高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案

2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

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2 3。2。2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用

1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点）

2．理解并掌握对数函数的单调性．（重点）

3．会用对数函数的相关性质解综合题．（难点)

[基础·初探]

教材整理 与对数函数有关的图象变换

阅读教材P84例3以下内容,完成下列问题．

1．平移变换

当b＞0时,将y＝loga x的图象向左平移b个单位，得到y＝loga（x＋b)的图象；向右平移b个单位,得到y＝loga(x－b）的图象．当b＞0时，将y＝loga x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．

2．对称变换

要得到y＝loga 错误!的图象，应将y＝loga x的图象关于x轴对称．

为了得到函数y＝lg 错误!的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点

________________________________________________________．

【解析】 y＝lg 错误!＝lg （x＋3)－1，故将y＝lg x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．【答案】 向左平移3个单位,再向下平移1个单位

[小组合作型］

对数函数的图2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

3 象

作出函数y＝｜log2 （x＋2）｜＋4的图象，并指出其单调增区间．

【精彩点拨】 可先作出y＝log2 x的图象，再左移2个单位得到y＝log2 (x＋2),通过翻折变换得到y＝|log2 （x＋2）｜，再向上平移4个单位即可．

【自主解答】 步骤如下:

(1）作出y＝log2 x的图象，如图（1)．

（2)将y＝log2 x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 （x＋2)的图象，如图（2）．

（3）将y＝log2 （x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝｜log2 （x＋2)|的图象，如图(3)．

（4)将y＝|log2 （x＋2)｜的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝｜log2（x＋2)|＋4的图象,如图(4)．

由图可知,函数的单调增区间为(－1，＋∞)．

1．已知y＝f （x)的图象，求y＝｜f （x＋a）|＋b的图象步骤如下：

y＝f （x)→y＝f （x＋a）→y＝｜f （x＋a)|→y＝|f (x＋a)|＋b.

2．已知y＝f (x)的图象，求y＝|f (x＋a）＋b｜的图象，步骤如下:

y＝f (x)→y＝f (x＋a）→y＝f （x＋a）＋b→y＝|f (x＋a)＋b|。

从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象做出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y。

［再练一题］

1．（1）若函数f （x）＝a－x(a〉0，a≠1）是定义域为R的增函数，则函数g（x）＝loga 2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

4 （x＋1)的图象大致是________．(填序号)

【解析】 因为函数f (x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0〈a<1.另外g(x)＝loga (x＋1)的图象是由函数h(x)＝loga x的图象向左平移1个单位得到的．

【答案】 ④

（2）已知lg a＋lg b＝0,则函数f （x)＝ax与函数g(x)＝－logb x的图象可能是________．(填序号)

【解析】 由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1,故a＝1b，

所以当01;当b〉1时，0

【答案】 ②

值域问题

(1）已知函数f (x)＝2log12x的定义域为［2,4］，则函数f (x)的值域是________．

(2）若函数f (x)＝ax＋loga（x＋1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．

(3）求函数f （x)＝log2（－x2－4x＋12）的值域.

【精彩点拨】 （1）中利用f （x）＝2log错误!x在定义域[2，4]上为减函数求解．

（2）y＝ax与y＝loga(x＋1)在［0，1］上具有相同的单调性，所以f (x）＝ax＋loga（x＋1）在［0，1]上是单调函数． 2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

5 (3)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．

【自主解答】 （1)∵f （x）＝2log错误!x在［2,4]上为减函数，

∴x＝2时，f （x)max＝2log122＝－2；

x＝4时，f (x）min＝2log错误!4＝－4,

∴f （x）的值域为［－4，－2]．

（2)由题意得

错误!

∴loga2＝－1，

解得a＝错误!。

【答案】 （1)［－4，－2］ (2)错误!

(3）∵－x2－4x＋12＞0，

又∵－x2－4x＋12＝－（x＋2)2＋16≤16，

∴0＜－x2－4x＋12≤16，

故log2（－x2－4x＋12）≤log216＝4，

∴函数的值域为(－∞,4］．

求函数值域或最大(小)值的常用方法

1．直接法

根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．

2．配方法

当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a［f （x)]2＋bf (x）＋c），求函数值域问题时，可以用配方法．

3．单调性法

根据在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性，求出函数的值域．

4．换元法

求形如y＝logaf （x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f （x)，利用函数图象和性质求出u的范围;②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围． 2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

6

[再练一题］

2．（1)函数f (x)＝log错误!(9－x2)的单调增区间为________，值域为________．

【解析】 f (x)的定义域为9－x2>0⇒x2〈9⇒－3

当x∈(－3，0)时，u（x）＝9－x2单调递增,∴f (x)单调递减．

当x∈（0，3）时,u(x）＝9－x2单调递减，∴f （x）单调递增．

∵9－x2∈（0，9］，∴log13(9－x2）≥log错误!9＝－2。

即函数的值域为[－2,＋∞）．

【答案】 （0,3） ［－2，＋∞)

（2)当x∈[3,27］时,函数f (x）＝log3 错误!·log3 错误!的值域为________．

【解析】 f (x）＝log3 错误!·log3 错误!＝(log3 x－1）（log3 x－2）＝(log3 x）2－3log3

x＋2＝错误!2－错误!,

令t＝log3 x，∵x∈[3，27]，∴t∈［1,3］，

∴f （x）max＝错误!2－错误!＝2,

f (x)min＝－错误!。

【答案】 错误!

对数函数的综合问题

已知函数f (x）＝lg (2－x）－lg （2＋x)．

(1)求值：f 错误!＋f 错误!；

(2)判断f （x)的奇偶性；

（3）判断函数的单调性并用定义证明．

【精彩点拨】 （1）利用代入法求解，(2)(3）用定义法判断奇偶性和单调性．

【自主解答】 （1)f 错误!＋f 错误!＝lg 错误!－lg 错误!＋lg 错误!－lg 错误!＝0.

(2)错误!⇒－2〈x<2，

又f (－x）＝lg (2＋x）－lg （2－x)＝－f （x)，

∴f （x)为奇函数．

（3）设－2〈x1〈x2<2， 2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

7 f （x1）－f (x2）＝lg 错误!－lg 错误!＝lg 错误!，

∵(2－x1)（2＋x2）－（2＋x1）(2－x2）＝4（x2－x1)>0。

又(2－x1)（2＋x2)〉0，（2＋x1)（2－x2）〉0，

∴错误!〉1，∴lg 错误!>0.

从而f (x1）>f （x2）,故f (x）在（－2,2)上为减函数．

对数函数性质的综合应用

1．常见的命题方式

对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大（小）值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．

2．解此类问题的基本思路

首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．

[再练一题］

3．已知函数f (x）＝loga （x＋1）（a〉1)，若函数y＝g(x）图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f （x）的图象上．

（1）写出函数g(x）的解析式；

(2）当x∈[0,1)时总有f （x）＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．

【解】 （1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q（－x，－y)是点P关于原点的对称点，

∵Q（－x，－y)在f （x）的图象上，

∴－y＝loga（－x＋1)，即y＝g（x）＝－loga（1－x)．

(2）f (x）＋g(x)≥m，即loga错误!≥m。

设F （x）＝loga1＋x1－x＝loga错误!，x∈［0,1），

由题意知，只要F (x）min≥m即可．

∵F (x)在[0，1）上是增函数,

∴F (x）min＝F (0）＝0。