课时作业44直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D)A．平行B．相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．2．已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D)A．垂直B．相交C．异面D．平行解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n⊂α,所以m⊥n,可能；对于选项B,当A∈n时,m∩n＝A,可能；对于选项C,若A∉n,由异面直线的定义知m,n异面,可能；对于选项D,若m∥n,因为m⊄α,n⊂α,所以m∥α,这与m∩α＝A矛盾,不可能平行,故选D.3．(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a,a∥α,a∥βB．存在一条直线a,a⊂α,a∥βC．存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b⊂βD．存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错；存在一条直线a,a⊂α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错；存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b⊂β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错；存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件．故选D.4．(山东泰安二模)已知m ,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题正确的是( D )A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC ．若m ∥α,m ∥β,则α∥βD ．若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n解析:对于A,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 可能平行,可能相交,也可能异面,故A 错误；对于B,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行,也可能相交(比如直三棱柱相邻两侧面都与底面垂直),故B 错误；对于C,若m ∥α,m ∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故C 错误；对于D,垂直于同一平面的两条直线相互平行,故D 正确．综上,故选D.5．在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别为AB ,AD 上的点,且AEEB ＝AF FD＝14,H ,G 分别是BC ,CD 的中点,则( B )A ．BD ∥平面EFG ,且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ,且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ,且四边形EFGH 是平行四边形D ．EH ∥平面ADC ,且四边形EFGH 是梯形解析:如图,由条件知,EF ∥BD ,EF ＝15BD ,HG ∥BD ,HG ＝12BD ,∴EF ∥HG ,且EF＝25HG ,∴四边形EFGH 为梯形．∵EF ∥BD ,EF ⊄平面BCD ,BD ⊂平面BCD ,∴EF ∥平面BCD .∵四边形EFGH 为梯形,∴线段EH 与FG 的延长线交于一点,∴EH 不平行于平面ADC .故选B.6．已知M ,N ,K 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,B 1C 1,DD 1的中点,在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中,与平面MNK 平行的直线有( A )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条解析:补形得到平面MNK 与正方体侧面的交线,得到正六边形MENFKG ,如图所示．由线面平行的判定定理,可得BD ,B 1D 1,BC 1,AD 1,AB 1,DC 1所在直线与平面MNK 平行,∴正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中,与平面MNK 平行的有6条．故选A.二、填空题7．如图所示,在四面体ABCD 中,点M ,N 分别是△ACD ,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是平面ABC 、平面ABD .解析:连接AM 并延长,交CD 于点E ,连接BN ,并延长交CD 于点F ,由重心性质可知,E ,F 重合为一点,且该点为CD 的中点E ,连接MN ,由EM MA ＝EN NB ＝12,得MN ∥AB .所以MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .8．在三棱锥P -ABC 中,PB ＝6,AC ＝3,G 为△P AC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为8.解析:过点G 作EF ∥AC ,分别交P A ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF ＝MN ＝23AC ＝2,FM ＝EN ＝13PB ＝2,所以截面的周长为2×4＝8.9.(江西重点中学协作体一模)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝6,AB ＝3,AD ＝8,点M 是棱AD 的中点,点N 在棱AA 1上,且满足AN ＝2NA 1,P 是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),若C1P∥平面CMN,则线段C1P长度的最小值是17.解析:取A1D1的中点Q,过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于点E,易知平面C1QE∥平面CMN,在△C1QE中作C1P⊥QE,此时C1P取得最小值17.三、解答题10．如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．求证:(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明:(1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点,所以MN 为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又MN⊂平面MNG,BD⊄平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE,BD⊂平面BDE,DE∩BD＝D,所以平面BDE∥平面MNG.11．已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD为矩形,P A⊥底面ABCD,P A＝BC＝1,AB＝2,M为PC的中点．(1)在图中作出平面ADM与PB的交点N,并指出点N所在位置(不要求给出理由)； (2)求平面ADM 将四棱锥P -ABCD 分成的上下两部分的体积比． 解:(1)N 为PB 中点,截面如图所示．(2)∵MN 是△PBC 的中位线,BC ＝1,∴MN ＝12,AN ＝52,且AN ⊥AD ,∴梯形ADMN 的面积为12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1×52＝358,点P 到截面ADMN 的距离为点P 到直线AN 的距离d ＝25,∴四棱锥P -ADMN 的体积V 1＝13×358×25＝14,而四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×2×1×1＝23,∴四棱锥被截下部分体积V 2＝V －V 1＝23－14＝512,故上下两部分的体积比V 1V 2＝35.12．(山东烟台二模)如图是一张矩形折纸ABCD ,AB ＝10,AD ＝102,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,现分别将△ABE ,△CDF 沿BE ,DF 折起,且A 、C 在平面BFDE 同侧,下列命题正确的是①④.(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE ∥平面CDF 时,AC ∥平面BFDE ；②当平面ABE ∥平面CDF 时,AE ∥CD ；③当A 、C 重合于点P 时,PG ⊥PD ；④当A 、C 重合于点P 时,三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为150π.解析:在△ABE 中,tan ∠ABE ＝22,在△ACD 中,tan ∠CAD ＝22,所以∠ABE ＝∠DAC ,由题意,将△ABE ,△DCF 沿BE ,DF 折起,且A ,C 在平面BEDF 同侧,此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内,平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ,平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ,当平面ABE ∥平面CDF 时,得到AG ∥CH ,显然AG ＝CH ,所以四边形AGHC 为平行四边形,所以AC ∥GH ,进而可得AC ∥平面BFDE ,故①正确；由于折叠后,直线AE 与直线CD 为异面直线,所以AE 与CD 不平行,故②不正确；当A 、C 重合于点P 时,可得PG ＝1033,PD ＝10,又GD ＝10,∴PG 2＋PD 2≠GD 2,所以PG 与PD 不垂直,故③不正确；当A ,C 重合于点P 时,在三棱锥P -DEF 中,△EFD 与△FCD均为直角三角形,所以DF 为外接球的直径,即R ＝DF 2＝562,所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5622＝150π,故④正确．综上,正确命题的序号为①④. 13．(重庆万州区检测)如图,斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,D 1分别为AC ,A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时,BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,求AD DC 的值．解:(1)当A 1D 1D 1C 1＝1时, BC 1∥平面AB 1D 1.如图,连接A 1B 交AB 1于点O ,连接OD 1.由棱柱的性质知,四边形A 1ABB 1为平行四边形,所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中,O ,D 1分别为A 1B ,A 1C 1的中点,∴OD 1∥BC 1.又OD 1⊂平面AB 1D 1,BC 1⊄平面AB 1D 1,∴BC1∥平面AB1D1.∴当A1D1D1C1＝1时,BC1∥平面AB1D1.(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.∴A1D1D1C1＝A1OOB,A1D1D1C1＝DCAD.又A1OOB＝1,∴DCAD＝1,即ADDC＝1.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．(湖南长沙长郡中学模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,P A ＝AD＝4,AB＝BC＝2,P A⊥平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段P A上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为(C)A. 2 B．2C．2 2 D．2 3解析:∵PD与平面CEF交于点H,∴平面CEF∩平面PCD＝CH,∵EF∥平面PCD,∴EF∥CH,过点H作HM∥P A交AD于点M,连接CM,∵EF∩AF＝F,CH∩HM＝H,∴平面AEF∥平面CHM,∵平面AEF∩平面ABCD＝AE,平面CHM∩平面ABCD＝CM,∴AE∥CM,又BC∥AM,∴四边形ABCM为平行四边形,∴AM＝2.又AD＝4,∴M是AD的中点,则H为PD的中点,∴CH＝CM2＋MH2＝22＋22＝22,故选C.15．如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1＝2,AB＝1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN ＝x,MN＝y,则函数y＝f(x)的图象大致是(C)解析:过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ＝M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN＝CD＝AB＝1,AQ＝BN＝x,∵MQAQ＝DD1AD＝2,∴MQ＝2x.在Rt△MQN中,MN2＝MQ2＋QN2,即y2＝4x2＋1,∴y2－4x2＝1(x≥0,y≥1),∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C.。
