C. （4，—5）D. （—5，—4）3. 如图，△ ABC与厶ADC关于AC所在的直线对称，/ BCD= 70° ，/ BA B C D=80°，则/ DAC的度数为（）D. 854. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° ，/ B = 15° ，DE 垂直平分AB 交BC于点E，BE = 4，则AC长为（），第4题图）A. 2B. 3C. 4 D .以上都不对6. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图 所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是8. 如图，D ABC 内一点，CD 平分Z ACB ，BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点 E ，Z A ABE ，AC = 5，BC = 3，贝U BD 的长为（）9.如图，已知S A ABC = 12, AD 平分Z BAC ，且AD 丄BD 于点D ，则S ^ADC的值是（ ）5. 如图，AB = AC = AD ,若/ BAD = 80则/ BCD =(C. 140 D . 1607. （2015玉林）如图，在厶ABC正确的是（ ）EC C . 中，AB = AC ，DE // BC ，则下列结论中不 Z ADE = Z C D . DE = *BC，第5题图）(A . 10 B. 8 C . 610. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A , E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD 与BE交于点O, AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：①AD = BE;②PQ// AE ;③AP= BQ; ④DE= DP;⑤/ AOB = 60° .其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，D, E ABC两边AB , AC的中点,将厶ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若/ B = 55° ,则/BDF等于____________ .A「，第12题图）13. ____________________________________________________________ 如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________________________ 种.14. 如图，在厶ABC中，AB = AC , AB的垂直平分线交BC于点D ,垂足15. _______ 在厶ABC中，AC = BC,过点A作厶ABC的高AD ,若/ ACD = 30 贝B = __________ .16. ____ 如图，△ ABC中，D, E分别是AC , AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①/ EBO = /DCO;②/ BEO = /CDO:③BE = CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：.，第16题图）17. _________________________ 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2,则六边形的周长是 .' ，第17题图）18. __ 如图，已知/AOB = 30° ，OC平分/ AOB，在OA上有一点M，OM =10 cm,现要在OC, OA上分别找点Q，N，使QM + QN最小，则其最小值为.，第18题图）19. 如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P.不写作法，保留作图痕迹）23.如图，△ ABC，△ ADE是等边三角形，B，求证：(1)CE=AC + DC; (2)Z ECD = 60° . C，D在同一直线上.20. 如图，在平面直角坐标系中，A( —2, 2), B( —3, —2).(1) 若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__________ ;(2) 将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为________ ;(3) 求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积.■I r厂m ! I I_ ■i == = Ji1 l:-一十一4二* t： 1 ER I r21. 如图，在厶ABC 中，AB = AC, D 为BC 为上一点，/ B = 30° ，/ DAB45(1) 求/ DAC的度数；(2)求证：DC = AB.22. (2015潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB = CB，AD = CD，角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.请你写出与筝形ABCD的24. 如图,在等腰Rt A ABC中,/ ACB = 90° , D为BC的中点,DE丄AB , 垂足为E,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF ,试判断△ ACF的形状，并说明理由.25. 如图，已知AE丄FE,垂足为E,且E是DC的中点.(1) 如图①，如果FC丄DC, AD丄DC,垂足分别为C, D,且AD = DC,判断AE是/ FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图②，如果(1)中的条件“ AD = DC”去掉，其余条件不变，⑴中的结论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③，如果⑴的条件改为“ AD // FC” , (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.。

轴对称知识点总结及练习1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够 ；这条直线叫做 。

互相重合的点叫 。

2、成轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与 完全重合；这条直线叫做对称轴。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是两图成轴对称；把成轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：如图（1）成轴对称的两个图形 。

（2）连结“对应点的线段” 被对称轴 。

（3）对应点到对称轴的距离 。

（4）（4）对应点的连线互相 或在同一直线。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且 的直线，叫做线段的垂直平分线。

符号语言：如图 ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质： 。

∵直线m 垂直平分AB ，点P 是直线m 上的点。

符号语言：如图 ∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的 上。

如图，∵PA=PB ，∴点P 在 上 。

6、等腰三角形： （1）定义：有两边 的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做 。

第三条边叫做 。

②两腰的夹角叫做 。

③腰与底的夹角叫做 。

说明：底角顶角⨯-=2180 顶角顶角底角21-902180︒=-︒= （2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 ，一般有 条。

②等腰三角形的两个底角 ；简称 。

符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C （等边对等角）。

③三线合一：顶角平分线、 和 相互重合。

符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC AD ⊥BC ∴（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中，∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称 垂直平分线的性质与判定 尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线 上截取 ，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段 ，（设）．如图，在 中，，， 边上的垂直平分线 交 、 分别于点 、，则 的周长等于（ ）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知 ，所以 的周长等于 的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有 、、 三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在 ， 两边高线的交点处B. 在 ， 两边中线的交点处C. 在 ， 两边垂直平分线的交点处D. 在 ， 两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和 的和，记作段 就是线段 与 ③ 连接 ，则此时角 等于 ．③ 过 ， 两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出 的平分线．② 过 、 两点作直线 ∠DCE M N 已知线段 ，，作一条线段，使其长为 即线段 为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点 ，使 ，则点 一定在线段 的垂直平分线上，又点 到 两边的距离相等，则点 也在 的平分线上，所以作线段 的垂直平分线和 的平分线，两线的交点即为点 ．解：分别作线段 的垂直平分线 和 的平分线 ， 与 相交于点 ，则点 即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在 中 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若 ，则 的周长为 ．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

轴对称课堂导入如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴一、知识梳理：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。

轴对称与两个图形成轴对称的区别于联系轴对称图形的性质①成轴对称的两个图形是全等图形②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线③轴对称图形的对应线段的交点( 或其延长线的交点) 必在对称轴上.二、考点分类考点一：生活中的轴对称图形及对称轴例1：下列可以看作是轴对称图形的有【变式训练】1、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）A. B. C. D.2、在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 。

3、下列图形中对称轴最多的是 ( )A 、圆B 、正方形C 、等腰三角形D 、线段考点二：轴对称图形的性质例3、已知如图，直线ａ是五边形ABCDE 的对称轴根据轴对称的性质可知:①线段 AB 的对应线段是②点C 的对应点是③∠ABC 的对应角是④连接BE ，则BE 被直线 ａ .【变式训练】如图（1），直线,l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB=CD ，有下面的结论:①AB ⊥BC ②AC ⊥BD ③AB ∥CD ④AO ＝OC.其中正确的结论有309087图（1）图（2）【例4】如图（2），OA=OB，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对。

线段垂直平分线性质经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线一、知识梳理：2、性质定理与逆定理：（1）线段垂直平分线上的_____________与这条线段___________的距离__________. （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________________上.考点一：垂直平分线的性质运用【例1】：（1）如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）A、3.9cm B.7.8cm C.4cm D.4.6cm（2）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB于点D，CE=4，△BCD的周长等于12，则△ABC的周长是（）A、20 B.18 C.16 D.14例2考点二：线段垂直平分线的判定【例2】：如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，MN是BC的垂直平分线，EF与MN相交于点O。

人教版八年级数学上册第十三章轴对称知识点归纳13.1轴对称如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

如果一个平面图形沿着一条直线折叠，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

轴对称图形与轴对称的区别：①轴对称图形是一个具有对称关系的图形；轴对称是两个图形的位置关系。

②轴对称图形可以有多条对称轴；两个图形成轴对称，则只有一条对称轴。

经过线段中点，且垂直于这条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线。

也叫做中垂线。

垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

轴对称的性质：①如果两个图形关于一条直线对称，那么它们肯定是全等的。

但两个图形全等，它们却不一定成轴对称。

②如果两个图形关于一条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

轴对称图形的性质：①轴对称图形的对称轴两侧的部分是全等的。

②轴对称图形的对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线。

尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线画法：分别以A、B两点为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点2作直线CD，则直线CD为所求已知点O是直线l上的一点，求作过点O的直线PQ⊥l画法：以O为圆心，适当长度为半径画圆弧，交l与A、B两点分别以A、B两点为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点2作直线PQ，则直线PQ为所求已知点P是直线l外的一点，求过点P作直线PQ⊥l画法：以点P为圆心，适当长度为半径画圆弧，交l与A、B两点分别以A、B两点为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点2作直线PQ，则直线PQ为所求13.2画轴对称图形画轴对称图形的步骤：①找出关键点。