高中数学阶段质量检测(二)新人教A版选修23

高中数学阶段质量检测（二）新人教A版选修23

阶段质量检测二

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：

ξ 0 1 2 3

P 15 15 110 p

则p的值为( )

A.12 B.16

C.13 D.14

解析：选A 因为15＋15＋110＋p＝1，所以p＝12，故选A.

2．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )

A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大

C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大

解析：选D 在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.

3．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )

A.310 B.112

C.12 D.1112

解析：选D 设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝C57C510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－112＝1112.

4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为( )

A．0.3 B．0.5

C．0.1 D．0.2

解析：选A 由Y＝2X－1<6，得X<3.5，

∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.

5．在区间(0,1)内随机取一个数x，若A＝ x0

A.12 B.14

C.13 D.34

解析：选A P(A)＝121＝12，

∵A∩B＝ x14

∴P(AB)＝141＝14，

∴P(B|A)＝PABPA＝1412＝12.

6．若离散型随机变量X的分布列为

X 1 2

3

P

35 310 110

则X的数学期望E(X)＝( )

A.32 B．2

C.52 D．3

解析：选A 由数学期望的公式可得：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.

7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )

A．0.9 B．0.2

C．0.7 D．0.5

解析：选D 设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，且A与B互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P(AB＋AB)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.5，故选D.

8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)＝( )

A.158 B.154

C.52 D．5

解析：选C 每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为12，10次独立重复试验中，X～B(n，p)，∴D(X)＝10×12×1－12＝52.

9．设随机变量x服从正态分布N12，σ2，集合A＝{x|x>X}，集合B＝ xx>12，则A⊆B的概率为( )

A.14 B.13

C.12 D.23

解析：选C 由A⊆B得X≥12.又∵μ＝12，

∴PX≥12＝12.

10．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则D(X3)等于( )

A．2.5 B．1.5

C．0.5 D．3.5

解析：选A 由已知得 0.2n＝2，6p1－p＝32，解得 n＝10，p＝0.5.故D(X3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.

11．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X表示取到次品的件数，则E(X)等于( )

A.35 B.815

C.1415 D．1

解析：选A 由题意知，随机变量X的分布列为

X 0 1

2

P 715 715 115

∴E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.

12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．

(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；

(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )

A．p1>p2，E(ξ1)

B．p1E(ξ2)

C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)

D．p1

解析：选A

法一：(特值法)取m＝n＝3进行计算，比较即可．

法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，

则ξ的所有可能取值为0,1，

则P(ξ＝0)＝nm＋n＝P(ξ1＝1)，

P(ξ＝1)＝mm＋n＝P(ξ1＝2)，

所以E(ξ1)＝1×P(ξ1＝1)＋2×P(ξ1＝2)＝mm＋n＋1，

所以p1＝Eξ12＝2m＋n2m＋n；

从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，

则η的所有可能取值为0,1,2，

则P(η＝0)＝C2nC2m＋n＝P(ξ2＝1)，

P(η＝1)＝C1nC1mC2m＋n＝P(ξ2＝2)，

P(η＝2)＝C2mC2m＋n＝P(ξ2＝3)，

所以E(ξ2)＝1×P(ξ2＝1)＋2×P(ξ2＝2)＋3×P(ξ2＝3)＝2mm＋n＋1，

所以p2＝Eξ23＝3m＋n3m＋n，

所以p1>p2，E(ξ1)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．现有两台在两地独立工作的雷达，若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________．

解析：设所求的概率为P，则根据题意有P＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.

答案：0.22

14．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．

解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝PACPC＝0.60.8＝0.75.

答案：0.75

15．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．

解析：设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，得X的分布列为

X －20 30 50

P 0.1 0.3 0.6

故E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.

答案：37

16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；

②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；

③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；

④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.

其中所有正确结论的序号是________．

解析：①恰有一个白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B6，23，其方差为6×23×1－23＝43，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝PABPA＝35，故③错；④每次取到红球的概率P＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－1－233＝2627，故④正确．

答案：①②④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)

17．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X表示走出迷宫所需的时间．

(1)求X的分布列；

(2)求X的均值．

解：(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.

P(X＝1)＝13，P(X＝3)＝16，P(X＝4)＝16，P(X＝6)＝13，所以X的分布列为

X 1 3 4

6

P 13 16 16 13

(2)E(X)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.

18．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？