高中数学第六章名题赏析4中国剩余定理同步精练北师大版选修3_1

什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。

问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。

第三章几何学进展史§1从阅历几何到演绎几何一、非标准1.主见“对几何学的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必需要经过严密的规律证明”,并且第一个提出“知其然”,同时还要“知其所以然”的学者是().A.毕达哥拉斯B.柏拉图C.欧几里得D.泰勒斯答案:D2.在西方最早证明白“勾股定理”的是().A.毕达哥拉斯学派B.柏拉图学派C.古埃及人D.古巴比伦人答案:A3.古希腊人在几何学上提出的三大作图问题有().①三等分任意角②化圆为方③立方倍积④黄金分割⑤三等分圆周A.②③⑤B.①②③C.①③④D.②③④答案:B4.虽然没有认真于几何学,但是在雅典成立学院并且在学院门口写着格言“不懂几何者不得入内”的人是().A.柏拉图B.欧几里得C.毕达哥拉斯D.亚里士多德答案:A5.使欧几里得名垂不朽的著作是().A.《把握论》B.《工具论》C.《原本》D.《圆锥曲线论》答案:C6.欧几里得、和阿波罗尼奥斯是公元前3世纪的3个数学巨人.答案:阿基米德7.《原本》中包含的4种不同的概念是.答案:定义、公理、公设、命题8.搜集有关解决古希腊三大几何作图问题的资料,体会演绎几何的进展.答案:2000多年来,三大几何作图问题因其独特的魅力吸引了很多数学家投入其中,百折不挠,虽屡战屡败仍前赴后继.古希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,西方文艺复兴时期大师们的睿智,都曾倾注于此,但最终还是没有解决.不是由于这些数学家不够聪慧,也不是由于他们不够睿智.实在是由于当时的条件还不成熟.就像再锋利的刀也削不到自己的柄一样,一个学科的问题,往往需要借助其他学科的学问才能解决.笛卡儿的解析几何创立之后,尺规作图的可能性才有了准则.这样,很多几何问题就可以转化为代数问题来争辩.由于用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个交点,这个点或者是属于两条直线的,或者是一条直线和一个圆的.由于引进了解析几何,人们生疏到,用代数术语说,这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程,或一个线性方程和一个二次方程,或两个二次方程.到19世纪中叶,由于新的数学工具的应用,数学家最终明白三大几何作图问题实际上是不行解的.首先取得突破的是法国数学家旺策尔(P.L.Wantzel,1814—1848),他在1837年给出了三等分任意角及立方倍积不行能用尺规作图的严格证明.1882年,德国数学家林德曼(C.L.F.Lindemann,1852—1939)证明白π的超越性,所谓超越性就是说π不行能是任何整系数代数方程的根.化圆为方的不行能性也得以证明.在伽罗瓦建立群论之后,人们发觉,除了化圆为方,把伽罗瓦理论应用到另两个问题时也格外奏效.化圆为方与另两个问题性质不同,它涉及一个超越数π.与旺策尔的证明相比,伽罗瓦的理论更具一般性,不仅完全回答了哪些方程可以用代数运算求解,而且给出了一个一般的判别法来判定几何图形是否可以用直尺和圆规来作图.9.搜集《原本》在中国传播的有关资料,体会《原本》对我国数学进展的意义和影响.答案:前六卷的翻译工作《原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启.徐光启(1562—1633),字子先,上海吴淞人.他在加强国防、进展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当大的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力.他生疏意大利传教士利玛窦之后,打算一起翻译西方科学著作.利玛窦主见先译天文历法书籍,以求得天子的赏识.但徐光启坚持按规律挨次,先译《原本》.对徐光启而言,《原本》有严整的规律体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同.这种区分于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的生疏.他还充分生疏到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”.他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行.徐光启翻译中的重要贡献徐光启和利玛窦《原本》中译本的一个宏大贡献在于确定了争辩图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名.“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思.用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔.几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的.这些译名始终流传到今日,且东渡日本等国,影响深远.后7卷的翻译工作就在他们想连续把《原本》的后7卷翻译完的时候,发生了一件意想不到的事情,就是徐光启的父亲不幸去世了.徐父去世的精确日子是5月23日.当时徐光启尽管已经入教,但作为一名始终在传统文化熏陶。

高次方程练习1．早在________时代，人们就已经掌握了解(一元)二次方程的方法．( )A．古巴比伦B．古印度C．古希腊D．古埃及2．在公元9 世纪，开始对二次方程的一般解法进行系统的、理论性的研究，并给出了求根公式的数学家是( )A．比阿勒·霍瓦里松B．秦九韶C．花拉子米D．奥雷姆3．16 世纪，在寻求三次方程求根公式方面首先取得突破性进展的数学家是( ) A．费马B．花拉子米C．卡尔丹D．费罗4．解决四次方程的代数解法的数学家是( )A．塔塔利亚B．费拉里C．达科伊D．卡尔丹5．挪威的年轻数学家阿贝尔一个重要的成就是( )A．解决了三次方程问题B．解决了四次方程问题C．解决了五次和高于五次的一般方程求解问题D．解决了方程根式可解的充分必要条件问题6．伽罗瓦的研究，可以看作是( )A．方程研究的发端B．近世代数的发端C．矩阵研究的发端D．拓扑学的发端7．一般的五次和高于五次方程的公式求解问题被____________国青年数学家____________解决．这个定理后人称为________．8．19 世纪上半叶，________国著名的年轻数学家________提出了________的概念，用________彻底地解决了代数方程可解性的问题，为了纪念他，人们把用这个方法研究代数方程公式解的理论称为________．9．请你简介一下伽罗瓦(什么时代、哪个国家的数学家、主要研究成果)．10．上网查找阿贝尔的有关事迹，并整理．参考答案1．答案：A2．答案：C3．答案：D4．答案：B5．答案：C6．答案：B7．答案：挪威阿贝尔鲁菲尼—阿贝尔定理8．答案：法伽罗瓦群群论伽罗瓦理论9．答：法国的数学家伽罗瓦出生在巴黎附近一个小镇的镇长家里，家境本来很优裕，但他生逢法国大革命的动荡时代．主要研究成果：他在1829～1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告历经300年之久的难题——方程根式的可解性——彻底解决了．伽罗瓦攻克的难题虽然是300年前的老问题，但他的思想大大超出了他的年代．伽罗瓦的数学研究，可以看作是近世代数的发端．这不仅是因为他解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是他所提出的群的概念，导致了代数学在研究对象、内容和方法上的深刻变革．10．答案：阿贝尔(Abel，Niels Henrik,1802—1829)，挪威数学家．近代数学发展的先驱.1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰.1821年入奥斯陆大学．他几乎全凭自学，并以大量时间从事研究工作.1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题.1826年，他鼓励克雷尔创办了数学刊物《纯粹与应用数学杂志》．前三卷刊登了阿贝尔22篇论文，使欧洲数学家开始注意他的工作.1826年阿贝尔到巴黎，遇见了A.M.勒让德和A.L.柯西，得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理．这些工作使他成为分析学严格化的推动者．阿贝尔的奠基性工作为椭圆函数论的研究开拓了道路，并深刻地影响着其他数学分支．。