2012.9概率作业集(完整版)

第一章 随机事件及其概率 习题1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间.(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数； 解 {}10,1,2Ω=(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和； 解 {}22,3,,12Ω=(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 {}310,11,Ω=(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”； 解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .解 利用集合的运算性质可得{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或习题1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()(),,P AB P A B P AB . 解 由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=()()()10.1P AB P A B P A B ==-=2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()P AB 解()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦()()0.60.30.3P A B P B =-=-=3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.解 因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ， 所以,,A B C 至少有一个发生的概率()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+12701211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()()75111212P ABC P A B C P A B C ==-=-=4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数343!24A r C =⋅=，()243648A r P A n ===. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数144B r C ==，()416416B r P B n===5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.解 设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数310n C =,其中A 包含的基本事件数38A r C =,则()38310715C P A C ==;B 包含的基本事件数333998B r C C C =+-,()339831021415C C P A C -==6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.解 设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”， 设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=， 于是 ()1054221A r P A n ===. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次 取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=， 故 ()20104221B r P B n === 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.解 设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数210n C =，A 包含的基本的事件数为112373A r C C C =+，则()122373210815A C C C r P A n C +===习题1-3 条件概率1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()P B A .解 由()()10.5P A P A =-=，()()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则()()()0.20.40.5P AB P B A P A ===2.设()13P A =，()14P B A =，()13P A B =，求()()()()()()()()B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()1113412P AB P A P B A ==⨯=，()()121112111=-=-=AB P AB P由 ()()()13P AB P A B P B ==，得()14P B =，则()()()()()()()()[]()3241112141311111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解 设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.85170.9519P AB P B P B A P A P A ====4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.解 设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，()()()30.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，()32%P B A =，由全概率公式得()()()325%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑再由贝叶斯公式得 ()()()()11125%5%0.36230.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈()()()()22235%4%0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈，()()()()33340%2%0.23190.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ， 则()()()0.3P B P A B P A =-= .（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解 设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .()()()()()111150.681822P A B P A P A B P B P B ===≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为41， 求()A P解 由题意，()()B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11()()()()()()()()()21412=⇒=-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534，问解出此题的概率是多少？解 设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，B 表示“此题被解出”. ()()()()12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-()()()1234233115345P A P A P A =-=-⋅⋅=.5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n次试验中恰有k 次成功的概率.（1）{}()()()()()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()1n kk k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功习题1-5 第一章习题课1. 设41)(=A P ，52)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容 （2）B A ⊂ （3）A 与B 独立 （4）81)(=AB P 解：由分析知（1）52)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40118152)()()(=-=-=AB P B P B A P2.设()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.解 从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为624=C()11112222481687035C C C C P A C ===. ()3534824==C C B P4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取得正品”所求问题为()B A P由题意知 ()()()98,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P由全概率公式()()()()()()()5498519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P由贝叶斯公式()()()()()()97549754=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再 从第二箱中任取一件为次品的概率.解 设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76,711141122114121====C C A P C C A P()(),111,112111112111121====C C A B P C C A B P由全概率公式()()()()()77811176112712211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”()()()3456.04.014.03225=-=C A P第二章 随机变量及其分布 习题2-1 随机变量及其分布函数 离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816c c c c ，确定常数c ，解由归1167854321=+++c c c c ，1637=c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3,131,8.010,6.001,3.01,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为10130.30.30.20.2X p -3．已知随机变量X 的概率分布为且()432=≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),111222=-+-+θθθθ且()012≥-θθ{}{}{}()()431123222=-+-==+==≥θθθX P X P X P ， 解得 21,21-==θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,4321,411,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525P X ==⨯=，列表如下，0129124252525PX()()22123211X P --θθθθ5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解 设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，（1）448944{8}{8}{9}0.298!!∞∞--====≥-≥=-=∑∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!k k P X e k ∞-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布1．设随机变量X 的概率密度为cos ,,()20,k x x f x π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它.求（1）系数k ；（2）{0}P x π<<；（3）X 的分布函数()F x .解（1）由()cos 1ππ+∞2-∞-2==⎰⎰f x dx k x dx ，得12k =； （2）2011{0}cos 22P x x dx ππ<<==⎰； （3）0,,21()=(sin 1),,2221,.2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩2. 设随机变量X 的分布函数为0,0,(),01,1, 1.x F x k x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 11k x k x F x x ==++→→(),1lim 1=-→x F x 即()()1lim lim 11===-+→→k x F x F x x ；（2）()()1{00.25}0.2500.2502P X F F ≤≤=-=-=；（3）()()1,01,()20,x f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它.3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.解 （1）321{23}523P X -<≤==-；（2）541{4}523P X -≥==-；（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <； （4）{52}P X -<<.（1） 2.441{ 2.44}()(0.86)0.80514P X +<=Φ=Φ=； （2）()1.51{ 1.5}1( 1.5)1()10.125(0.125)0.54784P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度51,0,()50,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求{1}P Y ≥.解（1）251{10}510x p P X e dx e -+∞-=>==⎰； （2）2~(5,)Y B e -，20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.习题2-3 随机变量函数的分布1.设随机变量X 的分布律为210111116434X P--求 2YX =+及21Z X =-的分布律.012311116434Y P；301111623Z P-2. 设随机变量X 的分布律为02111244X Pππ求 cos Y X =的分布律.101111244Y P-3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3Y X =的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0,00,22x x e x f x ，3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3231-='y y h ，值域为[)+∞,0()()132232,0,0,()30,00,0.y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩4. 设随机变量~[0,1]X U ，求XY e =及ln Z X =-的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=others x x f ,010,1x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()yy h 1='，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为()()1,1,,1()0,0,.X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其它xz ln -=在()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为()z e z h --='，()(),0,0,,0,()0,0.0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩z z =5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x X 2221π,0≥=X Y先求Y 的分布函数()y F Y ，当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；当0>y 时，(){}{}{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 于是Y X =的概率密度为()()()()222222111,0,0()220,00,02,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩πππ习题2-4 第二章习题课1.选择题（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0,0,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)1927 (B) 89 (C) 1627(D)19（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<（4）设随机变量X 的概率密度为2(1)81()22x f x e π+-=，则~___X .（B ）(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -2.填空题 2λ=（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1{0}{2}2P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!===-k e k k X P k λλ1{0}{2}2P X P X ===2281!221!0220=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,()0,10.ax f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =解：由归一性，()11010lim 10102==⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞∞+∞+∞-⎰⎰a a x a x a dx x a dx x f x 10=a（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.00222222=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤X P X P（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.解：X的所有取值为2,1,0{}{}{}1013,1061,103025222513122523=========C C X P C C C X P C C X P012361101010XP4. 设连续型随机变量X 的分布函数为(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩（习题B 第十题）求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3P X >.解 （1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1x x ==两点的连续性，有0lim ()lim xx x F x Ae A --→→==，00lim ()lim x x F x B B ++→→==，得A B =； 又11lim ()lim x x F x B B --→→==,(1)11lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则12A B ==于是(1)1,0,21(),01,211, 1.2xx e x F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩（2）(1)1,0,2()()0,01,1, 1.2xx e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133322P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)113111{}()322x P X f x dx e dx +∞+∞-->===⎰⎰. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522=-++X Xt t 有实根的概率.解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=othersx x f ,060,61使方程04522=-++X Xt t 有实根，0≥∆()()()()(),0414454454222≥--=+-=--=∆X X X X X X即4≥X 或1≤X方程有实根的概率为{}{}216161141064=+=≤+≥⎰⎰dx dx X P X P第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2{}{}{}9162622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P{}{}{}02,1,91262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .{}{}{}02,2,01,2,36161610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P联合分布律为{}{}{}{}{}{}{}984161361319100,00,10,21,01,11,21,2=+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X PXX012111046361110391292. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1{}{}{},520,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P{}{}{}01,2,1010,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P0131101051032115551120101032155i jp p ⋅⋅3. 已知{}{}2121====X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.解 当1=k 时，{}{}31323111,3232311001112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P则有{}{}{}3132211010,1=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}6131211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P当2=k 时{}{}94323121,9432312011122002=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P{}913122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9294212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}9294212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P{}{}{}18191212222,2=⨯=======X Y P X P Y X PYX()Y X ,的联合分布律为18192922061311210习题3-2 二维连续型随机变量的分布1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,042,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∞+∞-∞+∞-242242202166,1 ()[]81862620220=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132276816815.1dy y x dx dxdy y x X P2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,1y x x ==及0y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1{0,01}2P X Y <<<<. 解 （1）1,01,02(,)0,.x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它；（2）1114{0,01}214P X Y <<<<==.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.XY解 当01x ≤≤时，222012()(,)()233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞==+=+⎰⎰；当0x <或1x >时，()(,)00X f x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，则 222,01,()30X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.， 同理，11,02,()360+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2）12201165{1}()372xP X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为23111191821139αβ问：当,αβ取何值时，X 和Y 相互独立.解 若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，即 11111=()()18918189α+++，16=α.由概率的规范性，得 1111191839+++++=αβ，则29=β.2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=X Y XY0100.410.1a b根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2） 由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为8,01,(,)0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它.判断X 和Y 是否相互独立. 解 当01x <<时，13()(,)844X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰⎰，则 344,01,()0.X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩，其它，当01y <<时，20()(,)84yY f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰，则 24,01,()0,.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解 由题意得()Y X ,的联合密度函为()()()⎩⎨⎧≤≤==其他,010,4,x xy y f x f y x f Y X11011{1}(,)46xx y P XY f x y dxdy dx xydy -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰.习题3-4 两个随机变量的函数的分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为010.60.4X P1010.20.30.5Y P-求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.Y解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为10100.120.180.30.610.080.120.20.40.20.30.51-，从而 110120.120.260.420.2Z P-21010.080.720.2Z P - 31010.20.60.2Z P-2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为0100.10.310.30.3求 X Y +和XY 的分布律.解0120.10.60.3X YP+ 010.70.3XY P3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2P X Y +≤.解 因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧≤≤≤≤==其他,000,10,1,y x y f x f y x f Y X 111222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫+≤==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +={}()2101341134111=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P XYX习题3-5 第三章习题课1.填空题（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤1}___Y ≤=.122. 设(,)X Y 的概率密度为1124,0,0,(,)230,.xy x y f x y ⎧≤≤≥≤⎪=⎨⎪⎩其它 判断X 与Y 是否相互独立？解 当102x ≤≤时，1123300()24124X f x xy dy xy x ===⎰当0x <或12x >时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,0,()20,.X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它；当103y ≤≤时，1122200()24126Y f y xy dx yxy ===⎰当0y <或13y >时，()0Y f y =， 则Y 的概率密度为 16,0,()30,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===⋅=，326{0,1}5525P X Y ===⋅=，236{1,0}5525P X Y ===⋅=，224{1,1}5525P X Y ===⋅=， 则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为196302525564212525532155i jp p ⋅⋅4. 设(,)X Y 的分布律为35111155131510q p-1- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒103515115151q 152=⇒q ，{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 1011035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒p p 容易验证当152.101==q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。

概率全集汇编及答案解析一、选择题1．在一个不透明的袋子中装有6个除颜色外均相同的乒乓球，其中3个是黄球，2个是白球．1个是绿球，从该袋子中任意摸出一个球，摸到的不是绿球的概率是（）A．56B．13C．23D．16【答案】A【解析】【分析】先求出摸出是绿球的概率，然后用1-是绿球的概率即可解答．【详解】解：由题意得：到的是绿球的概率是16；则摸到不是绿球的概率为1-16=56．故答案为A．【点睛】本题主要考查概率公式，掌握求不是某事件的概率=1-是该事件的概率是解答本题的关键．2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（）A．12B．13C．23D．14【答案】A【解析】【分析】列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树形图得：一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况，故这两个球都是红球相同的概率是61= 122，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A．12B．13C．49D．59【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 .故答案选：C．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )A．15B．25C．35D．45【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3 355÷=故选C5．下列事件是必然事件的是（）A．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖B．长度分别是3,5,6cm cm cm的三根木条能组成一个三角形C．打开电视机，正在播放动画片D．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【详解】A、某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，属于随机事件，不符合题意；B、由于6-5＜3＜5+6，所以长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条能组成一个三角形，属于必然事件，符合题意；C、打开电视机，正在播放动画片，属于随机事件，不符合题意；D、2018年世界杯德国队可能夺得冠军，属于随机事件，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解题关键．6．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ，故选：D ． 【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．7．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A ．20 B ．15C ．10D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数. 【详解】白色球的个数是50(127%43%)?-=15个， 故选：B. 【点睛】此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键.8．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数a 使关于x 的不等式组()1242122123x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】C【解析】 【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】解不等式组得：7x ax ≤⎧⎨>-⎩， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝52a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝49故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．9．如图，在4×3长方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）A ．16B ．112C ．13D ．14【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：∵在4×3正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，如图所示：∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：21 84 =故选D．10．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．23B．35C．34D．58【答案】C【解析】【分析】根据菱形的表示出菱形ABCD的面积，由折叠可知EF是△BCD的中位线，从而可表示出菱形CEOF的面积，然后根据概率公式计算即可.【详解】菱形ABCD的面积=12AC BD⋅,∵将菱形沿EF折叠,使点C与点O重合,∴EF是△BCD的中位线,∴EF=12BD ,∴菱形CEOF的面积=1128OC EF AC BD⋅=⋅，∴阴影部分的面积=113288AC BD AC BD AC BD ⋅-⋅=⋅，∴此点取自阴影部分的概率为: 33 814 2AC BDAC BD⋅=⋅.故选C..【点睛】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：m Pn =.11．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.12．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A．1 B．34C．12D．14【答案】B【解析】【分析】从四个图形中找到中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可．【详解】∵四个图形中，是中心对称图形的有平行四边形、矩形及圆三个，∴P（中心对称图形）＝34，故选B．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．13．某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为mn，则下列说法正确的是 ( )A．mn一定等于12B．mn一定不等于12C．mn一定大于12D．投掷的次数很多时，mn稳定在12附近【答案】D【解析】某人随意投掷一枚均匀的骰子,投掷了n次,其中有m次掷出的点数是偶数,即掷出的点数是偶数的频率为mn，则投掷的次数很多时mn稳定在12附近，故选D.点睛：本题考查了频率估计概率的知识点，根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近判断即可．14．在平面直角坐标系中有三个点的坐标：()()0,2,2,01(),3A B C ---，，从、、A B C 三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是（ ） A ．13B ．16C ．12D ．23【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：在()()0,2,2,01(),3A B C ---，三点中，其中AB 两点在2y x x 2=--上， 根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2， 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是2163=； 故选：A ． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．15．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意画树状图如下：∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之积为奇数的有2种情况，∴这两个球上的数字之积为奇数的概率是21= 126．故选A．【点睛】此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．Q圆的直径正好是大正方形边长，∴22，∴2，222=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.17．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为1 6【答案】D 【解析】A、A盘转出蓝色的概率为12、B盘转出蓝色的概率为13，此选项错误；B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为16，故选D．18．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（）A．12B．14C．16D．116【答案】B【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为41= 164，故选B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．19．向一个半径为2的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方形中的概率是（）.A．22B．2πC．2πD．2π【答案】D【解析】【分析】先得出圆内接正方形的边长，再用正方形的面积除以圆的面积即可得．【详解】∵半径为2的圆内接正方形边长为2∴圆的面积为4π，正方形的面积为8，则石子落在此圆的内接正方形中的概率是82=4ππ，故选D．【点睛】本题考查了几何概率的求法：求某事件发生在某个局部图形的概率等于这个局部的面积与整个图形的面积的比．20．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C 【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

第一节 随机事件一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A1.在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件A 表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间=Ω{ }，A ={ }。

2.观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件A 表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2次”，则样 本空间=Ω{ }，A ={ }。

3.对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件A 表示“射击次数不超过3次”，则样 本空间=Ω{ }，A ={ }。

二、设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1）A ，B ，C 都发生： （2）A ，B ，C 都不发生： （3）A 发生，B 与C 不发生：（4）A ，B ，C 中至少有一个事件发生： （5）A ，B ，C 中至少有两个事件发生： （6）A ，B ，C 中恰有一个事件发生：三、若事件A ，B ，C 满足等式C B C A =，问B A =是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明。

第二节 随机事件的概率（1）一、选择题（1）设A 与B 是两个对立事件，且0)(,0)(≠≠B P A P ，则下列正确的是（ ）。

（A ）1)()(=+B P A P （B ）1)(=AB P （C ）()()()P AB P A P B = （D ）)()(B P A P = （2）设A , B 为两个互不相容的随机事件，则下列正确的是（ ）。

（A ）A 与B 互不相容 （B ）)(1)(B P A P -= （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B =+（3）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ ）。

（A ）)()(B P A P - （B ）)()()(B A P B P A P +-（C ）)()(AB P A P - （D ）)()()(AB P B P A P -+二、已知8.0)(=B A P ，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求)(AB P ，)(B A P ，)(B A P 。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。

§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。

新人教版九年级数学概率初步家庭作业集！
练习是同学们提高总体学习成绩的重要途径，九年级数学概率初步家庭作业集为大家巩固本单元的重点，让我们一起学习，一起进步吧!
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随机事件与概率
1.下列事件属于不可能事件的为()
A.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4
B.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8
C.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12
D.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16】~
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用频率估计概率
1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为()
A.90个
B.24个
C.70个
D.32个】~
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用频率估计概率
1、在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机
抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为( )
精心整理，仅供学习参考。

一、判断题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分）1.设A 为任一随机事件，则P(A)=1－P(A ) ( √ )2.设随机事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立 ( √ )3.设X ，Y 为随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y) ( × )4.设随机变量X 与Y 的相关系数ρXY =0，则X 与Y 相互独立 ( × )5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本则X =1∑=ni iX1是总体期望μ无偏估计 ( √ )二、填空题（本大题共5题，每题 3 分，共15 分）1. 设P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.05,则P(A ︱B)=0.1； P(B ︱A)=0.252. 设X ～N(30, 5)，则 D(2X+3)= 203. 设X ～P(λ)，E （X ）=2，则λ= 24. 设总体X ～N(0,1), X 1，X 2，…,X 10是X 的样本,则统计量2χ=∑=1012i i X ～2(10)χ5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本，则总体方差σ2的矩估计是()2211ni i B X Xn ==-∑三、单项选择题（本大题共 5分，每题3 分，共 15 分）1．设A ，B 为随机事件，则B A =（ B ）A ． AB ； B 。

A B ；C 。

AB ；D 。

A ∪B ；2．函数f(x)=1,0,a xb b a ì＃ïí-ïî其它是（ C ）的分布密度函数A. 指数分布 ；B. 二项分布 ；C.均匀分布；D. 普阿松分布 ；3．在n 次独立重复试验中，P(A)= p, P(A )=q, 则事件A 发生k 次的概率是（ C ）A. p k； B .p k qn －k； C. C n k p k qn －k； D. q k pn －k；4. 设X 1,X 2,X 3是总体X ～N(μ,σ2)的样本,μ未知,σ2已知, 则下列( D)不是统计量A. X ；B. X 12+X 22+X 32； C. X 1X 2X 3+σ ； D. μ+ X 1/X 2；5. 若假设检验0H 为原假设,则下列说法正确的是( B )A.0H 为真时接收0H 是犯取伪错误 ；B. 0H 为真时拒绝0H 是犯弃真错误；C.0H 为假时接收0H 是犯弃真错误；D. 0H 为假时拒绝0H 是犯取伪错误 四、计算题（本大题共 4 题，每题 10分，共 40 分）1.设两台车床生产相同的零件，第一台的生产能力是第二台的2倍，且第一台的优质品率为0.6，第二台的优质品率为0.9, 现从混装的零件箱中任意抽取一个零件，求该零件是优质品的概率。

排列与组合练习题1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种答案：B解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个答案：A解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最多有30个交点．推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有22m n C C ⋅个变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点．答案：412C4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45答案：B111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P ． 5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：A解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=． 6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =A ．18B ．14C ．25D ．12答案：B 解析：2()5P A =，1()10P AB =，()1(|)()4P AB P B A P A ==． 7．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．34 答案：D解析：由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率11132224P =+⋅=．所以选D ． 8．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为KA 2A 1A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C ⨯⨯⨯-+⨯⨯=，所以选B.9．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A ）136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 答案：D解析：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C 种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C 种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C C p C C C C C C C C ==，故选D ． 10．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n =( ) （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：B解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 11．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C解析：显然ABE ∆面积为矩形ABCD 面积的一半，故选C ．12．在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有 项．答案：6解析：二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)r r r r r r r r T C x y C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.13．集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}M =，从集合M 中取出4个元素构成集合P ，并且集合P 中任意两个元素,x y 满足||2x y -≥，则这样的集合P 的个数为＿＿＿＿．答案：35解析：其实就是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因此这样的集合P 共有4735C =个．14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有＿＿＿种栽种方案．答案：732解析：共分三类：（1）A 、C 、E 三块种同一种植物；（2）A 、B 、C 三块种两种植物（三块中有两块种相同植物，而与另一块所种植物不同）；（3）A 、B 、C 三块种三种不同的植物．将三类相加得732．15．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望()E X ．解：（I ）设A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示购买乙种保险． ()A B A A B =并且A 与A B 是互斥事件，所以()()()0.50.30.8P A B P A P A B =+=+=答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8． （II ）由（I ）得任意1位车主两种保险都不购买的概率为()10.80.2p p A B ==-=． 又(3,0.2)XB ，所以()20E X =．所以X 的期望()20E X =．。

概率作业纸答案第一章随机事件及其概率第三节事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示（ C ）（A ）事件A 与事件B 同时发生（B ）事件A 与事件B 都不发生（C ）事件A 与事件B 不同时发生（D ）以上都不对2.事件B A ,，有B A ?，则=B A （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）AB二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,ABC 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,AB C 中至少有一件发生为C B A第四节概率的古典定义一、选择1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）（A ）21 （B ）53 （C ）103 （D ）101 二、填空1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概率为11322535C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为!10!8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队被分在不同组内的概率为1910102091812=C C C 三、计算1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率（1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球；（3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。

解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(314==C B P （3）1694)(3132314==C C C C P第五节概率加法定理一、选择1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ）(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P2.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。

概率统计作业本适用学院：工程学院、信息学院姓名：任课教师：专业：班级：学号：黑龙江八一农垦大学文理学院数学系第一章 随机事件与概率1、设C B A 、、为已知事件，用C B A 、、表示以下事件:(1) 不发生发生，、C B A (2) C B A 、、都不发生(3)C B A 、、至少有一个发生 (4) C B A 、、恰有一个发生(5) C B A 、、至多有一个发生 （6）C B A 、、至少有两个发生2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。

从中任取10件，试求：（1）样本空间所含基本事件个数n 。

（2）设"10"1件全是合格品所取=A 所含基本事件个数1m 。

（3）设"10"2件恰有两件次品所取=A 所含基本事件个数2m 。

3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。

4、一盒中装有60个零件。

其中甲厂生产的占31，乙厂生产的占32。

现随机地从盒中取3 个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。

5、一份试卷上有6道试题。

某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。

试求：（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。

（2）这4处错误发生在不同题上的概率。

（3）至少有3道题全对的概率。

6、将数字54321、、、、写在5张卡片上。

任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概率。

7、将4个小球随机地投入3个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。

8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？9、,B A ⊂5.0)(,1.0)(==B P A P ，试求)(),(),(B A P B A P AB P ⋃⋃。

10、6.0)(,3.0)(==B P A P ，7.0)(=⋃B A P 。

求)()(B A P B A P 和。

11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为875.0，试求该射手在一次射击中命中的概率。

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -=U （）（ ）.A ．0.5B ．0.1C ．0.44D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。