浙教版八年级数学下册第章二次根式知识点总结

二次根式的概念和性质（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.； 3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a =≥）.2要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2中a ≥0a 为任意值。

2).a ≥0时，2a ；a <0时，2a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x ，，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3【解析】这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）（1（2； （3）（4）； （5；（61x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y = （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）【答案】B. 类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)2- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三【变式】若整数m 1,m m =+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是 最简二次根式.举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A B C 【答案】C.类型四：同类二次根式6. （2016是同类二次根式的是( )B.【答案】 B.【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1【答案】 D.根据题意，得解之，得，故选D.。

第一章二次根式1．二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（如不存在√−3）（2）a 是一个重要的非负数，即a ≥0.（如√4=2）2．重要公式：（1）)0()(2≥=a a a ,)0()(2≥=-a a a（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；（3）)0a ()a (a 2≥=. 3．二次根式的性质：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=；)0b ,0a (b a b a >≥=4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式的除法法则：（1）)0,0(>≥=b a ba b a； （2）)0,0(>≥÷=÷b a b a b a ； （3）分母有理化公式：)0,0(>≥b a①√a √b =√a×√b√b×√b =√ab(√b)2=√ab b （如:√2√5=√2×√5√5×√5=√105） ②√a +√b=√a √b)(√a +√b)×(√a −√b)=√a −√b (√a)2−(√b)2=√a −√b a −b 1√a −√b =1×(√a +√b)(√a −√b)×(√a +√b)=√a +√b (√a)2−(√b)2=√a +√b a −b 6．最简二次根式：（1）最简二次根式：①根号里不含能开的尽的因数或因式，如4、9等；② 根号内不含分数、小数；③分母中不含有根号。

（结果必须是最简的二次根式）7. 利用“”外的因数化简“” ①a aa a a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a 8．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小； √2≈1.414；√3≈1.732∴√2<√3（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； 2√3=√22×3=√12，3√2=√32×2=√18∴12<18∴√12<√18（3）分别平方，然后比大小.（√3+√5）2=3+2√15+5=8+2√15=8+√60（√3×√5）2=3×5=15=8+7=8+√49∴√3+√5>√3×√59．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果根号里面的数字或字幕相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.如√3与2√3。

浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式（徐旺红老师整理）知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级（下册）第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章 二次根式1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。

1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。

1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。

任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。

ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。

2.2一元二次方程的解法1、因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，常见ax 2+bx=0（无常数项）、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。

浙教版八下数学知识整理在八年级下册的数学学习中，我们接触到了丰富多样且重要的知识。

接下来，让我们一起对这些知识进行系统的整理。

一、二次根式二次根式是数学中的一个重要概念。

形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式有几个关键的性质。

比如，√a² ＝｜a|，还有√ab ＝√a ×√b（a≥0，b≥0），以及√a ／√b ＝√（a ／ b)（a≥0，b＞0）。

在进行二次根式的运算时，要先将根式化为最简二次根式，然后再进行加减乘除等运算。

化简的关键是把被开方数分解因数，把含有开得尽方的因数或因式开出来。

二、一元二次方程一元二次方程是形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a≠0）的方程。

解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

直接开平方法适用于形如（x ＋ m）²＝ n（n≥0）的方程。

配方法是通过在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方式来求解。

公式法中，方程的解为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a)，其中判别式△＝ b² 4ac 决定了方程根的情况，当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根。

因式分解法是将方程化为两个因式相乘等于 0 的形式，从而求解。

三、频数及其分布频数是指某个对象出现的次数。

我们通过频数分布表和频数直方图来展示数据的分布情况。

绘制频数直方图时，首先要确定组距和组数，然后列出频数分布表，再根据表画出直方图。

四、命题与证明命题是可以判断真假的陈述句。

命题由题设和结论两部分组成。

如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。

证明一个命题是真命题，需要通过推理的方法，从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，逐步推导出结论。

五、平行四边形平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质。

w 二次根式的运算【知识梳理】1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。

2、 二次根式具有如下性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎩⎨⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a（3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a bab a ，。

3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n。

4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时，m d c m b a +=+。

5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。

6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。

适合上述这些条件的根式叫做最简根式。

（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ___________________。

【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。

【巩固二】已知200911+-+-=x x y ，则=+y x _______________________。

【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，求m 的值。

【例2】当b a 2<时，化简二次根式ab ab a b a a 22442+--。

【巩固】1、化简()2232144--+-x x x 的结果是__________________。

浙教版八下二次根式题型归纳总结 一、知识框架 1.二次根式：式子 a 〔a ≥0〕叫做二次根式。

2.最简二次根式： 必须同时满足以下条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑴被开方数中不含分母；⑴分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：＞0〕〔1〕〔a 〕2=a 〔a ≥0〕；〔2〕〔0〔 =0〕； 5.二次根式的运算：〔 ＜0〕〔1〕因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它（ 的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ⑴变形为积 的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a ·b〔a ≥0，b ≥0〕；bb〔b ≥0，a>0〕．aa〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， ⑴乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1、概念与性质例1以下各式1〕1,2)5,3)x22,4)4,5)(1)2,6)1a,7)a 2 2a1，其53中是二次根式的是 _________〔填序号〕．例2、求以下二次根式中字母的取值范围x51〔1〕3x ；〔2〕(x-2)2例3、在根式1)a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是〔〕5A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)y18x8x11,求代数式x y2x y2的值。

例4、：2y x y x例5、数a，b，假设(ab)2=b－a，那么()A.a>bB.a<bC.a≥bD.a≤b2、二次根式的化简与计算.根号外的a移到根号内，得()例1将A.；B.－；C.－；D.例2.把〔a－b〕1－a－b化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11b，其中a=51，b=51．ab b a(ab)22例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：a2b2(a b)23、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。

浙教版八下二次根式题型归纳总结、知识框架1•二次根式：式子j a ( a >0叫做二次根式。

2•最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑴被开方数中不含分母；⑴分母中不含■ ■ ■ 1■ ■ 1 1 _ ~ ■ ■ ■ ———r ——一—————u—■ ■ J-.~-根式。

3•同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质:(1) ( .a ) 2= a(a >0 ；5. 二次根式的运算：r a（fl >0）（2）讥厂 _ = = 0 （口=0）；（口v 0）(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，⑴变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，⑴乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.三、例题讲解1、概念与性质例 1 下列各式1) - 1,2) 5,3) . x? 2,4),4,5). ( 3)：6) 1 a,7) a 2a 1，其中是二次根式的是___________ (填序号)例2、求下列二次根式中字母的取值范围T ab = 4a •b（a>Q b>0 ；b ，若• / (a b) =b — a ,贝U ()A. a>bB. a<bC. a >bD. a <b-一，其中 a= 1 , b=a b b a(a b)2aib ■ ■ ■11■-113、 在根式1） .a^v ；2)C . x 5xy;4） . 27abc ，最简二次根式是（）A . 1) 2)B . 3) 4)1) 3) D . 1) 4)y4、已知：1 8x 8x12,求代数式彳72的值。

浙教版八年级数学下册知识点汇总1.二次根式二次根式是指像a²+4，b+3这样表示算术平方根的代数式。

其中，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。

二次根式的性质包括：a² = a（a≥0）a² = a 或 -a（a<0）ab = a×b（a≥0，b≥0）a/b = √(a²/b²)（a≥0，b>0）最简二次根式是指在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式的二次根式，例如7，5.2.一元二次方程一元二次方程是指方程x²+3x=4这样的方程，其两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。

任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0的形式。

ax²+bx+c=0（a,b,c为已知数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数。

一元二次方程的解法包括：因式分解法：把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

开平方法：对于形如x²=a（a≥0）的方程，可得x₁=√a，x₂=-√a。

配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解。

一元二次方程的根的情况由代数式b²-4ac的值来决定，因此b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：b²-4ac>0，有两个不相等的实数根；b²-4ac=0，有两个相等的实数根；b²-4ac<0，没有实数根。

3.数据分析初步平均数是一组数据的总和除以数据的个数。

例如，对于n个数x₁、x₂、x₃……xₙ，它们的平均数为(x₁+x₂+x₃+…+xₙ)/n。

在数据分析中，还有中位数、众数等概念。