人教版数学高一-必修1教师用书 第三章 函数的应用
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高中数学
_3.1函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
函数的零点
[提出问题]
如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：
问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？
提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.
问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
[导入新知]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
[化解疑难]
函数零点的本质
(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．
函数零点的判断 打印版
高中数学 [提出问题]
函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．
问题1：函数的零点是什么？
提示：1,3.
问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．
提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，
∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.
[导入新知]
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[化解疑难]
对函数零点存在性的探究
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x.
(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．
(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
求函数的零点
[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
[解] (1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 打印版
高中数学 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
[类题通法]
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[活学活用]
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝x－1x2－4x＋3x－3；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.
(2)令x－1x2－4x＋3x－3＝0，解得x＝1，所以函数的零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
3.1 函数与方程 第三章 函数的应用
判断函数零点所在的区间
[例2] (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)函数f(x)＝lg x－9x的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8) 打印版
高中数学 C．(8,9)
D．(9,10)
[解析]
(1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，
∴在(2,4)内必有根．故选A.
(2)∵f(6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f(7)＝lg 7－97<0，
f(8)＝lg 8－98<0，f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－910>0，
∴f(9)·f(10)<0.
∴f(x)＝lg x－9x的零点的大致区间为(9,10)．
[答案] (1)A (2)D
[类题通法]
确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
[活学活用]
若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间( )
A.23，1 B.12，23
C.13，12 D.0，13
解析：选C 构造函数f(x)＝12x－x13，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(0)＝120－0>0，f13＝1213－1313>0，f12＝1212－1213<0，f23＝1223－2313<0，所以f13·f12<0，故函数的零点所在区间为13，12，即方程12x＝x13的解x0属于区间13，12.
判断函数零点的个数
[例3] (1)函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
(1)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个打印版
高中数学 数为2.
[答案] C
(2)[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[类题通法]
判断函数零点个数的方法
判断函数零点的个数主要有以下几种方法：
法一：直接求出函数的零点进行判断；
法二：结合函数图象进行判断；
法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
[活学活用]
判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
解：法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，
则ln x＝3－x，
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，
如图所示：
由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
法二：因为f(3)＝ln 3>0，
f(2)＝－1＋ln 2＝ln2e<0，
所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2,3)内有零点． 打印版
高中数学 又f(x)＝x－3＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．
10.因函数图象不连续造成判断失误
[典例] 函数f(x)＝x＋1x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.
[答案] A
[易错防范]
1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f(x)＝x＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f(－1)<0，f(1)>0，得出错误的答案B.
2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．
[活学活用]
函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0－2＋ln x，x>0的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2，
所以函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0－2＋ln x，x>0有2个零点．
[随堂即时演练]
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
