2019高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量 第三讲 平面向量教案 理
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第三讲 平面向量
年份
卷别 考查角度及命题位置 命题分析
2018 Ⅰ卷 向量的线性运算·T6 1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.
Ⅱ卷 数量积的运算·T4
Ⅲ卷 向量共线的坐标运算及应用·T13
2017 Ⅰ卷 向量的模的求法·T13
Ⅱ卷 数量积的最值问题·T12
Ⅲ卷
平面向量基本定理及最值问题·T12
2016
Ⅰ卷 向量数量积的坐标运算·T13
Ⅱ卷 向量坐标运算、数量积与向量垂直·T3
Ⅲ卷 数量积求夹角·T3
平面向量的概念及线性运算
授课提示：对应学生用书第25页
[悟通——方法结论]
如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC→＝λPA→＋(1－λ)PB→.
该结论比较典型，由此可知：若A，B，C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在λ∈R，使得PC→＝λPA→＋(1－λ)PB→.注意：这里PA→，PB→的系数之和等于1.
特殊情形：若点C为线段AB的中点，则PC→＝12(PA→＋PB→)．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝( )
A.34AB→－14AC→ B.14AB→－34AC→ 2 C.34AB→＋14AC→ D.14AB→＋34AC→
解析：作出示意图如图所示．
EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→
＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)
＝34AB→－14AC→.
故选A.
答案：A
2．如图，在直角梯形ABCD中，DC→＝14AB→，BE→＝2EC→，且AE→＝rAB→＋sAD→，则2r＋3s＝(
)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：根据图形，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋14AB→)＝12AB→＋23AD→.
因为AE→＝rAB→＋sAD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.
答案：C
3．(2018·西安三模)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设BC的中点为D，则由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，可得AP→＝λ(AB→＋AC→)＝2λAD→，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选 3 C.
答案：C
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.
答案：12
1．记牢2个常用结论
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD→＝12(AB→＋AC→)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的重心．
2．掌握用向量解决平面几何问题的方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
平面向量的数量积
授课提示：对应学生用书第25页
[悟通——方法结论]
1．平面向量的数量积运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
2．夹角公式 4 cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.
3．模
|a|＝a2＝x2＋y2.
4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.
答案：A
2．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知AB→·AC→＝92，|AC→|＝3，|AB→|＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则AM→·AN→的值是( )
A.112 B.132 C．6 D．7
解析：不妨设AM→＝23AB→＋13AC→，AN→＝13AB→＋23AC→，所以AM→·AN→＝(23AB→＋13AC→)·(13AB→＋23AC→)＝29AB2→＋59AB→·AC→＋29AC2→＝29(AB2→＋AC2→)＋59AB→·AC→＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B.
答案：B
3．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A.π6 B.π4
C.π3
D.2π3
解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.
答案：B
4．(2018·合肥一模)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a在b方向上的投影等于________．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为a·b|b|＝－12. 5 答案：－12
快审题 1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.
避误区 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.
平面向量在几何中的应用
授课提示：对应学生用书第26页
[悟通——方法结论]
破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是( )
A．－2 B．－32
C．－43 D．－1
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为－32，选择B. 6 答案：B
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λ AB→＋μ AD→，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22
C.5 D．2
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为212＋22＝25，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45，因为P在圆C上，所以P1＋255cos θ，2＋255sin θ，AB→＝(1,0)，AD→＝(0,2)，AP→＝λ AB→＋μ AD→＝(λ，2μ)，所以 1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan
φ＝2，选A.
答案：A
数量积的最值或范围问题的2种求解方法
(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．
[练通——即学即用]
1．(2018·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则PA→·BD→的取值范围是( ) 7
A．－12，1 B．－1，12
C．[－1,1] D．[－1,0]
解析：∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝2.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则PA→＝PO→＋OA→，OA→·BD→＝0，
∴PA→·BD→＝(PO→＋OA→)·BD→＝PO→·BD→.
∴当点P与点B重合时，PA→·BD→取得最大值，
即PA→·BD→＝PO→·BD→＝12×2×2＝1；
当点P与点D重合时，PA→·BD→取得最小值，
即PA→·BD→＝－12×2×2＝－1.
∴PA→·BD→的取值范围是[－1,1]．
答案：C
2．(2018·辽宁五校联考)一条动直线l与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若AB→＝2AG→，则(OA→－OB→)2－4OG2→的最大值为( )
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：由AB→＝2AG→知G是线段AB的中点，∴OG→＝12(OA→＋OB→)，∴(OA→－OB→)2－4OG2→＝(OA→－OB→)2－(OA→＋OB→)2＝－4OA→·OB→.由A，B是动直线l与抛物线C：x2＝4y的交点，不妨设A(x1，x214)，B(x2，x224)，∴－4OA→·OB→＝－4(x1x2＋x21x2216)＝－4[(x1x24＋2)2－4]＝16－4(x1x24＋2)2≤16，即(OA→－OB→)2－4OG→2的最大值为16，故选B.
答案：B
授课提示：对应学生用书第126页
