复变函数1-4章

第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:)10(xxy为从点0到1+i的直线方程,于是

iCyixdixyxdzixyx1022)()()(

102102)1()()(dxxiiixxdixxx

31013)1(3ixi

2.解:(1)11,:xxzC,因此111Cdxxdzz

(2)iezC:,从变到0,因此

200deidedzziCi

(3)下半圆周方程为2,iez,则

202dieidedzziCi

3.证明:(1)11,0:yxC

因为1)(222iyiyxzf,而积分路径长为2)(ii

故 2)()(2222iiCdziyxdziyx.

(2) 0,1:22xyxC

而1)(4422yxiyxzf,右半圆周长为,

所以 iidziyx)(22.

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2z,在单位圆1z的外部,所以zcos1在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0cosCzdz.

(2)1)1(122122zzz,因奇点iz1在单位圆1z的外部, 所以2212zz在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0222Czzdz. (3) )3)(2(652zzezzezz,因奇点3,2z在单位圆1z的外部,

所以652zzez在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0652Czzzdze.

(4)因为2coszz在1z上处处解析, 由柯西积分定理得

0cos2Cdzzz.

复变函数1－3章测试题

一、 单项选择题

2. 设2

,0

0,0z

z

fz

z

z











，则

fz的连续点集合为（ ）.

（A）单连通区域 （B）多连通区域

（C）开集非区域 （D）闭集非闭区域

4.设()(,)(,)fzuxyivxy，那么(,)uxy与(,)vxy在点

00,xy可微是



fz在点

000zxiy可微的（ ）.



AB

CD充分但非必要条件必要但非充分条件

充分必要条件既非充分也非必要条件

6. 



22)1(cos

zdz

zz

（ ）

(A) －isin1 (B) isin1 (C)－2isin1 (D) 2isin1

9. 设c是

1zit，t从1到2的线段，则argd

czz（ ）.



11

444ABiCiDi



10. 下列命题不正确的是（ ）. (A)

1212zzzz;

(B) 如果f(z)在

0z可导，那么f(z)在

0z连续;

(C) 11

cos

zdz

z

0；

(D) 如果

0()fz存在，那么f(z)在

0z解析.

二、填空题

1、

Ln1i的主值为 .

2、函数

ReImfzzzz()=+仅在点z= 处可导.

3、函数3wz把z平面上的区域0arg

3z

映成w平面上的区域 .

4、计算._________Re_______,________,)33(1

51











zieii

5、________,1

0



Cdz

zz其中C是简单闭曲线.

三、求

cdziyx)(2，其中C 是沿曲线2xy由点0z到点 iz1.

四、

||2d

(1)(3)zz

zzz.(积分曲线指正向)

五、

第一章 复数与复变函数

一、选择题：

1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（ ）

（A）i （B）i （C）1 （D）1

2．设复数z满足3)2(zarc，65)2(zarc，那么z（ ）

（A）i31 （B）i3 （C）i2321 （D）i2123

3．复数z-3(cos-isin)55的三角表示式为（ ）

A．44-3(cosisin)55＋ B． 443(cosisin)55－

C． 443(cosisin)55＋ D．44-3(cosisin)55－

4．函数),(),()(yxivyxuzf在点000iyxz处连续的充要条件是（ ）

（A）),(yxu在),(00yx处连续 （B）),(yxv在),(00yx处连续

（C）),(yxu和),(yxv在),(00yx处连续（D）),(),(yxvyxu在),(00yx处连续

二、填空题

1．设)2)(3()3)(2)(1(iiiiiz，则z

2．设)2)(32(iiz，则zarg

3．设43)arg(,5izz，则z

4．方程iziz221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线.

5．)21(lim421zziz

三.求方程z3+8=0的所有复根.

第二章 解析函数

一、选择题： 1．函数23)(zzf在点0z处是( )

（A）解析的 （B）可导的

复变函数复习要点

第一章复习要点

1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；

2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；

3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；

4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点

1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；

2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；

3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；

4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；

5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；

6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；