高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的概念、图象与性质高一数学教案

第1课时 指数函数的概念、图象与性质

学

习 目 标 核 心 素 养

1.理解指数函数的概念．(重点)

2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)

3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)

4.掌握函数图象的平移变换和对称变换. 通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.

1．指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.

2．指数函数的图象和性质

a>1 0

图象

性质 定义域 R

值域 (0，＋∞)

定点 图象过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值的变化 x>0时，y>1；

x<0时，00时，0

x<0时，y>1

单调性 在(－∞，＋∞)上是单调增函数 在(－∞，＋∞)上是单调减函数

奇偶性 非奇非偶函数

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝3·2x是指数函数． ( )

(2)指数函数的图象与x轴永不相交． ( )

(3)函数y＝2－x在R上为增函数． ( )

(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

[提示] (1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．

(3)y＝2－x＝12x是减函数．

(4)a>1时，若x<0，则ax<1.

2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)

(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；

(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．

(4)(6) [只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]

3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.

3x [由于a2＝9，∴a＝±3.∵a＞0，∴a＝3，

∴f(x)＝3x.]

指数函数的概念

【例1】 函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．

思路点拨：利用指数函数的定义求解．

[解] ∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，

∴ a2－7a＋7＝1，a>0，a≠1，∴ a＝1或a＝6，a>0，a≠1，

∴a＝6，即a的值为6.

指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.

1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．

a a>12且a≠1 [要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，

∴a>12且a≠1.]

利用单调性比较大小

【例2】 比较下列各组数的大小：

(1)34－1.8与34－2.6；(2)58－23与1；(3)0.6－2与43－23；(4)130.3与3－0.2.

思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．

[解] (1)0<34<1，y＝34x在定义域R内是减函数．

又∵－1.8>－2.6，

∴34－1.8<34－2.6.

(2)∵0<58<1，∴y＝58x在定义域R内是减函数．

又∵－23<0，

∴58－23>580＝1， ∴58－23>1.

(3)∵0.6－2>0.60＝1，43－23<430＝1，

∴0.6－2>43－23.

(4)∵130.3＝3－0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，

又∵－0.3<－0.2，

∴3－0.3<3－0.2，∴130.3<3－0.2.

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：

1底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.

2底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.

3底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.

2．比较下列各组数的大小：

(1)1.9－π与1.9－3；

(2)0.60.4与0.40.6；

(3)4313，223，－233，3412. [解] (1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，

∴1.9－π<1.9－3.

(2)∵y＝0.6x在R上递减，

∴0.60.4>0.60.6.

又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，

∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.

(3)∵－233<0，4313>1,223>1,0<3412<1，

又在y轴右侧，函数y＝43x的图象在y＝4x的下方，

∴4313<413＝223，

∴－233<3412<4313<223.

利用单调性解指数不等式

【例3】 (1)已知4≥2x＋1>223，求x的取值范围；

(2)已知0.3x>103y，求x＋y的符号．

思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解．

[解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1>223.

∵y＝2x是单调递增的，∴2≥x＋1>23， ∴－13

∴x的取值范围为x －13

(2)(0.3)x>103y＝310－y＝0.3－y.

∵y＝0.3x是减函数，∴x<－y，∴x＋y<0.

1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

3．(1)若例3题(1)改为4≥12x＋1>223，则x的取值范围为_____．

(2)解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．

(1)－3，－53 [∵223<2－(x＋1)≤22，又y＝2x是增函数，∴23<－(x＋1)≤2，解得－3≤x<－53.]

(2)[解] ①当a>1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2.

②当0

综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x≤2}，

当0

图象变换及其应用

[探究问题]

1．在同一坐标系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．

[提示]

结论：y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；

y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；

y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；

y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．

2．在同一坐标系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y＝ax－1均过该点．在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝12x＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n(m，n>0)的图象经过的定点是什么？

[提示]

结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝12x－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝12x＋1－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．

3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点． [提示] 还可以整体代换．

将y＝4a2x－4＋3变形为y－34＝a2x－4.

令 y－34＝1，2x－4＝0⇒ x＝2，y＝7，即y＝4a2x－4＋3过定点(2,7)．

【例4】 (1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)

(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．

(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．

思路点拨：题(1)中可将y＝3－x转化为y＝13x.

题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，

因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．

题(3)应该根据指数函数经过定点求解．

(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y＝3－x＝13x为单调递减的指数函数，其图象为②.

(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．

(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]

1．处理函数图象问题的策略