【高等数学基础】形成性考核册答案.
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1
【高等数学基础】作业1答案： 第1章 函数极限与连续
一、单项选择题
1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A
二、填空题
1．(3+∞，； 2．2
x x -； 3
4．e ； 5．0x ＝； 6．无穷小量.
三、计算题
1．解：(22, f =-(00, f =(11. f e e == 2．解：要使21
lg
x x
- 有意义，必须 21
0, 0x x x -⎧>⎪
⎨⎪≠⎩
解得：10, 2x x <>或
(211lg
, . 2x y x -⎛⎫
∴=∞⋃+∞
⎪⎝⎭
函数的定义域为-,0 3．解：如图，梯形ABCD 为半圆O 的内接梯形，AB DC
AB 2R DE x ，＝，高＝
, OD DEO 连接则为直角三角形，
2DC OC ==
(
(
((
1
22S , 0DE DC AB x R x R x R ∴+=+=+<<1梯形的面积S=2即其中
4．解：原式＝000sin 3233sin 323
lim
lim lim . 3sin 2223sin 22
x x x x x x x x x x x →→→⋅⋅=⋅=
5．解：原式＝((111
11
lim
1lim lim 12sin 1sin 1x x x x x x x x x →-→-→-++⋅-=⋅-=-++
6．解：原式＝000sin 33sin 31
lim
3lim lim 3. 3cos33cos3x x x x x x x x x
→→→⋅=⋅=
7
．解：原式＝
2
1
1
0. x x →→==
8．解：原式＝4
3
34441lim 1. 33x x x e x x -+---→∞⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
A
E B
O
C
2
9．解：原式＝((444222lim lim . 4113
x x x x x x x x →→---==---
高等数学基础】作业2答案：
导数与微分
一、 单项选择题
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C
二、填空题
1．0； 2．2ln 5x x +； 3．12； 4．10y -=； 5．(22ln 1x x x +； 6．1
x
.
三、计算题
1. 求下列函数的导数y '：
(3132223(13, 321
2.
2x x
x
x y x e y x e x e y e ⎛⎫⎛⎫'=+∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=解：即 (22211122ln 2ln . sin
sin y x x x x x x x x x
'=-
++⋅=-++解： ((2221132ln 2ln 1. ln ln x y x x x x x x x
⎛⎫'=-⋅=- ⎪⎝⎭解： (((((3264414sin 2ln 23cos 221
ln 23sin 3cos . x x
x
y x x x x x
x x x x x x
⎡⎤'=
-+-+⎣⎦=--+解： ((2
22
2
2
1152sin ln cos sin 12ln cos . sin sin y x x x x x x x x x x
x x x x
⎡⎤⎛⎫'=-
--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
--=
+⋅解：
(3sin 64cos ln . x
y x x x x
'=--
解： ((
(((22
21
73cos 23ln 3sin 31
cos 2sin ln 3ln 3. 3
x x x x y x x x x x x x x ⎡⎤'=
+-+⎣⎦
=
+--解：
3
(22
11
8tan cos 11tan . cos x x x y e x e x x
e x x x
'=+⋅
+⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭解：
2. 求下列函数的导数y '： (
1y ''=⋅
=解：
((1sin 2cos tan . cos cos x y x x x x
''=
⋅=-=-解： (11
2
71
1
2
88273, . 8y x x x x y x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥'=⋅=∴= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解： ((42sin sin 2sin cos sin 2. y x x x x x ''=⋅=⋅=解： ((225cos 2cos . y x x x x
''=⋅=解： ((6sin . x x
x
x y e e e
e ''⋅=-⋅解：=-sin
((((111
7sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos 1.
n n n n y n x x nx x nx n
n x x nx x nx n x n x ---'=⋅⋅+⋅-⋅=⋅-=⋅+解： ((sin sin 85ln 5sin 5cos ln 5. x
x y x x ''=⋅⋅=解： ((cos cos 9cos sin . x
x y e
x xe ''=⋅=-解：
3. 在下列方程中，(y y x =是由方程确定的函数，求y '：
(((2221cos sin 2,
cos sin , sin . cos y y y
y x y x e y y x e y x y x
y x e
''+-=⋅'-='∴=
-解：
((cos 2sin ln , cos 1sin ln , cos .
1sin ln y
y y y x x
y
y x y x
y
y x y x ''=-⋅+'+=
'∴=
+解：
4
(3sin , 2
1
sin cos , 21
.
2sin cos x
y y y y y y y y y y y =
''+⋅='∴=+解：两边求导，得
(
41. y y y y y
'''⋅=+1解：=1+ ((152,
12, 1
. 2y y
y
e y y y x
y e y x y x y e ''+⋅=⋅'-='∴=-
((62sin cos , 2cos sin ,
sin . 2cos x x x
x x x
y y e y e y y y e
y y e y e y y y e y
''⋅=+⋅⋅'-='∴=-解：
((222
73,
3,
. 3y x y
x x
y e y e y y e
y y e e y e y
''⋅=-⋅'+='∴=+解：
((85ln 52ln 2,
12
ln 25ln 5,
5ln 5
.
12ln 2
x y y
x x y y y y y ''=+⋅'-='∴=-解：
4. 求下列函数的微分dy ：
(((221csc cot csc csc cot csc , csc cot csc .
y x x x x x x dy y dx x x x dx '=--=-+'∴==-+ 解：
(22
21
sin cos ln sin cos ln 2, sin sin sin cos ln .
sin x x x
x x x x
y x x x
x x x x
dy dx x x
--'==-∴= 解：
5
(32sin cos sin 2, sin 2.
y x x x dy xdx '==∴= 解：
(222
4sec sec ,
sec .
x x x x
y e e e x dy e xdx '=⋅=∴= 解：
5.求下列函数的二阶导数：
(
1
23
322
11, 2
111
. 224y x y x x ---'=
=⎛⎫''∴=
⋅-=- ⎪⎝⎭
解：
(2
23ln 3,
3ln 3.
x x
y y '=''∴=解：
(213, 1. y x
y x
'=
''∴=-
解：
((4sin cos , cos cos sin 2cos sin .
y x x x y x x x x x x x '=+''∴=+-=-解：
四、证明题
((((((((((,
,
1, f x f
x f x f x f x f x f x f x f x -=-''∴-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''-⋅-=-''-='∴证：由题设，有即是偶函数.
