高等数学基础形成性考核册答案(附题目)

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【高等数学根底】形成性考核册答案

【高等数学根底】形考作业1答案：

第1章函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈以下各函数对中，〔C 〕中的两个函数相等．

A. 2)()(xxf，xxg)( B. 2)(xxf，xxg)(

C. 3ln)(xxf，xxgln3)( D. 1)(xxf，11)(2xxxg

分析：判断函数相等的两个条件〔1〕对应法则一样〔2〕定义域一样

A、2()()fxxx，定义域|0xx；xxg)(，定义域为R

定义域不同，所以函数不相等；

B、2()fxxx，xxg)(对应法则不同，所以函数不相等；

C、3()ln3lnfxxx，定义域为|0xx，xxgln3)(，定义域为|0xx

所以两个函数相等

D、1)(xxf，定义域为R；21()11xgxxx，定义域为|,1xxRx

定义域不同，所以两函数不等。

应选C

⒉设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于〔C〕对称．

A. 坐标原点 B. x轴

C. y轴 D. xy

分析：奇函数，()()fxfx，关于原点对称

偶函数，()()fxfx，关于y轴对称

yfx与它的反函数1yfx关于yx对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设gxfxfx，则gxfxfxgx

所以gxfxfx为偶函数，即图形关于y轴对称

应选C

⒊以下函数中为奇函数是〔B〕．

A. )1ln(2xy B. xxycos

C. 2xxaay D. )1ln(xy

分析：A、22ln(1)ln1yxxxyx，为偶函数

B、coscosyxxxxxyx，为奇函数

或者*为奇函数，cos*为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C、2xxaayxyx，所以为偶函数

D、ln(1)yxx，非奇非偶函数 .

应选B

⒋以下函数中为根本初等函数是〔C〕．

A. 1xy B. xy

C. 2xy D.

0,10,1xxy

分析：六种根本初等函数

（1） yc〔常值〕———常值函数

（2） ,yx为常数——幂函数

（3） 0,1xyaaa———指数函数

（4） log0,1ayxaa———对数函数

（5） sin,cos,tan,cotyxyxyxyx——三角函数

（6） sin,1,1,cos,1,1,tan,cotyarcxyarcxyarcxyarcx——反三角函数

分段函数不是根本初等函数，故D选项不对

对照比拟选C

⒌以下极限存计算不正确的选项是〔D〕．

A. 12lim22xxx B. 0)1ln(lim0xx

C. 0sinlimxxx D. 01sinlimxxx

分析：A、1lim00nxnx

B、0limln(1)ln(10)0xx

初等函数在期定义域是连续的

C、sin1limlimsin0xxxxxx

x时，1x是无穷小量，sinx是有界函数，

无穷小量×有界函数仍是无穷小量

D、1sin1limsinlim1xxxxxx，令10,txx，则原式0sinlim1ttt

应选D

⒍当0x时，变量〔C〕是无穷小量．

A. xxsin B. x1

C. xx1sin D. 2)ln(x

分析；lim0xafx，则称fx为xa时的无穷小量

A、0sinlim1xxx，重要极限 .

B、01limxx，无穷大量

C、01limsin0xxx，无穷小量x×有界函数1sinx仍为无穷小量

D、0limln(2)=ln0+2ln2xx

应选C

⒎假设函数)(xf在点0x满足〔A〕，则)(xf在点0x连续。

A. )()(lim00xfxfxx B. )(xf在点0x的*个邻域有定义

C. )()(lim00xfxfxx D. )(lim)(lim00xfxfxxxx

分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即00limxxfxfx

连续的充分必要条件00000limlimlimxxxxxxfxfxfxfxfx

应选A

〔二〕填空题

⒈函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3xx．

分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量0

（2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量〔真值〕为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号的量不能取0,1,22kk

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

)1ln(39)(2xxxxf要求

2903010xxx得3331xxxx或－求交集 3－1－3

定义域为 |3xx

⒉函数xxxf2)1(，则)(xf*2-*．

分析：法一，令1tx得1xt

则22()11fttttt则2fxxx

法二，(1)(1)111fxxxxx所以()1fttt

⒊xxx)211(lim．

分析：重要极限1lim1xxex，等价式10lim1xxxe

推广limxafx则1lim(1)fxxaefx .

lim0xafx则1lim(1)fxxafxe

⒋假设函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0x处连续，则k e ．

分析：分段函数在分段点0x处连续000limlimxxxxfxfxfx

00100limlim0limlim1xxxxxfxxkkkfxxe 所以ke

⒌函数0,sin0,1xxxxy的连续点是0x．

分析：连续点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域围都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性〔利用连续的充分必要条件〕

0000limlim1011limlimsin0xxxxfxxfxx不等，所以0x为其连续点

⒍假设Axfxx)(lim0，则当0xx时，Axf)(称为0xx时的无穷小量．

分析：000lim(())lim()lim0xxxxxxfxAfxAAA

所以Axf)(为0xx时的无穷小量

〔三〕计算题

⒈设函数

求：)1(,)0(,)2(fff．

解：22f，00f，11fee

⒉求函数21lgxyx的定义域．

解：21lgxyx有意义，要求2100xxx解得1020xxx或

则定义域为1|02xxx或

⒊在半径为R的半圆接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： D

A

R

O h E

B

C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R .

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

则上底＝2222AERh

故2222222hSRRhhRRh

⒋求xxx2sin3sinlim0．

解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx＝133122

⒌求)1sin(1lim21xxx．

解：21111(1)(1)111limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx

⒍求xxx3tanlim0．

解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx

⒎求xxxsin11lim20．

解：22222200011(11)(11)limlimlimsin(11)sin(11)sinxxxxxxxxxxxx

⒏求xxxx)31(lim．

解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()limlim33311(1)[(1)]3xxxxxxxxxxxexxxexexxx

⒐求4586lim224xxxxx．

解：2244442682422limlimlim54411413xxxxxxxxxxxxx

⒑设函数

讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间．

解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性

〔1〕

所以11limlimxxfxfx，即fx在1x处不连续

〔2〕

所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续

由〔1〕〔2〕得fx在除点1x外均连续