复变函数PPT第四章

第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:)10(xxy为从点0到1+i的直线方程,于是

iCyixdixyxdzixyx1022)()()(

102102)1()()(dxxiiixxdixxx

31013)1(3ixi

2.解:(1)11,:xxzC,因此111Cdxxdzz

(2)iezC:,从变到0,因此

200deidedzziCi

(3)下半圆周方程为2,iez,则

202dieidedzziCi

3.证明:(1)11,0:yxC

因为1)(222iyiyxzf,而积分路径长为2)(ii

故 2)()(2222iiCdziyxdziyx.

(2) 0,1:22xyxC

而1)(4422yxiyxzf,右半圆周长为,

所以 iidziyx)(22.

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2z,在单位圆1z的外部,所以zcos1在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0cosCzdz.

(2)1)1(122122zzz,因奇点iz1在单位圆1z的外部, 所以2212zz在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0222Czzdz. (3) )3)(2(652zzezzezz,因奇点3,2z在单位圆1z的外部,

所以652zzez在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0652Czzzdze.

(4)因为2coszz在1z上处处解析, 由柯西积分定理得

0cos2Cdzzz.

第四章复变函数级数

第四章复变函数级数（42）

⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：

lim n n z z →∞

= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞

=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞

=lim n n v v

→∞

=

1

n

n z ∞

=∑收敛的充要条件是1

n

n u ∞

=∑和1

n

n v ∞

=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞

=k k n z z z z 211

若其前n 项

和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞

=∑收敛,⽽数列{}n S 的

极限S 叫做级数1n k z ∞

=∑的和.否则称级数1

n k z ∞

=∑发散。由于∑∑==+=

n

k kn k k

n v i u

S 1

1

，所

以11lim lim lim

n

k n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞

→∞=?

=??==+=??

∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞

=1

k k z 收

敛,则称级数∑∞=1

k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：

∑

∞

=++++=0

10)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑

==

n

k k n z f S 0

)(。若

对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑

∞

==

)()(k k z f z s .

.

精选文本

第四章例题

例4.1 考察级数的敛散性。

解 因发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。

例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径。

（1）

解 。

（2） 。

解 因 ， 故 。

（3） 。

解 因 ， 故 。

（4）

解 应当是平方数时，其他情形。因此，相应有 ，于是数列{}的聚点是0和1，从而。

例4.3 将在展开成幂级数。 .

精选文本 解 因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。已经知道：

，

在时将两式相乘得（按对角线方法）

。

例4.4 求的展开式。

解 因的支点为及，故其指定分支在内单值解析。 ， 其一般表达式为：当时

。

例4.5 将及展为的幂级数。

解 因 ，

同理

。 .

精选文本 两式相加除以2得

，， 两式相减除以得

。

例4.6 试将函数

按的幂展开，并指明其收敛范围。

解

例4.7 考察函数

在原点的性质。

解 显然在解析，且。 由，

或由

知为的三级零点。

.

精选文本 例4.8 求的全部零点，并指出它们的级。

解 在平面上解析。由得

即

故 ， 这就是在平面上的全部零点。显然

故 都是函数的二级零点。

例4.9 设（1）及在区域内解析；

（2）在内 ， 试证：在内或。

证 若有使。因在点连续，故由例1.28知，存在的邻域，使在内恒不为零。而由题设

,

故必 .

由唯一性定理（推论4.21） 。

例4.10 试用最大模原理证明例3.9。即证：“设在闭圆上解析，如果存在，.

史济怀《复变函数》第四章若⼲习题解答，4.1节

可能是因为当年本科学的是微积分，级数部分讲的不多，现在这部分习题做起来真的很困难，有不少题⽬想了很长时间,现在在这⾥练⼀练，

做个记录.

4.设0

2,argz

n≤α,∀n∈N.证明级数∑z

n,∑Rez

n,∑|z

n|有相同的敛散性.

证明 假设∑zn收敛,显然∑Rezn也收敛,来证明∑|zn|也收敛.因为

|z

n|

Rez

n=1

cosθ

n≤1

cosα

所以∑|zn|收敛.

再假设∑Rezn收敛,则有前⾯的过程可得∑|zn|收敛,进⼀步∑z

n也收敛.

上⾯的论述说明了三个级数同时收敛.⾃然也就同时发散.

5.设Rez

n≥0,∀n∈N,证明若∑z

n,∑z2

n都收敛,则∑|zn|2也收敛.

证明 设zn=r

neiθ

n,θ

n∈−π

2,π

2,由∑z

n收敛可以知道∑rncosθ

n也收敛,⽽他是正项级数,因⽽∑r2

ncos2θ

n也收敛;再根据∑z2

n收敛知如下级数

收敛

∑

r2

ncos2θ

n=∑

r2

ncos2θ

n−sin2θ

n

收敛，因此∑r2

nsin2θ

n也收敛,相加即得∑r2

n=∑|z

n|2收敛.

11.证明∑∞

n=1(−1)n−11

n−z在C∖N上内闭⼀致收敛.

证明 任取紧集K⊂C∖N,我们来证明级数在K上⼀致收敛.任取z

0∈K,存在充分⼩的邻域B

0=B(z

0,r

0)⊂C∖N,来证级数在B

0上⼀致收敛.

如果令z=x+iy,则

(−1)n−11

n−z

=(−1)n−1n−x

n2−2nx−|z|2

+i(−1)n−1y

n2−2nx−|z|2

根据函数项级数的Dirchlet判别法可以知道上⾯的级数的实部和虚部均在B

0中⼀致收敛.所以∑(−1)n−11

n−z也在B

0中⼀致收敛.当z

0遍历K时可

得到K的⽆限开覆盖B,由K的紧性知道可从B中取出有限个Bk,(k=1,2,⋯,n)覆盖住K,⽽级数在每个B

k上⼀致收敛,所以在∪n

k=1B

k上⼀致收敛,

也在K上⼀致收敛.

由K的任意性,所以原来的级数在C∖N中内闭⼀致收敛.