高考数学(理)二轮复习：三角函数与平面向量(含答案)
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高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）
4 三角函数与平面向量
1．准确记忆六组诱导公式
对于“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(3)弦、切互化：一般是切化弦．
(4)灵活运用辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba.
3．三种三角函数的性质
函数 y＝sin x y＝cosx y＝tan x
图象
单调性 在 －π2＋2kπ，
π2＋2kπ(k∈Z)
上单调递增；在 π2＋2kπ，
3π2＋2kπ(k∈Z)
上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在 －π2＋kπ， π2＋kπ(k∈Z)上单调递增
对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋对称中心：
π2＋kπ，0(k∈对称中心：
kπ2，0(k∈Z)
kπ (k∈Z) Z)；
对称轴：
x＝kπ(k∈Z)
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
y＝sin x――――――――――→向左φ＞0或向右φ<0平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)
―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω＞0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)
―――――――――――→纵坐标变为原来的AA＞0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．
5．正弦定理及其变形
asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
a∶b∶c＝sin A∶sinB∶sinC.
6．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，
cosC＝a2＋b2－c22ab.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
7．面积公式
S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.
8．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
9．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
10．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
11．利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22.
12．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sin A.
(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.
1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．
4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为φω，而不是φ.
5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．
7．a·b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．
1．若sin θ·cosθ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.12
答案 B
解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.
2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin2x＋π2 B．y＝cos2x＋π2
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cosx
答案 A
解析 化简函数的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，cosA＝－24.则b的值为( )
A．1 B.2
C.32 D.62
答案 A
解析 根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，则22＝b2＋(2)2－2b×2×－24，所以b2＋b－2＝0，解得b＝1，故选A.
4．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移π12个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π3个单位长度
D．向右平移π3个单位长度
答案 B
解析 因为y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，所以将函数y＝sin 4x向右平移π12个单位长度就得到函数y＝sin4x－π3.故选B.
5．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0
A．－1 B．－3
C．－12 D．－32
答案 B
解析 f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋π6，
则由题意知，fπ2＝2sinπ＋θ＋π6＝0，又因为0
又因为函数f(x)在－π4，π6上是减函数，
所以函数f(x)在－π4，π6上的最小值为
fπ6＝－2sin π3＝－3，故选B.
6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于( )
A.31010B.1010 C．－1010D．－31010
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，AD＝BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝1＋21－1×2＝－3，所以cosA＝－1010，故选C.
7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是( )
A.7π4 B.9π4
C.5π4或7π4
D.5π4或9π4
答案
A
解析
∵sin 2α＝55，α∈π4，π，
∴2α∈π2，π，即α∈π4，π2，cos 2α＝－255，
又sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，
∴β－α∈π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，
∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α
＝1010×－255＋－31010×55
＝－22，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝－31010×－255－1010×55
＝22，
又α＋β∈5π4，2π，
∴α＋β＝7π4，故选A.
8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于( )
A.23 B.13
C．－13 D．－23
答案 A
解析 如图，
CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→
＝CA→＋23(CB→－CA→)
＝13CA→＋23CB→，
所以λ＝23.故选A.
9．函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ的值为( )
A.π4 B.3π8
C.3π4 D.5π8
答案 C
解析 平移后有f(x)＝sin2x－π8＋φ＝sin2x＋φ－π4，
f(x)关于y轴对称，则φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，φ＝kπ＋3π4，k∈Z，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.
10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f(x)＞0对x∈－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )
A.－π12，0 B.－π8，－π24
C.－π12，π8 D.0，π12
答案 B
解析 由已知得函数f(x)的最小正周期为4π3，则ω＝32，
当x∈－π8，π4时，32x＋φ∈－3π16＋φ，3π8＋φ，
因为f(x)＞0，即cos32x＋φ＞12，
所以 －3π16＋φ≥－π3＋2kπ，3π8＋φ≤π3＋2kπ(k∈Z)，
