一道高考模拟试题的再思考

一道高考题失分原因分析与思考安徽省砀山中学 辛 民 (邮编:235300)摘 要 通过对一道数学高考试题的座谈,交流解题方法,分析学生答题失分的原因,总结复习教学思考,并对命题提出改进建议.关键词 高考试题;失分原因;教学启示;命题建议1 问题起因针对高考后师生议论的焦点,笔者邀请部分参加高考的学生㊁教师对2022年全国高考数学乙卷第19题进行座谈,教师普遍认为题目来源现实世界,难度不大,但学生普遍感觉较难㊁失分较多.围绕这一现象大家交流㊁探究㊁思考如下,旨在与同行交流.2 原题再现某地经过多年的环境治理,已将荒山改成了绿水青山,为了估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10可这种树木,测量每颗树的根部横截面积(单位:m 2)和材积量(单位m 3),得到如下数据:标本号i 1234567890总和根部横截面积x i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得ð10i =1x 2i=0.038ð10i =1y 2i=1.0158ð10i =1x i y 1=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量;(2)求该林区这种树木根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确的0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为180m 2,已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比,利用上述数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r =ð10i =1x i -xy i -yð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )21.896ʈ1.377(2022年全国高考数学乙卷第19题)3 试题评述以社会生活中人们关注的环境治理为背景材料,依托 绿水青山就是金山银山 的理念设计试题,情境中蕴含着潜在的线索和限制,需要学生综合已有的所学知识和技能分析当前情境,明确任务,解决问题.从而全面考查学生应用统计的基本知识㊁基础方法和基本技能进行创造性整合能力,有助于考查学生发现问题㊁辨析概念㊁建立关系的能力,同时对数据处理㊁数学运算及数学建模等核心素养也作了相应的考查.其中第(1)问,要求利用统计的方法估计两个平均值;第(2)问,求相关系数,要求学生具有较高的恒等变形及数据处理能力;第(3)问,计算总材积,要求学生利用所学的知识解决实际问题.4 试题解法解 (1)设该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量分别为x ,y ,则x =0.06,y =0.39.所以该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m 2㊁平均一颗的材积量为0.39m 3.(2)解法一 由题设易得下表122022年第6期中学数学教学标本号i 1234567890总和x i -x -0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(x i -x )20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.00010.002y i -y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01yi -y )20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(x i -x )(y i -y )0.00280.00340.0030.00240.00050.00030.00070.00030.0134所以相关系数r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i -x )2ð10i =1(y i -y )2=0.01340.0002ˑ0.0948=1.341.896=1.341.377=0.97.解法二 r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2=ð10i =1x i yi-10x y(ð10i =1x 2i -10x 2)(ð10i =1y 2i -10y 2).由题设得ð10i =1x i yi-10x y =0.2474-10ˑ0.06ˑ0.30=0.0134,(ð10i =1x 2i-10x 2)(ð10i =1y 2i -10y 2)=(0.038-10ˑ0.062)(1.6158-100.392)=0.0001896,所以r =ð10i =1(x i -x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2=0.01340.0001896=0.01340.01377=0.97.注:列表分析统计数据,表述㊁说明问题是一种很好的方法,表达简洁㊁清晰明了,容易检验结果.5 失分原因分析5.1 读题㊁审题能力薄弱由于题目文字叙述较长,学生没有足够的耐心读题㊁审题,因此对运算对象理解不深刻㊁不严谨,导致不能通过探究分析形成正确的运算思路,找不到合理的计算方法.事实上,题目给出相关系数公式r =ð10i =1(x i-x )(y i -y )ð10i =1(x i-x )2ð10i =1(y i -y )2及ð10i =1x2i=0.038ð10i =1y 2i =1.0158ð10i =1x i y 1=0.2474,就是提示学生代入数据计算前要先进行公式化简,错误的关键是没有对这一提示形成正确的认识.5.2 对于第(3)问理解不准确 对于条件 已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比 视而不见,不能正确分析当前的问题情境,机械地套用一元线性回归模型公式y =a +b x 求解,个别同学理解了上述假设也不相信高考试题会如此简单,只需利用小学学习比例关系解题,暴露个别学生极不自信.5.3 基本运算能力薄弱直接机械代入公式,导致数据太多㊁运算量太大,乱中出错误百出,不能针对问题情境选择合适的表述方式 列表;公式变形后代入数据,对算术根理解不准确,导致结果不正确.5.4 统计学中基本概念理解不准确如第一问最后写成:估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m 2㊁平均一颗的材积量0.39m 3.第三问求解时写成186ˑ3.90.6=1209,对于总量和均值理解不到位.出现上述现象的根本原因是,长期以来师生只注重零零碎碎知识得识记,不注重对数学学科中核心概念㊁定义㊁定理㊁性质公式㊁法则等内涵外延的理解与辨析,自觉建构知识网络,形成牢固的知识框架;平时教学中,师生对数学运算认识不到位㊁不重视,教师认为数学运算是学生自己的事,例题讲解时不板书㊁不示范,学生课下不练习,不总结㊁不思考,运算能力提升无从谈起;22中学数学教学2022年第6期教学中,教师重视解题方法的展示,一题多解,一题多变,但是不注重阐述解题方法由哪里来?怎么来的?到哪里去?干什么?学生解题能力的提升何从谈起!平时教学中教师已经注意教学情境的设计,但仅仅注意孤立技能在固定情境下的简单应用,情境的设计过于人为的简化和抽象,丧失了与现实社会生活的连接,导致学生遇到真实情境的问题时不会认真分析问题的情境,提出问题㊁解决问题,只会机械的套用公式解决问题.6教学启示6.1注重必备知识复习巩固在高三复习教学中,对于每一个必备知识,都要从它的表征的多层性和多样性上去设计问题开展教学,引导启发学生思考,理解辨析必备知识,帮助学生站在数学学科整体高度上,再次经历知识形成的过程,了解知识产生的背景,体验数学化的方法,提高抽象概括能力和数学表达能力,帮助学生构建知识网络,清除认识上的盲点和难点,优化知识结构,领悟数学知识中蕴含的数学思想方法,建立从核心概念到解题方法自然链接.但同时要避免从过细的学科知识点角度思考学科内容,罗列清单,要强调学科内容的结构性和关联性,突出思想方法和探究技能的运用.6.2养成良好的运算习惯数学运算不是单纯的数值运算,而是一种推理运算,一般是理解运算对象后,根据数学基本知识先推理再计算求值,并能够根据问题条件寻找并设计合理㊁便捷的运算途径,因此数学运算不仅是计算,还应包括探索㊁求解问题的思路,借助有效的运算方法解决问题,更重要的是通过数学运算促进数学思维的发展,养成程序化思考问题的习惯,养成一丝不苟㊁严谨求实㊁理性缜密的科学精神.6.3适当设计复杂开放的现实情境,解决有意义的真实问题学生经历复杂开放的现实情境,是发展学生核心素养的重要依托,重视不确定的跨学科探究主题和社会实践活动的开展,有助于激发学生参与和投入的兴趣,培养学生综合运用相关知识和技能分析当前情境,明确问题,创造性整合能力,有助于帮助学生提升发现问题㊁辨析概念㊁建立假设㊁验证假设的能力不良结构问题的不确定性和开放性,可以给学生展示他们分析问题的思考过程.单也要注意核心素养的形成㊁培养,不能脱离集体的课程内容,学生只有具备系统的㊁结构化的学科知识和技能㊁思想方法和探究模式,才能深刻理解特定的任务情境,明确问题,形成假设,解决问题,积累解题活动经验,提升解题能力.7命题思考改进笔者思考试题第(3)问增设条件 已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比 的目的是为了启发学生转变思考方向,利用小学所学的比例求解,简化运算,避免学生利用一元回归方程求解㊁重复考查相同的知识点.笔者认为第(3)问中去掉此条件改为:现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为180m2,利用上述数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.题目更符合起课标的要求㊁更开放㊁解答更丰富,给学生预留的思考空间更大.其解答可有以下方法:(1)由面积与材积相关系数r=0.97知材积与面积之间有如下关系式y=a+b x.由公式得b=ð10i=1(x i-x)(y i-y)ð10i=1(x i-x)2= 0.01340.002=6.7a=y-b x=0.39-6.7ˑ0.06=-0.012.所以总材积为y=-0.012+6.7ˑ186= 1246.188(m3).(2)树木树干可以看作一个圆柱,同一圆柱等高的体积之比等于两小圆柱的底面积之比,证明,设等高两圆柱高为h,一圆柱上下底面半径分别为r1,r2,则另一圆柱上下底面半径为k r1, k r2,所以v1v2=πr21+r1r2+r22hπk2r21+r1r2+r22h=1k2,即树木的材积与其根部横截面积近视成正比(以下略).参考文献[1]杨向东.核心素养测评的十大要点[J].人民教育2017(03-04):41-46.[2]辛民.高三学生运算能力的分析㊁思考与建议[J].中国数学教育,2018(4):36-40.(收稿日期:2022-08-18)322022年第6期中学数学教学。

2024届名校高考作文试题模拟导写----最优解的探寻与思考原题阅读下面的材料，根据要求写作。

日常生活中，我们总倾向于做出“最优”的选择;但很多情况下，我们未必做了“最优”的选择。

你对此有怎样的思考?请写一篇文章，谈谈你的认识。

要求:(1)自拟题目;(2)不少于800字。

审题【文题解析】：本题考查学生对材料作文的理解和分析能力。

材料作文的关键是理解材料的核心思想，从而根据核心思想进行立意。

本题的核心思想是“在日常生活中，我们总倾向于做出‘最优’的选择;但很多情况下，我们未必做了‘最优’的选择”。

可以从“最优选择”的定义和标准来立意。

什么样的选择才是最优选择？是最大限度地满足自己需求的吗？还是符合社会道德规范的？或者是经过深思熟虑、权衡利弊后的选择？在这个问题上，我们可以深入思考，提出自己的观点。

可以从“我们未必做了最优选择”的原因来立意。

为什么我们在很多情况下没有做出最优选择？是因为我们缺乏判断力、容易受到外界影响，还是因为我们害怕承担责任、追求安逸？通过分析这些原因，我们可以进一步反思自己在日常生活中的决策过程，从而提高自己的判断力和决策能力。

可以从如何做出“最优选择”的角度来立意。

如何才能在各种情况下做出最优选择？我们需要积累经验、提高自己的素质，学会权衡利弊、把握时机，以及倾听内心的声音、勇敢面对自己的选择。

通过这些方法，我们可以更加明智地做出决策，从而更好地面对生活中的挑战。

综上所述，我们可以从“最优选择”的定义和标准、没有做出最优选择的原因、如何做出最优选择三个方面来立意，表达自己对生活中最优选择的思考和认识。

佳作赏析【佳作赏析】：寻觅最优解的思考在生活的舞台上，我们每天都在面对无数的选择，而往往倾向于追求那个看似最优的答案。

然而，在探寻最优解的过程中，我们是否真的找到了心中所期待的完美结局？也许，我们需要对这个问题进行更深入的思考。

面对人生的抉择，我们总会试图寻找那个最优解，仿佛只有这样，我们才能确保未来的一切都能顺利进行。

2024届名校高考作文试题模拟导写：人生的出与回——我的感悟与思考原题阅读下面的材料根据要求写作。

(60分)人生有两个方向:出与回。

出，是出门，走出家门，走出校门，走出先前的“门”……出是出发，是走出自己的舒适区，抵达另一个可能不会令自己太舒适的领域，是有所选择、有所舍弃、有所收获。

回，是回家，回地域空间上的家，回心理感情中的“家”……你对人生的“出”和“回”是如何看待的?请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。

要求:选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题;不要套作，不得抄袭;不得泄露个人信息;不少于800字。

审题【文题解析】：本题要求考生以一个高中学生的角度，谈谈对人生的“出”和“回”的看法。

题目给出了两个方向：出与回。

出是出门，走出家门，走出校门，走出先前的“门”…出是出发，是走出自己的舒适区，抵达另一个可能不会令自己太舒适的领域，是有所选择、有所舍弃、有所收获。

回是回家，回地域空间上的家，回心理感情中的“家”…写作思路：1.引言：简要介绍人生的“出”和“回”，引出文章主题。

2.对“出”的理解：阐述人生需要不断向前发展，走出舒适区，去追求更好的自己。

可以通过举例说明，如学业、事业、人际关系等方面。

3.对“回”的理解：强调在追求进步的过程中，也要关注内心的需求，回到自己的精神家园。

可以通过举例说明，如亲情、友情、爱情等。

4.“出”与“回”的关系：分析“出”与“回”之间的关系，认为二者相辅相成，既要勇于向前，也要懂得回归。

只有这样，才能在人生的道路上走得更远。

5.结论：总结全文，再次强调人生的“出”与“回”的重要性，并表达自己对未来的期许。

佳作赏析【佳作赏析】：人生的出与回——我的感悟与思考人生就像一场旅行，有出也有回。

出，是我们走出舒适区，去探索未知的世界；回，是我们回到熟悉的家园，寻找内心的安宁。

在这个过程中，我们不断地成长、不断地学习，最终找到属于自己的人生价值。

首先，我想谈谈“出”。

出，是人生的必经之路。

2024届名校高考作文试题模拟导写----经典话语的时代变迁与思考原题阅读下面的材料，根据要求写作。

(60分)孔子说“以直报怨，以德报德”，但今天我们常说“以德报怨”；庄子说“相濡以沫，不如相忘于江湖”，但今天我们常用的是“相濡以沫”：庄子还说“吾生也有涯，而知也无涯，以有涯追无涯，殆矣”，但今天我们常引用前两句来倡导珍惜时间，追求知识……这些经典话语脱离了原来的语境，在生活中广为流传。

你如何看待这一现象？请结合以上材料写一篇文章，体现你的联想与思考。

要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。

审题【文题解析】：这道题目要求我们针对材料中的现象进行分析和立意。

材料提到了一些古代的经典话语，如孔子的“以直报怨，以德报德”和庄子的“相濡以沫，不如相忘于江湖”等，这些话语在现代生活中被广泛引用，脱离了原来的语境。

我们需要探讨这一现象，并结合材料进行审题立意解析。

立意：探讨古代经典话语在现代生活中的演变和意义：我们可以分析这些古代经典话语在现代生活中的演变过程，以及它们在现代社会中所代表的新意义。

例如，孔子的“以直报怨，以德报德”在现代社会中被理解为以善意回报恶意，以德行回报德行，强调宽容和包容；庄子的“相濡以沫，不如相忘于江湖”在现代社会中被理解为在困难中互相帮助，而不是在困境中相互遗忘。

思考古代经典话语在现代生活中的适用性：我们可以分析这些古代经典话语在现代生活中的适用性，以及它们在现代社会中所发挥的作用。

例如，孔子的“以直报怨，以德报德”在现代社会中可以引导人们以善意对待恶意，促进社会和谐；庄子的“相濡以沫，不如相忘于江湖”在现代社会中可以激励人们在困难中互相帮助，共同度过难关。

反思古代经典话语在现代生活中的滥用现象：我们也可以探讨古代经典话语在现代生活中的滥用现象，以及如何正确理解和运用这些经典话语。

例如，有人可能错误地理解为庄子的“相濡以沫，不如相忘于江湖”是在困境中相互遗忘，而不是在困难中互相帮助。

2024届名校高考作文试题模拟导写----独立思考，掌握人生之舵原题阅读下而的材料，根据要求写作。

屏蔽力是一个人排除负面信息、屏蔽无效信息的能力。

然而，现代社会中许多人过于在意他人看法，过度关注外界评论，沉迷于冗杂信息，越来越难以抵抗外界的干扰。

对此，你有怎样的体验与感悟或认识与思考？请结合以上材料写一篇文章。

要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。

审题【文题解析】：这是一道引语类材料作文题。

本题考查的是对“屏蔽力”这一概念的理解和思考。

屏蔽力是一个人排除负面信息、屏蔽无效信息的能力。

在现代社会中，许多人过于在意他人的看法，过度关注外界的评论，沉迷于冗杂的信息，越来越难以抵抗外界的干扰。

因此，如何在信息爆炸的时代保持清晰的头脑，提高自己的屏蔽力，成为了一个值得关注的问题。

审题立意解析：强调屏蔽力的重要性：在信息过载的时代，屏蔽力成为了区分成功与失败的关键。

只有具备较强的屏蔽力，才能抵抗住外界的干扰，专注于自己的目标，从而取得成功。

分析屏蔽力的现状：在现代社会，许多人由于过于在意他人的看法、过度关注外界评论等原因，导致自己的屏蔽力越来越弱。

这种现象产生的原因及其影响需要我们深入分析。

如何提高屏蔽力：面对信息过载的时代，我们应学会筛选信息，关注对自己有价值的资讯；同时，要树立自信，不过分在意他人的看法，增强自己的心理承受能力。

此外，还需要合理安排时间，避免沉迷于无用的信息。

综上所述，屏蔽力在现代社会中的重要性不言而喻。

我们应该关注这一现象，提高自己的屏蔽力，从而在信息爆炸的时代保持清晰的头脑，取得更好的成就。

佳作赏析【佳作赏析】：独立思考，掌握人生之舵在当今互联网兴盛的时代，我们每天都要面对大量的信息，包括新闻、社交媒体、广告等等。

这些信息的涌入，不仅让我们难以处理，还可能影响我们的思考方式和行为。

在这种情况下，独立思考和掌握屏蔽力就变得尤为重要。

ʌ特别策划：新青年数学教师工作室专栏ɔ在解题教学中积累数学活动经验的实践与思考以一道高考数学模拟题为例李小峰（昆山震川高级中学，江苏昆山㊀２１５３００）ʌ摘㊀要ɔ‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“明确将数学基本活动经验纳入课程目标，并提出基本活动经验是数学学习的基础㊂研究者在分析一道数学高考模拟题中学生的得分情况㊁题目背景㊁解法探究的基础上，提出解题教学活动中积累数学基本活动经验的三个教学思考：解题思维障碍的突破㊁基本活动经验的积累㊁运算核心素养的培养㊂ʌ关键词ɔ解法探究；活动经验；运算素养；思维障碍ʌ作者简介ɔ李小峰，高级教师，新青年数学教师工作室骨干成员，主要研究方向为高中数学教学㊂‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“明确将数学基本活动经验纳入课程目标，并提出基本活动经验是数学学习的基础㊂那什么才是数学基本活动经验呢？有研究者指出，所谓数学基本活动经验，就是在数学活动中获取的经得起推敲的感悟体验㊂笔者认为，数学基本活动经验是在数学教与学的活动中，帮助学生积累数学知识㊁解题方法，让学生学会反思学习的能力，进而内化为学生的数学核心素养㊂教师在数学教学过程中如何有效地帮助学生积累数学活动经验，本文以一道高考数学模拟题的解题教学为例进行分析和研究㊂一㊁试题呈现例题（２０２０年苏锡常镇高考数学模拟题）某地为改善旅游环境进行景点改造（如图１）㊂如图２，将两条平行观光道ｌ１和ｌ２通过一段抛物线形状的栈道ＡＢ连通（道路不计宽度），ｌ１和ｌ２所在直线的距离为０ ５（百米），对岸堤岸线ｌ３平行于观光道且与ｌ２相距１ ５（百米）（其中Ａ为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于ｌ３，且交ｌ３于Ｍ），在堤岸线ｌ３上的Ｅ，Ｆ两处建造建筑物，其中Ｅ，Ｆ到Ｍ的距离均为１（百米），且Ｆ恰在Ｂ的正对岸（即ＢＦʅｌ３）㊂（１）在图２中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道ＡＢ的方程㊂（２）游客（视为点Ｐ）在栈道ＡＢ的何处时，观测ＥＦ的视角（øＥＰＦ）最大？请在第（１）题的坐标系中，写出点Ｐ的坐标㊂图１㊀图２本题主要考查抛物线的方程㊁两角和与差的三角公式㊁基本不等式与导数求最值等内容，考查解析法研究三角问题，考查直观想象㊁数学运算等数学核心素养㊂本题以实际应用为背景，考查学生的建模能力以及解决实际问题的基本活动经验㊂二㊁考情分析以下是笔者所在市区４５３０名学生的答题得分情况（见表１和表２）㊂表１㊀学生答题分数分布情况分数１４１３１２１１１０９８７人数２５３４８９２５０７５２３６８２３７１１６分数６５４３２１０平均分人数２３４１６２１７４４１２２７２８８９３６ ６５表２㊀学生答题得分统计表问题参考人数满分值平均分难度系数区分度满分人数０分人数第（１）题４５３０５４ ３６０ ８７２０ ４２／／第（２）题４５３０９２ ２９０ ２５０ ８４／／从表２可以看出，第（２）题的平均分只有２ ２９分，难度系数为０ ２５㊂从阅卷情况来看，学生得分低的主要原因是：大部分学生选择了余弦函数作为目标函数求角的最值，只有极少数学生能求出式子ｙ２０－２ｙ０＋３（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０的最值；还有部分学生选择了正切函数作为目标函数，但目标函数的式子求错，导致不能得到正确结果㊂本题的文化背景是米勒视角问题，对于很多学生来说还是比较熟悉的，在平时的教学中也多次涉及㊂笔者本以为这是一道得分率比较高的试题，但从学生的实际得分情况来看，学生的数学解题经验并没有达到教师预想的水平㊂于是，笔者在讲解本题之前，先向学生展示这道题的源流㊂三㊁题目溯源题１（１９８６年高考全国卷）如图３，在平面直角坐标系中，在ｙ轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两定点Ａ，Ｂ，试在ｘ轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使øＡＣＢ取得最大值㊂图３㊀㊀㊀图４题２（苏教版高中数学教材必修５第１０２页习题）如图４，有一壁画，最高点Ａ处离地面４ｍ，最低点Ｂ处离地面２ｍ㊂若从离地高１ ５ｍ的Ｃ处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？题３（米勒问题）１５世纪时，德国著名数学家米勒提出一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？米勒提出的最大视角问题是数学史上１００个著名的极值问题之一㊂以上三道试题都可以看作是例题的题源，它们都有着共同的问题结构㊂四㊁基于学情的教学实践（一）学情调查为了开展更有针对性的教学，笔者对所在学校的７６６名高三学生做了问卷调查，学生在解该题时暴露的思维障碍点主要有：（１）两角和的正切公式记忆不准确；（２）对二分之一次型函数的解题方法不熟练；（３）不会处理含有根号和分式的函数；（４）解题过程中思维定式现象比较多㊂（二）教学过程１ 展示学生答卷，积累规范答题经验例题的第（１）问比较常规，从答题情况来看，学生的得分率很高㊂在教学过程中，笔者首先请学生讲解其正确的解题过程，然后引导学生反思如何建立平面直角坐标系更合理㊂解：以Ａ为原点，ｌ１所在的直线为ｘ轴，ＡＭ所在直线为ｙ轴建立平面直角坐标系（如图５）㊂由题意可知Ａ（０，０），Ｂ（１，１２），设抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），则１＝２ｐˑ１２，解得ｐ＝１㊂所以栈道ＡＢ的方程为ｘ２＝２ｙ（０ɤｘɤ１）㊂图５２ 拓展解题思路，积累分式函数解题经验在第（２）问的解题教学过程中，笔者关键是引导学生如何对øＥＰＦ的三角函数进行选择㊂不少学生表示受以前解类似题的经验启发，如果主动添加辅助线，即过点Ｐ作ＰＨʅｌ３于点Ｈ，则øＥＰＦ＝øＥＰＨ＋øＦＰＨ，这样会容易想到通过选择角的正切研究两角和的正切㊂这样做的原因有两个方面：一是容易列出两个角的正切函数；二是两角和的正切公式涉及的三角函数只有正切，没有根号，较容易求出最值㊂解法１：过点Ｐ作ＰＨʅｌ３于点Ｈ，设Ｐ（ｘ０，ｙ０），øＥＰＨ＝α，øＦＰＨ＝β，则øＥＰＦ＝α＋β，ｔａｎα＝１＋ｘ０２－ｙ０，ｔａｎβ＝１－ｘ０２－ｙ０，所以ｔａｎ（α＋β）＝２（２－ｙ０）（２－ｙ０）２－１＋ｘ２０＝２（２－ｙ０）（２－ｙ０）２－１＋２ｙ０㊂令ｔ＝２－ｙ０ɪ３２，２，则０＜ｔａｎ（α＋β）＝２ｔｔ２－２ｔ＋３＝２ｔ＋３ｔ－２ɤ２２ｔ㊃３ｔ－２＝３＋１２㊂当且仅当ｔ＝３ｔ，即ｔ＝３ɪ３２，２时取 ＝ ㊂因为α，βɪ０，π２且ｔａｎ（α＋β）＞０，所以α＋βɪ０，π２㊂因为ｙ＝ｔａｎｘ在０，π２上递增，所以当ｔａｎ（α＋β）最大时，α＋β最大，即øＥＰＦ最大㊂此时ｙ０＝２－３，ｘ０＝３－１，即Ｐ（３－１，２－３）㊂在该解题过程中，教师引导学生积累解题要有预判性的相关基本经验㊂对于如何合理选择目标函数研究øＥＰＦ，一般有以下方法：一是如果一个分母是二次形式，分子是一次形式的分式函数，可以利用换元化归出例如ｔ＋３ｔ的式子，再用基本不等式求出最值即可；二是从解题规范性看，在解题中应说明正切函数的单调性㊂３ 克服思维障碍，提升处理复杂根式的能力从学生的问卷调查以及批卷过程中发现，不少学生选择利用向量的夹角公式，得到øＥＰＦ的余弦函数表达式ｙ２０－２ｙ０＋３（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０，或者利用等面积法得到øＥＰＦ的正弦函数表达式２（２－ｙ０）（－１－ｘ０）２＋（２－ｙ０）２㊃（１－ｘ０）２＋（２－ｙ０）２㊂因为不少学生在三角或者向量中求角的相关最值问题，用得较多的目标函数是余弦函数或者是正弦函数，所以当学生看到此题后，不假思索的就用余弦函数或者正弦函数求解最大角，但对于上述两个式子，由于学生缺乏相关的整体换元的经验，导致无法求解㊂因此，在教学中，教师要引导学生积累对根式的处理以及整体换元化简式子的相关经验㊂对于上述两个式子，在分母上有两个根号，教师应引导学生用平方差进行化简，而分子上没有根号，此时要把根号外的式子通过平方放进根号内，同时还要注意观察如何进行整体换元㊂最后让学生在对比分析解法１的过程后，灵活进行解题预判，改进解题方法㊂解法２：设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（其中０ɤｘ０ɤ１，０ɤｙ０ɤ１２），则ｘ２０＝２ｙ０㊂从而ｃｏｓøＥＰＦ＝ＰＥң㊃ＰＦң｜ＰＥң｜㊃｜ＰＦң｜＝ｙ２０－２ｙ０＋３（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０＝（ｙ２０－２ｙ０＋３）２（ｙ２０－２ｙ０＋３）２＋４（ｙ２０－２ｙ０＋３）＋４－８ｙ０＝１１＋４（ｙ０－２）２（ｙ２０－２ｙ０＋３）２㊂令ｔ＝２－ｙ０，则ｔɪ３２，２，所以（２－ｙ０）（ｙ２０－２ｙ０＋３）＝ｔｔ２－２ｔ＋３＝１ｔ＋３ｔ－２ɤ１２３－２㊂（余下过程略）解法３：设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（其中０ɤｘ０ɤ１，０ɤｙ０ɤ１２），则ｘ２０＝２ｙ０㊂设øＥＰＦ＝θ，由әＥＰＦ的面积可知１２㊃ＥＦ㊃｜２－ｙ０｜＝１２ＰＦ㊃ＰＥ㊃ｓｉｎθ，则ｓｉｎθ＝２㊃（２－ｙ０）ＰＥ㊃ＰＦ＝２（２－ｙ０）（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０，令ｔ＝２－ｙ０，则ｔɪ３２，２，所以ｓｉｎθ＝２ｔ（ｔ２－２ｔ＋５）２－８（２－ｔ）＝２ｔ２＋９ｔ２－４ｔ＋３ｔ＋１４＝２ｔ＋３ｔ２－４ｔ＋３ｔ＋８㊂令ｓ＝ｔ＋３ｔȡ２３＞２，所以当ｔ＋３ｔ＝２３时，即ｔ＝３时，（ｓｉｎθ）ｍａｘ＝２２０－８３㊂又ＰＥң㊃ＰＦң＝（２－ｙ０）２＋ｘ２０－１＝ｙ２０－２ｙ０＋３＞０㊂（余下过程略）在教学中，不少教师觉得这两种解法太麻烦，没有解法１简洁，于是选择不做具体讲解，但如有学生选择利用余弦函数或者正弦函数进行解答，笔者认为应该要肯定学生的想法㊂解题教学绝不仅仅是解出题目，而是要在解题教学过程中帮助学生积累相应的解题经验，同时通过对比，让学生进一步积累解题要有预见性的经验㊂４ 溯源数学文化背景，积累优化运算经验从题目溯源可知，该例题的背景是米勒问题，而处理米勒问题的几何方法就是研究过已知两点的圆与目标点所在直线相切时视角最大，而此时的目标点在抛物线上运动，但几何方法是否可行，教师可引导学生根据过曲线与曲线相切的概念进行解题㊂解法４：（用米勒原理解题）如图６，设过Ｅ，Ｆ两点的圆方程Ｃ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２，ｒ＞０㊂图６因为Ｅ，Ｆ两点关于ｙ轴对称，所以ａ＝０，即圆Ｃ：ｘ２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２，ｒ＞０㊂当圆Ｃ与抛物线相切时，øＥＰＦ最大㊂根据曲线相切的定义［１］，可知圆Ｃ与抛物线相切，即两曲线都过点Ｐ，且在点Ｐ处的切线相同㊂因为ｙ＝１２ｘ２，ｙᶄ＝ｘ，抛物线在点Ｐ处的切线斜率为ｋ１＝ｘ０㊂此时直线ＰＣ斜率为ｋ２＝ｙ０－ｍｘ０，两曲线在点Ｐ处切线相同，所以ｙ０－ｂｘ０㊃ｘ０＝－１，ｂ＝ｙ０＋１㊂又圆Ｃ过点Ｅ，Ｐ，有（－１）２＋（２－ｂ）２＝ｒ２，ｘ０２＋（ｂ－ｙ０）２＝ｒ２，且ｘ２０＝２ｙ０，解得ｙ０＝２ʃ３㊂因为ｙ０ɪ０，１２，所以取ｙ０＝２－３，此时圆Ｃ方程为ｘ２＋（ｙ－３＋３）２＝５－２３㊂（余下过程略）因此，在解题教学中，教师应和学生进行题目的追本溯源，这样不仅可以帮助学生积累解决这类问题的经验，还可以在溯源过程中沉淀数学文化，在培育运算核心素养的过程中积累优化运算的相关经验㊂五㊁教学启示在数学教学过程尤其是高三教学过程中，解题教学是积累数学基本活动经验的有效载体㊂但在解题教学课堂中，笔者发现还存在就题论题，就题解题的情况；只讲解题思路，缺乏对运算过程的评价与方法优化的思考；按照教师自己的理解以及参考答案进行讲解，没有基于学情帮助学生突破解题思维障碍点等㊂综合上述教学实践，笔者认为在解题教学过程中，要合理设计教学过程，帮助学生突破解题思维障碍点，让学生获得相应的基本活动经验，培育学生的核心素养㊂（一）突破解题思维障碍点学生在解决该例题时，最大的思维障碍在于选用余弦函数表达式后无法进行下一步的求解㊂在教学过程中，教师既要肯定学生的想法，按照学生的思路将题目解完，帮助学生积累对复杂式子处理的经验，也要引导学生进行解题方法的比较㊂教师要先了解学生对基本知识㊁基本方法的掌握情况，有针对性地强化 三基 ，从而积累基本活动经验，然后立足学生的思维特点，开展一题多解教学，让学生获得解题灵活性与预见性的经验㊂（二）获得基本活动经验有研究者指出，学生获得数学基本活动经验的过程如图７所示［２］㊂图７在解题教学之前，教师应充分了解学生做题过程中的思路㊁困难㊁易错点等；在课堂教学中，从学生的视角出发，梳理学生的初始性经验，然后从学生不同的解题视角解决相应问题，帮助学生形成再生性经验；在对比各种解法之后，让学生充分讨论解决类似题的常见解题方法以及最优解，在探讨中加深对知识的理解，激发学生探究解题的兴趣，帮助学生形成概括性经验以及经验图式㊂（三）培养运算核心素养‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“将运算素养的水平分为三个层次：（１）能够在熟悉的情境中了解运算对象，提出运算问题，并用运算结果说明问题；（２）能够在关联的情境中了解运算对象，提出运算问题，并能够借助运算探讨问题；（３）能够在综合情境中把问题转化为运算问题，明确运算方向，构建运算程序，能够用程序思想理解和解释问题㊂以上三个水平层次分别对应运算素养的三个要求：熟悉运算㊁转化运算㊁创新运算㊂就该例题而言，解法１构建øＥＰＦ的正切函数，式子简单易算，是高中生必须掌握的分式模型之一，这表明学生已经熟悉运算了；有一部分学生选择了构建øＥＰＦ的余弦函数，得到式子ｙ２０－２ｙ０＋３（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０后无法进行后续的求解，通过教师课堂教学的阐述和学生的讨论，学生可进一步积累处理ｙ２０－２ｙ０＋３（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０，２（２－ｙ０）（ｙ２０－２ｙ０＋５）２－８ｙ０等式子的经验，学生的运算素养达到了转化运算的要求；解法４是视角问题的几何解释，思考的过程多一点，代数运算过程少一点，解题的正确率高一点，这表明达到了创新运算的要求㊂张奠宙教授曾说过，数学基本活动经验，并不构成一个单独的维度，而是填充在基础知识㊁基本技能㊁基本思想之间的粘合剂㊂因此，学生数学基本活动经验的积累应渗透在平时教学的每一节课中，对照教学目标，设置合适的数学活动，让学生经历相应数学化的过程，获得自己独立的观点，培育学生的核心素养㊂参考文献：［１］史嘉．两条曲线相切的定义及其应用：从２０１８年高考数学全国卷Ⅰ文科第２１题说起［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１９（２２）：４８－５０．［２］向立政，皮东林．数学基本活动经验的获得：例探其基本过程㊁水平层次和主要表征［Ｊ］．中国数学教育，２０１７（９）：２－５．（责任编辑：陆顺演）（上接第６１页）通过英语词汇教学的活动设计和应用，我们可以发现思维导图作为一种表达发散性思维的工具，可以将学生大脑里已知和未知的英语词汇根据彼此间的关联进行分层㊁分类管理，运用英语单词本身带有的读音相似㊁词性相似㊁词义相似等特点进行联想式记忆，从而改变传统读背记词汇的学习模式，使单词的学习㊁记忆及运用更加系统化，更具条理性㊂对于小范围的模块单词听写任务，思维导图词汇教学法可能在效率上不及传统的读背记忆法，但从学生长远学习词汇而言，思维导图词汇教学法在培养学生的知识构建㊁分类归纳㊁逻辑思考等方面具有不可替代的优势㊂参考文献：［１］中华人民共和国教育部．普通高中英语课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．（责任编辑：周彩珍）。

2015高考名师指点：一道高考作文题目的再思考作文辅导0417 1146作文题目：阅读下面的材料，自选角度，写一篇议论文。

秋天的夜晚，古希腊哲学家泰勒斯在草地上观察星星。

他仰望星空，不料前面有一个深坑，一脚踏空，掉了下去。

水虽然仅没及胸部，离地面却有二三米，上不去，只好高呼救命。

一个路人将他救出。

他对那人说：“明天会下雨!”那人笑着摇头走了，并将泰勒斯的预言当做笑话讲给别人听。

第二天，果真下雨了，人们对他在气象学方面的知识如此丰富赞叹不已，有人却不以为然，说泰勒斯知道天上的事情，却看不见脚下的东西。

两千年后，德国大哲学家黑格尔听到这个故事，想了想，说了一句名言：“只有那些永远躺在坑里从不仰望高空的人，才不会掉进坑里。

”高考试题回放：以“仰望星空与脚踏实地”为题。

写一篇不少于800字的文章，除诗歌外，不限文体。

(2015年普通高等学校招生考试北京卷)试题解析：很显然，2015年北京高考作文题目是课本题目的变形，通过相互比较，很显然，北京的高考题比课本题目简单。

那么，这两道题目如何审题，能提炼出哪些观点，能寻找到哪些素材，是我们写作前首先要考虑的问题。

一、准确把握星空的比喻义和象征义。

首先要明白星空的特点是辽阔、深邃、博大、高远、美丽等，由此引申出“星空”的比喻义：梦想、目标、追求、理想、信念等;也可比喻为某一领域的风流人物，群星灿烂。

二、紧扣“仰望星空”从多个角度立意。

1.从自我的角度立意：让信仰、理念的旗帜高高飘扬。

仰望星空，可理解为：一种理想、一种精神、一种追求、一个目标，并坚信美丽的星空一定会在我们的心头绽放出美丽的花朵。

我们可以立意为：从自我出发，把星空当成自我的目标，以仰望的姿势看待人生理想。

写作时，要注意星空的特点，由自然界的星空过渡到比喻义的星空。

切忌：写一件事，完全跟“星空”无关，也跟“仰望”无关，结尾再生硬地点出“仰望星空”我得到了什么启示。

前后应有伏笔，也应有照应。

不能既可以是星空，也可以是别的什么东西。