八年级上册数学期末知识点：勾股定理

第一章 勾股定理

1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形。

第二章 实数

1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。

3. 算术平方根：正数\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)。

4. 立方根：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。

第三章 位置与坐标

1. 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴称为\(x\)轴或横轴，竖直的数轴称为\(y\)轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3. 点的坐标：对于平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，垂足在\(x\)轴、\(y\)轴上对应的数\(a\)，\(b\)分别叫做点\(P\)的横坐标、纵坐标，有序数对\((a,b)\)叫做点\(P\)的坐标。

4. 各象限内点的坐标的特征：

点\(P(x,y)\)在第一象限：\(x>0\)，\(y>0\)；

点\(P(x,y)\)在第二象限：\(x0\)，\(y>0\)；

点\(P(x,y)\)在第三象限：\(x0\)，\(y0\)；

点\(P(x,y)\)在第四象限：\(x>0\)，\(y0\)。

第一章 【勾股定理】习题

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222cba。常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。这个一定要牢记于心。

考点一：勾股定理的直接应用

例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）

A、1 B、2 C、2

D、22

例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为2_____cm

考点二：求第三条边的长

例1．若RtABC中，90C且c=37,a=12，则b=（ ）

A、50 B、35 C、34 D、26

例2．已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取 时，这三条线段能组成一个直角三角形。（提示：所给的两条变长不一定都为直角边。）

例3．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, 22144,25ab,则2c（ ）

A、169 B、119 C、169或119 D、13或25

考点三：与高、面积有关

例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是

例2．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是2_____cm

◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。

判断步骤：（1）比较a、b、c大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。

例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ）

第1页—总14页 《勾股定理》典型例题分析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

S3S2S1

第2页—总14页 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）

A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍

5、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）

A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2

7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

八年级上册数学期末知识点：勾股定理

第二章

勾股定理

2.1探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

2.2勾股数

.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形。

在∆ABc中,a，b，c为三边长,其中c为最大边,

若a2+b2=c2,则∆ABc为直角三角形；

若a2+b2>c2,则∆ABc为锐角三角形；

若a2+b2<c2,则∆ABc为钝角三角形。

2.勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数,仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。

常用勾股数:3,4,5 9,12,15

5,12,13

8,15,17

6,8,10

7,24,25

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5

连续的偶数勾股数只有6,8,10