高三数学复习专题指数与指数函数

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误； 故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误； 又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确； 故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】 【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（ ） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断； 【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误； 对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立； 对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立； 故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】 【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解； 若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【解析】 【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<， 所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，） 【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，）， 所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】 【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<， 所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数， 所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数， 所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。