2018版高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2.2第1课时对数函数的概念图象与性质学案苏教版
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3．2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质
1．理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 对数函数的概念
阅读教材P81“对数函数”至P81思考，完成下列问题．
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
1．函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________.
【解析】 由a2－4a＋4＝1，
解得a＝1或a＝3.
∵a＞0且a≠1，
∴a＝3.
【答案】 3
2．对数函数f (x)的图象过点(4,2)，则f (8)＝________.
【解析】 设f (x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴f (8)＝log2 8＝3.
【答案】 3
教材整理2 对数函数的图象与性质
阅读教材P81“思考”～P84例2，完成下列问题．
1．对数函数的图象和性质
a>1 0
图
象
续表
a>1 0
性
质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数
2.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
一般地，如果函数y＝f (x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．
(1)函数f (x)＝lgx＋x－1的定义域是________．
【解析】
x＋1>0，x－1≠0⇒x>－1且x≠1.
【答案】 {x|x>－1且x≠1}
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
【解析】 由题意得1－2a＞1，所以a＜0.
【答案】 (－∞，0)
(3)若g(x)与f (x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.
【解析】 f (x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x，
∴g(2)＝log2 2＝1.
【答案】 1
[小组合作型]
对数函数的概念
判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
【精彩点拨】 依据对数函数的定义来判断．
【自主解答】 ①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，
∴不是对数函数；
③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
④中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
[再练一题]
1．对数函数f (x)满足f (2)＝2，则f 12＝________.
【解析】 设f (x)＝loga x(a>0且a≠1)，
由题知f (2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝2或－2(舍)．
∴f 12＝log2 12＝112log2 12＝－2.
【答案】 －2
对数函数的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)f (x)＝logx－1(x＋2)；(2)f (x)＝－－x；
(3)f (x)＝1log2x－；(4)f (x)＝11－logax＋a(a>0且a≠1)．
【精彩点拨】 根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．
【自主解答】 (1)由题知 x－1>0，x－1≠1，x＋2>0，解得x>1且x≠2，
∴f (x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由 －－x，1－x>0，
得 －x，x<1⇒ 1－x≤1，x<1⇒0≤x<1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知 log2x－，x－1>0⇒ x－1≠1，x>1，
∴x>1且x≠2.
故f (x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4) 1－logax＋a，x＋a>0
⇒ logax＋aaa，x>－a， ①②
当a>1时，－a<－1.
由①得x＋a
∴x<0.
∴f (x)的定义域为－a
当0
由①得x＋a>a.
∴x>0.
∴f (x)的定义域为{x|x>0}．
故所求f (x)的定义域是：
当0
当a>1时，x∈(－a,0)．
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
[再练一题]
2．(1)函数y＝xln (1－2x)的定义域为________．
(2)函数y＝x＋2x－1的定义域为________．
【解析】 (1)由题知 x≥0，1－2x>0，解得0≤x<12，∴定义域为x 0≤x<12.
(2)由题知 x＋1>0，2x－1>0，解得x>12，∴定义域为x x>12.
【答案】 (1)x 0≤x<12 (2)x x>12
[探究共研型]
比较对数式的大小
探究1 在同一坐标系中做出y＝log2 x，log12x，y＝lg x，y＝log0.1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．
【提示】 图象如图．
结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0
探究2 函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x的图象如图321所示，那么a，b，c的大小关系如何？
图321
【提示】 由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logb x的图象在(1，＋∞)上比y＝logc x的图象靠近x轴，所以b
探究3 从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．
【提示】 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底依次变大．
(1)比较下列各组数的大小：
①log3 23与log5 65；②log1.1 0.7与log1.2 0.7.
(2)已知log12b
【精彩点拨】 (1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．
(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．
【自主解答】 (1)①∵log3 23
而log5 65>log5 1＝0，
∴log3 23
②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.7 1.1>log0.7 1.2.
∴1log0.7 1.1<1log0.7 1.2，
由换底公式可得log1.1 0.7
法二：作出y＝log1.1 x与y＝log1.2 x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1 0.7
(2)∵y＝log12 x为减函数，且log12 ba>c.
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
[再练一题]
3．比较下列各组数的大小.
(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与
log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．
【解】 (1)∵底数3>1，∴y＝log3 x在(0，＋∞)上是增函数，于是log3 3.4
(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1 x与y＝log0.6 x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1 x的图象在函数y＝log0.6 x图象的上方，故log0.1 3>log0.6 3.
(3)∵log4 5>log4 4＝1，
log6 5
∴log4 5>log6 5.
(4)①当1>lg m>0，即1
∴(lg m)1.9>(lg m)2.1；
②当lg m＝1，即m＝10时，
(lg m)1.9＝(lg m)2.1；
③当lg m>1，即m>10时，
y＝(lg m)x在R上是增函数，
∴(lg m)1.9<(lg m)2.1.
1．下列函数是对数函数的有________．(填序号)
①y＝loga(2x)；
②y＝log2 2x；
③y＝log2 x＋1；
④y＝lg x.
【解析】 根据对数函数的定义，只有④是对数函数．
【答案】 ④
2．函数y＝ln x的单调增区间是________，反函数是________．
【解析】 y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.
【答案】 (0，＋∞) y＝ex
3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
【解析】 函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
