三招破解三角形解的个数问题

三角形个数的巧妙方法
数三角形个数有啥巧妙方法？嘿，那咱就直接唠唠。

首先，把图形分解成基本的三角形，就像把一个大拼图拆成小块。

这一步可得仔细喽，不然很容易数漏。

然后，从最小的三角形开始数起，一个一个往上加。

这就好比爬楼梯，一步一步来，可不能心急。

在这个过程中有啥要注意的呢？那就是不能重复数，也不能漏数。

这就像走迷宫，得时刻保持清醒，别走岔路。

要是数错了，那可就麻烦啦！
那数三角形的过程安全不？稳定不？放心吧！这又不是啥危险的事儿。

只要你认真仔细，就不会出问题。

就像搭积木，只要你用心搭，就不会倒。

数三角形的方法在啥场景能用上呢？那可多啦！比如数学作业里、考试中，甚至在生活中也能用到呢。

比如说设计图案的时候，你得知道有多少个三角形才能做出漂亮的设计。

这多厉害呀！
优势也不少呢！能锻炼你的观察力和逻辑思维能力。

就像锻炼身体一样，让你的大脑更强大。

举个实际案例哈，比如在一个复杂的几何图形中，用这个方法就能轻松数出三角形的个数。

你想想，要是没有好方法，那得费多大劲呀！
所以说，数三角形个数的巧妙方法真的超棒！认真去做，你肯定能数得又快又准。

解三角解的个数1. 任务背景三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。

在解三角形问题中，我们通常给定三角形的一些已知条件，例如边长或角度，然后需要确定三角形的其他未知条件。

解三角形的个数取决于已知条件的数量和类型。

2. 解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角形的性质和几何关系来求解未知条件。

根据已知条件的不同，解三角形可以分为以下几种情况：2.1 已知三边长度如果已知三角形的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的角度。

余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，C为对应的角度。

通过余弦定理可以求解三角形的角度。

正弦定理表达式为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C分别为三角形的三个角度。

通过正弦定理可以求解三角形的角度。

根据已知的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理求解出三个角度，从而确定三角形的形状。

2.2 已知两边长度和夹角如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长度和其他角度。

根据余弦定理，可以求解第三边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为已知的两边长度，C为已知的夹角。

根据正弦定理，可以求解其他角度的正弦值：sin(A) = a * sin(C) / csin(B) = b * sin(C) / c其中，A、B为未知的角度。

2.3 已知两个角度和一边长度如果已知三角形的两个角度和一边长度，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他边长度和角度。

根据正弦定理，可以求解其他边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C为已知的两个角度和一边长度。

根据余弦定理，可以求解其他角度的余弦值：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)3. 解三角形的个数根据已知条件的数量和类型，解三角形的个数可以分为以下几种情况：3.1 一解如果已知的条件足够确定三角形的形状和大小，那么解三角形的个数为一解。

1 专题5：解三角形中解的个数问题知识点与练习（解析版） 解三角形个数问题
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○1若A 为锐角时:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)
( b a ) ,( b a bsinA
)
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解
A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
○2若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b
a
一、单选题
1．在
ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且3a =
，
b =，
45B ∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．135°
【答案】C
【分析】
利用正弦定理求得sin A ，根据大边对大角确定A 的范围，得到A 的值.
【详解】
3a =，b =，45B ∠=︒，
由正弦定理得3sin 2
asinB A b ===,。

三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。

两招破解三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。

第一招：大角对大边 在已知三角形ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解。

例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，︒=45B ，求A 、C 及c 。

解：由正弦定理，得23245sin 3b B sin a A sin =︒==， 因为︒<︒=9045B ，a b <，所以︒=60A 或︒120。

当︒=60A 时，︒=75C ， 22645sin 75sin 2B sin C sin b c +=︒︒==；当︒=120A 时，︒=15C ， 22645sin 15sin 2B sin C sin b c -=︒︒==。

点评：在三角形中，B sin A sin B A b a >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。

第二招：二次方程的正根个数一般地，在△ABC 中，已知a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程0a b A cos bc 2c 222=-+-，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。

例2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=︒60，∠BCD=︒135，求BC 的长。

解：在△ABD 中，设BD=x ，则BDA cos AD BD 2AD BD BA 222∠⋅⋅-+=，即︒⋅⋅-+=60cos x 10210x 14222，整理得096x 10x 2=--，解得16x 1=，6x 2-=（舍去）。

解三角形专题2 【2 】三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的双方及个中一边的对角,断定三角形是否有解,并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠= (2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <,故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<,故有无解(3) c b >,故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<,故有两组解2在△ABC 中,A =45°,AB =3,则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要前提B ．必要不充分前提C ．充要前提D ．既为充分也不必要前提另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===,∵4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时,75C =︒,sin 75sin sin 45b C c B ︒===︒;当120A =︒时,15C =︒,sin sin sin 452b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘． 法2：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,常常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． 【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =, 60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒, 整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ A BCD点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能肯定解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒, 以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点,则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。

关于三角形解的个数问题的讨论
作者：秦森
来源：《试题与研究·新课程论坛》2012年第09期
对于解三角形的问题，有以下的几种情形。

一、已知三角形的三边，此时由余弦定理求出两个个角的余弦值，从而求出这两个角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。

二、已知三角形的两边及其夹角，此时由余弦定理可先求出第三边，再由余弦定理求出某个角的余弦值从而求出该角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。

三、已知三角形的两角及其任一边，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理直接求出另外两条边，从而解出该三角形。