矩阵分析复习

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

(对应学生用书(理)189～191页)

考情分析 考点新知

①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.

②求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算．

①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.

②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.

1. 设M＝0110，N＝10012，求MN.

解：MN＝011010012＝01210.

2. 已知矩阵M＝a273，若矩阵M的逆矩阵M －1＝b－2－7a，求a、b的值．

解：由题意，知MM－1＝E，a273b－2－7a＝1001，即ab－1407b－213a－14＝1001，

即ab－14＝1，7b－21＝0，3a－14＝1，解得a＝5，b＝3. 3. 求矩阵 12－12的特征多项式．

解：f(λ)＝λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.

4. (选修42P73习题第1题改编)求矩阵M＝[ 1 6－2－6]的特征值．

解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.

5. (选修42P73习题第1题改编)求矩阵N＝3652的特征值及相应的特征向量．

解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，

令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，

试卷第1页，总45页

1．方程组的增广矩阵是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

试题分析：先将方程组化成，即可写出对应的增广矩阵．

解：∵方程组，

∴方程组可化为，

∴其增广矩阵为．

故选D．

点评：本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及方程组的增广矩阵，属于基础题．

2．（2010•卢湾区二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件

【答案】D

【解析】

试题分析：将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．

解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解． 试卷第2页，总45页 ∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，

反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．

总之，两者之间互相推出的问题．

故选D．

点评：本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．

3．（2012•闵行区一模）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）

A. B.两两平行

C. D.方向都相同

【答案】B

【解析】

试题分析：二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．

解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例

∵，

∴两两平行

故选B．

点评：本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．

1 数学复习：

一、矩阵定义

当一个矩阵的行数 与列数 相等时，该矩阵称为一个n阶方阵square matrix。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线main diagonal。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵identity matrix，记为En或In，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个 阶下三角矩阵，而

则是一个 阶上三角矩阵。

二、矩阵运算

1、矩阵的加法addition matrix

设有两个mn的矩阵A=(aij)，B=(bij)，则矩阵A和B的和记作A+B 。即：

矩阵的加法满足下列运算律：

（1）交换律： ；

（2）结合律： ；

（3）存在零元： ；

（4）存在负元： 。

2、数与矩阵相乘 scalar multiplication 111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab 2 数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为

数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为mn矩阵，、为数）：

(i) ()A=(A)；

(ii) (+)A=A+A；

(iii) (A+B)=A+B；

3、矩阵与矩阵相乘matrix multiplication

1）只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。

2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。这条可记为：积的行=左矩阵的行，积的列=右矩阵的列

3）乘积矩阵的元素（i,j）等于左矩阵的第i行和右矩阵的第j列的对应元素的乘积之和。这条可记为i：积=（左矩阵行×右矩阵列）之和。

第二章 内积空间

一、基本要求

1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．

2、掌握线性无关组的Schmidt正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．

3、理解Hermite二次型的定义．

4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．

5、了解欧氏子空间的定义．

6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．

7、掌握对称矩阵与Hermite矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．

8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．

二、基本内容

1、内积空间

设数域F上的线性空间)(FVn，若)(FVn中任意两个向量,都有一个确定的数与之对应，记为),(，且满足下列三个条件

(1) 对称性：),(),(，其中),(表示对数),(取共轭；

(2) 线性性：),(),(),(22112211kkkk；

(3) 正定性：0),(，当且仅当0时，0),(，

则称),(为向量与的内积．当RF时，称)(RVn为 欧氏空间；当CF时，称)(CVn为酉空间．

注意：在nR中，),(),(kk；在nC中，),(),(kk．

通常的几个内积：

(1) nR中，TTniiiyx1),(

nC中，Hiniiyx1),(．

其中TnTnyyyxxx),,,(,),,,(2121．

(2) nmR中，nmijnmijbBaA)(,)(，ijminjijHbaBAtrBA11)(),(．