2011年高三文科数学试题及答案D的离心率为（ ）A.53B.43C.54D.745. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.636. 对定义域内的任意两个不相等实数1x ，2x ，下列满足0)]()()[(2121<--x f x f x x 的函数是（ ） A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(= C ．x x f ln )(= D ．xx f 5.0)(=7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A.373m B.392m C.372mD.394m8. 已知函数m x x x f +-=3)(3在区间]0,3[-上的最大值与最小值的和为14-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．9-D ．8-9. 已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABCS V -的概率是（ ） A ．43 B ．87 C ．21 D ．4110.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，b =ABC 的外接圆半径为（ B ）A ．21B.1C.2D.4第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．11.记nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = .12. 已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .13.已知函数()11sin 24f x x x x =--的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为12，则)4tan(0π+x的值为 ．14. 某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
贵州省贵阳市联考2018-2019学年高三上学期适应性数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（）A．∅B．{0} C．{﹣1} D．2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣13．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A．B．C．D．4．设点O在△ABC的内部，且有+2+3=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．968．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=19．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）A．B．C．D．10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（）A．﹣3 B． C．D．311．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．212．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．∪C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．等差数列{an }中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5b9= ．14．函数y=的最小值是．15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为．16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数f （x ）=2sin （+x ）cosx ﹣（cosx ﹣sinx ）2．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）将f （x ）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g （x ），求g （）的值．18．（12分）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； （2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．19．（12分）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE 中，BC ∥DE ，∠BCD=，DE=2，且直线AE 与CD 所成角为，AB ⊥CD ．（1）求证：平面ABC ⊥平面BCDE ； （2）求三棱锥C ﹣ABE 的体积．20．（12分）函数f （x ）=x 2﹣mlnx ﹣nx ．（1）当m=﹣1时，函数f （x ）在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围； （2）当m ＞0，n=0时，关于x 的方程f （x ）=mx 有唯一解，求实数m 的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，直线PQ过F 交椭圆于P ，Q 两点，且|PF|max •|QF|min =．（1）求椭圆的长轴与短轴之比；（2）如图，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于D ，E 两点，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，A为圆O外一点，AO与圆交于B，C两点，AB=4，AD为圆O的切线，D为切点，AD=8，∠BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E，F两点．（1）求证： =；（2）求DE•DF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．贵州省贵阳市联考2018-2019学年高三上学期适应性数学（文科）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（）A．∅B．{0} C．{﹣1} D．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：P={y|y=cosθ，θ∈R}=[﹣1，1]，，∴P∩Q={﹣1}，故选C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程．【解答】解：由题意，，所以曲线过点（1，3）处的切线斜率为k=3﹣1=2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，故选C．【点评】本题考查曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程，考查导数的几何意义，比较基础．3．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点（﹣2，4）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，4），，所以，故选：B ．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．4．设点O 在△ABC 的内部，且有+2+3=，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取D ，E 分别为AC ，BC 中点，由已知得，即=﹣2，从而确定点O 的位置，进而求得△AOB 的面积与△ABC 的面积比．【解答】解：取D ，E 分别为AC ，BC 中点，由已知得，即=﹣2，即O ，D ，E 三点共线，且O 在中位线DE 上，所以S △AOB =，故选C ．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n 为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a 1+a n =70，从而得到，由此能求出结果．【解答】解：因为 a 1+a n =a 2+a n ﹣1=a 3+a n ﹣2， 所以3（a 1+a n ）=94+116=210， 所以a 1+a n =70，所以，所以n=8．故选：D．【点评】本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，而反之不成立．即可判断出．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知，如果l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查了面面垂直的判定定理、充分必要条件，属于基础题．7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．96【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，AB=2，CD=4，AD=4，棱锥的高为VD=4，则该四棱锥的体积V==16，故选：A【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．8．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=1【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C的方程．【解答】解：的焦点为（0，1），所以圆C为，所以x2+（y﹣1）2=1，故选：D．【点评】本题考查圆C的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．9．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法求出甲乙两同学分班的所有情况和符合条件的各种情况，由此能求出这两名同学被分到同一个班的概率．【解答】解：甲乙两同学分班共有以下情况：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中符合条件的有三种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（）A．﹣3 B． C．D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：，又复数=在复平面上对应的点在y轴上，∴解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．11．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．x（x＞0），g（x）=，12．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．∪C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】求出g（x）的范围，利用存在实数n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，|m|≤1，即﹣1≤log2，∴，故选：B．【点评】本题考查函数的值域以及对数函数的性质，分段函数的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.） 13．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 4﹣a 72+2a 10=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 5b 9= 16 ．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质可把原式化简可得4a 7﹣a 72=0，从而可求a 7，再由等比数列的性质可得b 5•b 9=b 72，从而可求的答案． 【解答】解：∵{a n }是等差数列， ∴a 4+a 10=2a 7，∴2a 4﹣a 72+2a 10=4a 7﹣2a 72=0， ∴a 7=0或a 7=4． ∵{b n }为等比数列，∴．故答案是：16．【点评】本题主要考查了等差数列（若m+n=p+q ，则再等差数列中有a m +a n =a p +a q ；在等比数列中有a m •a n =a p •a q ）与等比数列的性质的综合应用，利用性质可以简化基本运算．14．函数y=的最小值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】将函数化为y=（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【解答】解：函数y===+=（+）+≥2+=．当且仅当=，即有x=0，取得等号．则函数的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理．【分析】利用平面向量共线的性质及正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，结合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函数值可求A，利用正弦定理可求sinB，根据同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），∴asinB﹣bcosA=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0．又∵sinB≠0，∴．∵0＜A＜π，∴A=，∴．∵a＞b，∴A＞B，∴，∴，∴△ABC的面积为．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，且由S出发的三条棱两两垂直，补体为长方体，，，∴=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•贵州月考）设函数f（x）=2sin（+x）cosx﹣（cosx﹣sinx）2．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x），求g（）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）===．由，求得，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y=2sin[2（x﹣）+]+1﹣=2sin2x+1﹣的图象；再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x）=2sin4x+1﹣的，∴g（）=0+1﹣=1﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．18．（12分）（2016秋•贵州月考）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；（2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．【考点】几何概型．【分析】（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x∈[10，30]，y∈[10，30]，作出正方形区域得答案；（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，由线性规划知识求出可行域，利用面积比得答案．【解答】解：（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x∈[10，30]，y∈[10，30]，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示．（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，对应区域为△BEF，所求概率．【点评】本题考查几何概型，体现了数学转化思想方法，关键是由题意作出图形，是中档题．19．（12分）（2016秋•贵州月考）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=，DE=2，且直线AE与CD所成角为，AB⊥CD．（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，利用线面垂直的判定得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面ABC⊥平面BCDE；（Ⅱ）过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）可得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，进一步得到∠AEF为直线AE与CD所成角，然后求解直角三角形得AF=．进一步得EF=2，然后利用等积法求得三棱锥C﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又CD ⊂平面BCDE ， ∴平面ABC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）解：如图，过E 作EF ⊥BC ，连接AF ， 由（Ⅰ）得，EF ⊥平面ABC ， 且EF ∥CD ，CF=DE=2， ∴．在△ACF 中， =12，∴AF=．…（9分）在Rt △AEF 中，可得EF=2，∴．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质和判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）（2016秋•贵州月考）函数f （x ）=x 2﹣mlnx ﹣nx ．（1）当m=﹣1时，函数f （x ）在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围； （2）当m ＞0，n=0时，关于x 的方程f （x ）=mx 有唯一解，求实数m 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将f （x ）在定义域内是增函数转化为f'（x ）=恒成立，再参数变量分离，根据对勾函数的性质求的最小值（2）构造新的函数g （x ）=x 2﹣mlnx ﹣mx ，利用导数求出单调区间和最小值，方程有唯一解即函数g （x ）只有一个零点，故g （x ）min =0．由，消去m ，得到关于x 2的方程，再次构造函数，利用单调性解出x 2，从而得到m 的值【解答】解：（1）当m=﹣1时，f （x ）=x 2+lnx ﹣nx ，依题意有对x ∈（0，+∞）恒成立，只需．因为，当且仅当时取等，所以．（2）设g （x ）=f （x ）﹣mx=x 2﹣mlnx ﹣mx ，依题意，g （x ）=0有唯一解．，由x ＞0，m ＞0，解得（舍），．当x ∈（0，x 2）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）上单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（x 2，+∞）上单调递增． 所以g （x ）min =g （x 2）．因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，则有即两式相减并化简得2lnx 2+x 2﹣1=0．设h （x ）=2lnx+x ﹣1，易知h （x ）在（0，+∞）上是增函数，且h （1）=0， 则h （x ）=0恰有一解，即x 2=1， 代入g （x 2）=0得m=1．【点评】本题主要考察导数的综合应用．第1问是基础题，第2问构造函数是解题的关键，综合性很强，难度较大21．（12分）（2016秋•贵州月考）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，直线PQ 过F 交椭圆于P ，Q 两点，且|PF|max •|QF|min =．（1）求椭圆的长轴与短轴之比；（2）如图，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于D ，E 两点，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的性质可知|PF|max =a+c ，|QF|min =a ﹣c ，可知，求得a 2=4b 2，长轴与短轴之比为2a ：2b=2；（2）设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣c ），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M 点坐标，由MD ⊥PQ ，可知：，求得D 点坐标，根据三角形相似，可知：=，代入即可求得的取值范围．【解答】解：（1）设F （c ，0），则|PF|max =a+c ，|QF|min =a ﹣c ，…（2分） 则有，由b 2=a 2﹣c 2， ∴a 2=4b 2，…（3分）∴长轴与短轴之比为2a ：2b=2．…（4分）（Ⅱ）由a ：b=2，可设椭圆方程为．依题意，直线PQ 存在且斜率不为0，设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣c ），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），…联立得（4k 2+1）x 2﹣8k 2cx+4k 2c 2﹣4b 2=0，得．…（6分）∴，…（7分）∴．…（8分），0），∵MD⊥PQ，设D（x3∴，解得．…（9分）∵△DMF∽△DOE，∴，的取值范围（，+∞）．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线垂直的充要条件，韦达定理及三角形相似综合应用，考查计算能力，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016秋•贵州月考）在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化，可得圆P和圆Q的极坐标方程，联立求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求出M，N的直角坐标，可得这两圆的公共弦MN的参数方程．【解答】解：（1）圆P的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=3，…（1分）圆Q的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ=3．…（2分）联立解得，cosθ=0，…（3分）所以M，N的极坐标分别为，．…注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（2）M，N的直角坐标分别为，，…（7分）所以公共弦MN的参数方程为．…（10分）【点评】本题以圆的方程为载体，考查极坐标方程，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•贵州月考）（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（1）利用作差法，即可证明不等式；（2）利用柯西不等式，可得，即可得出结论．【解答】（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2d2+b2c2﹣2adbc…（2分）=（ad﹣bc）2≥0，…（4分）当且仅当ad﹣bc=0时，等号成立．…（2）解：函数的定义域为[3，5]，且y＞0，…（6分）则…（8分）=，…（9分）当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值．…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。
